Паралелограм

Паралелограм
	Во паралелограм спротивните страни се исти
Вид	Четириаголник
Рабови и темиња	4
Група на симетрија	C2
Плоштина	a·h
Обем	2a+2b
Својства	испакнат

Во геометријата, паралелограм е четириаголник со два пара паралелни страни.

Основна регулатива: Еден паралелограм е потполно определен со должините на две соседни страни и големината на аголот помеѓу нив.

Четириаголник е паралелограм ако и само ако спротивните страни се исти (складни).^[1]

Овој факт се користи при стандардно означување на четирите типови паралелограми.^[2]^[3]

Ромбоид: паралелограм каде што соседните страни не се со еднаква должина и нема внатрешен прав агол.
Ромб: паралелограм каде што четирите страни се со еднаква должина.
Правоаголник: паралелограм каде што четирите внатрешни агли се прави, т.е. по 90°.
Квадрат: паралелограм каде што четирите страни се со еднаква должина и четирите агли се прави, т.е. по 90°.


Ромбоид	Ромб	Правоаголник	Квадрат

Формули и особини за паралелограм

Едниот пар на паралелни страни се „земаат“ за основи и (обично) се означуваат со a. Вообичаено е да се земат хоризонталните (или најхоризонталните или најдолгите) страни за основи. Честопати се користи зборот должина.
Другиот пар на паралелни страни се викаат краци и (обично) се означуваат со b.
Растојанието помеѓу основите се вика висина и (обично) се означува со h (или h_a за да се разликува од другата висина h_b меѓу краците). Растојанието помеѓу краците исто така е висина на паралелограмот, но во однос на краците, па затоа специјално се означува со h_b.

Нека е даден паралелограм со основа a, крак b, висина h (меѓу основите) и агол α помеѓу а и b.

Висина h меѓу основите

Периметар

L=2a+2b

Плоштина е: должина по висина односно основа по висина^[4]

P=a\cdot h

. Попрецизно:

P=a\cdot h_{a}

и

P=b\cdot h_{b}

Плоштина на еден паралелограм се одредува со основа и висина. Меѓутоа, само со тие информации, паралелограм не е еднозначно определен, односно постојат безброј многу различни паралелограми со иста основа и висина. Истите ја имаат истата плоштина, а различни периметри.^[5]
Бидејќи секоја страна на паралелограм е и трансверзала на другите паралелните страни, според Претпоставката за паралелност секој пар соседни внатрешни агли се суплементни, т.е. нивниот збир е 180°.^[2]
Бидејќи секој паралелограм е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
Од суплементност на соседни агли следува дека спротивните агли се исти (складни).
Секоја дијагонала е и трансверзала, па го дели паралелограмот на два складни триаголници. Следува дека двата пара паралелни страни се складни (со иста должина).^[1]
Пресечната точка на дијагоналите е средината на двете дијагонали. Со други зборови,

Дијагоналите на паралелограм се преполовуваат.^[6]

Карактеристики на паралелограми

Два пара паралелни страни.	Соседните агли се суплементни.	Дијагоналите меѓусебно се преполовуваат.	Висина h=h_a меѓу основите.

Спротивните страни се складни. Спротивните агли се складни.	Дијагонали на паралелограм.	Дијагонали и средни линии на паралелограм.	Висина h=h_b меѓу краците

Висина

h_{a}=b\cdot \sin(\alpha )

и

h_{b}=a\cdot \sin(\alpha )

Дијагонали (каде што дијагоналата d₁ минува низ аголот α)

d_{1}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}

и

d_{2}={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}

^[7]

Пример: Нека е даден паралелограм со основа a=5 km, и крак b=3 km и агол α=30° помеѓу a и b. Тогаш, периметарот e L=2a+2b=16 km, висина е h=b·sin(α)=1,5 km и плоштината е P=ah=7,5 км².

Пример: Нека е даден паралелограм со основа a=5 km, и крак b=2.5 km и агол α=37° помеѓу a и b. Тогаш, периметарот e L=2a+2b=15 km, висина е h=b·sin(α)≈1,5 km и плоштината е P=ah≈7,5 км².

Одлики на паралелограм

испакнат четириаголник е паралелограм ако и само ако кој било од следните искази е вистинит^[8]^[9]

Двата пара на спротивни страни се еднакво долги.
Двата пара на спротивни агли се со еднаква големина.
Дијагоналите се сечат во нивните средни точки.
Еден пар на спротивни страни се паралелни и се еднакво долги.
Соседните агли се суплементни.
Секоја дијагонала го дели четириаголникот на два складни триаголници.
Збирот на квадратите на страните е еднаков на збирот на квадратите на дијагоналите (закон на паралелограм).
Збирот на растојанијата од која било внатрешна точка до страните не зависи од местоположбата на точката.^[10] (Ова е проширување на Теоремата на Вивијани.)

Впишана и опишана кружница на паралелограм

Паралелограм нема впишана кружница освен ако е ромб (или квадрат).^[11]
Паралелограм нема опишана кружница освен ако е правоаголник (или квадрат).^[9]

Симетрија

Осна симетрија

Види ги поединечните типови на паралелограми.

Вртежна симетрија

При ротација на паралелограм ^360°/₂=180° се добива истиот паралелограм.

Ромбоидот, ромбот и правоаголникот имаат вртежна симетрија од 2-ри ред (180°).
Квадратот има вртежна симетрија од 4-ти ред (90°).

Обопштување на паралелограм

Обопштување во 3Д: Паралелопипед е полиедар со 6 страни, секоја од нив е паралелограм.

Пресметување плоштина на паралелограм со детерминанта

Паралелограми и вектори, матрици, детерминанти

Еден паралелограм е потполно определен со два вектора со истата почетна точка. (Четвртата точка е крајната точка на збирот на векторите.)

Во линеарната алгебра, апсолутната вредност на детерминантата на 2х2 матрица A е плоштината на паралелограмот формиран со соодветните полупречник-вектори.

{A}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\end{array}}\right]

Соодветните полупречник-вектори се

{{\vec {r}}_{1}}=<{a_{11}},{a_{12}}>,\,\,\,{{\vec {r}}_{2}}=<{a_{21}},{a_{22}}>

Соодветните темиња на паралелограмот се

A=(0,0),\,\,B=(a_{11},a_{12}),\,\,C=(a_{11}+a_{21},a_{12}+a_{22}),\,\,D=(a_{21},a_{22})

Плоштината Р на паралелограмот со темиња A, B, C, D e (апсолутната вредност на)

det(A)=\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\end{array}}\right|={a_{11}}\cdot {a_{22}}-{a_{21}}\cdot {a_{12}}

Доколку имаме паралелограм ABCD каде што А≠(0,0), формираме складен паралелограм EFGH со транслација -А така што Е=А-А=(0,0), F=B-A, G=C-A и H=D-A. Потоа со детерминанта се пресметува плоштината на EFGH која е иста со плоштината на паралелограмот ABCD (плоштините на складни 2-димензионални геометриски фигури се исти).

Ова својство се обопштува до 3-димензии, односно за волумен на паралелопипед преку мешан производ како и во повисоки димензии.

Поврзани теми

Наводи

↑ ^1,0 ^1,1 Kleyn, I. „Спротивните страни на паралелограм се еднакви“ (англиски). algebra.com. Посетено на 1 септември 2013. Занемарен непознатиот параметар |DUPLICATE_title= (help)
↑ ^2,0 ^2,1 C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 581–582. Посетено на 1 септември 2013.
↑ „Паралелограм“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. Занемарен непознатиот параметар |DUPLICATE_title= (help) интерактивен
↑ Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, Математика за II година гимназиско образование. Скопје: Алби, 2009, стр. 119.
↑ Стојановска, Л. (2010). „Паралелограм“. Архивирано од изворникот на 2013-09-15. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
↑ Kleyn, I. „Одлики на дијагоналите на паралелограм“ (англиски). algebra.com. Посетено на 1 септември 2013. Занемарен непознатиот параметар |DUPLICATE_title= (help)
↑ Kleyn, I. „Должина на дијагонали користејќи ја [[косинусова теорема]]“ (англиски). algebra.com. Посетено на 1 септември 2013. Занемарен непознатиот параметар |DUPLICATE_title= (help); URL–wikilink conflict (help)
↑ Byer, Owen; Lazebnik, Felix; Smeltzer, Deirdre (2010). Methods for Euclidean Geometry. Mathematical Association of America. стр. 51–52.
↑ ^9,0 ^9,1 Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, 10. Cyclic quadrilaterals, Research in mathematics education, IAP, стр. 22, ISBN 978-1-59311-695-8
↑ Chen, Zhibo, and Liang, Tian. "The converse of Viviani's theorem", The College Mathematics Journal 37(5), 2006, pp. 390–391.
↑ Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006). Mathematical Olympiad Treasures. Birkhäuser. стр. 64–68. ISBN 978-0817682521..

Надворешни врски

Стојановска, Л. (2010). „Паралелограм“. Архивирано од изворникот на 2013-09-15. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
Стојановска, Л.; Тромпеска, М. (2010). „Конструкција на паралелограм со две страни и агол]“. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен со видео објаснување за рачна и Геогебра конструкција
Стојановска, Л.; Тромпеска, М. (2010). „Конструкција на паралелограм со две страни и висина“. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен со видео објаснување за рачна и Геогебра конструкција
Стојановска, Л.; Тромпеска, М. (2010). „Конструкција на паралелограм со две страни и дијагонала“. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен со видео објаснување за рачна и Геогебра конструкција
Златковска, С. (2012). „Мини презентација за дијагонали и висини на паралелограм“. Архивирано од изворникот на 2016-03-05. Посетено на 1 септември 2013.
R. Pierce (2011). „Вртежна симетрија“ (англиски). MathisFun. Посетено на 1 септември 2013. Занемарен непознатиот параметар |DUPLICATE_title= (help)
„Паралелограм“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. Занемарен непознатиот параметар |DUPLICATE_title= (help) интерактивен
„Плоштина на паралелограм“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. Занемарен непознатиот параметар |DUPLICATE_title= (help) интерактивен
„Дијагонали на паралелограм“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. Занемарен непознатиот параметар |DUPLICATE_title= (help) интерактивен
{{Наведена мрежна страница | url=http://www.elsy.at/kurse/index.php?kurs=Parallelogram+and+Rhombus&status=public Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)] (англиски)
Weisstein, Eric W. (2013). „Паралелограм“ (англиски). Math World- A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 септември 2013. Занемарен непознатиот параметар |DUPLICATE_title= (help)
„Interactive Parallelogram --sides, angles and slope“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013.
Bogomolny, A. (2010). „Area of Parallelogram“ (англиски). Cut-the-Knot. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
Bogomolny, A. (2010). „Equilateral Triangles On Sides of a Parallelogram“ (англиски). Cut-the-Knot. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен