ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ

ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ψ(x, t) ਦਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਕੋਈ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੋਇਆ ਕਿਸੇ ਹਿਲਬ੍ਰਟ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਨਕਸ਼ਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੂਲ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ψ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਕੋਈ ਕੌਂਸਟੈਂਟ p ਰਹੇ, ਤਾਂ p, ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ ਦਾ ਇੱਕ ਆਈਗਨਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ψ, ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ ਦਾ ਆਈਗਨ-ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਆਈਗਨਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ, ਜੋ [[ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ(ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਵਿੱਚ ਨਾਪੇ ਗਏ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਲੀਨੀਅਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੇ ਨਾਪ ਦੇ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਅੰਦਰ, ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ ਕਿਸੇ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਓਪਰੇਟਰ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਕਣ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਲਈ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ;

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$

ਜਿੱਥੇ;

• ħ [[ਪਲੈਂਕ ਦਾ ਘਟਾਇਆ ਹੋਇਆ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
• i ਕਾਲਪਨਿਕ ਯੂਨਿਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ
• ${\displaystyle \partial }$) ਨਾਲ ਦਰਸਾਏ ਅੰਸ਼ਿਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਿਸੇ ਕੁੱਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (d/dx) ਦੇ ਸਥਾਨ ਤੇ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਕਤ ਦਾ ਵੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੈਟ ਕਿਸੇ ਓਪਰੇਟਰ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਓਪਰੇਟਰ ਦੀ ਐੋਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਇੰਝ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

${\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$

ਮੋਮੈਂਟਮ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਬੱਧ ਕੀਤੀਆਂ ਮੋਮੈਂਟਮ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨਾਲ ਬਣੀ ਹਿਲਬ੍ਰਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਕਿਸੇ ਅਧਾਰ ਅੰਦਰ, ਓਪਰੇਟਰ ਦਾ ਕਾਰਜ, ਸਰਲ ਤੌਰ ਤੇ p ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਕਰਨਾ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਇਹ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਓਪਰੇਟਰ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਅੰਦਰ[ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਜਦੋਂ 1920 ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਤਾਂ ਉਸ ਸਮੇਂ, ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ ਕਈ ਸਿਧਾਂਤਵਾਦੀ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਖੋਜਿਆ ਗਿਆ ਸੀ।, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਨੀਲ ਬੋਹਰ, ਅਰਨਾਲਡ ਸੋਮਰਫੈਲਡ, ਐਰਵਿਨ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ, ਅਤੇ ਇਊਜੀਨ ਵਿਗਨਰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਸਨ। ਇਸਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਅਤੇ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਕਦੇ ਕਦੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵੀ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਮੋਮੈਂਟਮ ਅਤੇ ਐਨਰਜੀ ਓਪਰੇਟਰ ਅੱਗੇ ਦੱਸੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਰਚੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।^[1]

ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ ਦੀ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਪਲੇਨ ਵੇਵ ਹੱਲ,

${\displaystyle \psi (x,t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)},}$

ਜਿੱਥੇ

• p ਨੂੰ x-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਆਖਿਅਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ
• E ਕਣ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਸਪੇਸ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲੇ ਦਰਜੇ ਦਾ ਅੰਸ਼ਿਕ ਡੈਰੀਵੇਟਵ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial x}}={\frac {ip}{\hbar }}e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)}={\frac {ip}{\hbar }}\psi .}$

ਇਹ ਸੁਝਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਓਪਰੇਟਰ ਸਮਾਨਤਾ

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$

ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ ਕਣ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟਮ ਅਤੇ ਕਣ ਦੇ ਕਿਸੇ ਪਲੇਨ ਵੇਵ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਤੇ ਨਾਪੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਵੈਲੀਊ (ਮੁੱਲ) ਉੱਪਰ ਲਿਖੇ ਓਪਰੇਟਰ ਦਾ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਕਿਉਂਕਿ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕੋਈ ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ ਵੀ ਰੇਖਿਕ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮੀਕਰਨਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜਦੋਂ ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ ਸਾਰੀ ਦੀ ਸਾਰੀ ਸੁਪਰਇੰਪੋਜ਼ ਕੀਤੀ ਹੋਈ ਤਰੰਗ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਹਰੇਕ ਪਲੇਨ ਵੇਵ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਲਈ ਮੋਮੈਂਟਮ ਆਈਗਨਮੁੱਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਨਵੇਂ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਫੇਰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਜੁੜ (ਸੁਪਰਇੰਪੋਜ਼ ਹੋ) ਕੇ ਨਵੀੰ ਅਵਸਥਾ ਰਚਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਪੁਰਾਣੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ।

ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਓੰਤਬੰਦੀ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ ਇਸਦੇ ਕਿ ਇੱਕ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਸਥਾਨ ਊੱਤੇ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਓਪਰੇਟਰ ਡੈਲ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਅੰਦਰ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਪਲੇਨ ਵੇਵ ਹੱਲ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

${\displaystyle \psi =e^{{\frac {I}{\hbar }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)}}$

ਅਤੇ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {\hat {p}} \psi \end{aligned}}}$

ਜਿੱਥੇ e_x, e_y ਅਤੇ e_z ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਲਈ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸਤਰਾਂ,

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$

ਇਹ ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਅਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਲਏ ਗਏ ਸਨ।

• ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਦੇ ਗਣਿਤਿਕ ਵਿਵਰਣ
• ਟ੍ਰਾਂਜ਼ੀਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ (ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ)
• ਸਾਪੇਖਿਕ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
• ਪੌਲੀ-ਲੁਬੰਸਕੀ ਸੂਡੋ-ਵੈਕਟਰ