ਯੁਕਲਿਡੀਅਨ ਕੁਆਂਟਮ ਗਰੈਵਿਟੀ

ਸਿਧਾਂਤਿਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰ, ਯੁਕਿਲਡਨ ਕੁਆਂਟਮ ਗਰੈਵਿਟੀ ਕੁਆਂਟਮ ਗਰੈਵਿਟੀ ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਪ ਹੈ। ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਮੁਤਾਬਿਕ ਗਰੈਵਿਟੀ ਦੇ ਬਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਿੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੀ ਹੈ।

ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰ, ਇੱਕ ਵਿੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ, ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ ਜੀਅਨ-ਕਾਰਲੋ ਵਿੱਕ ਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਪਿਆ, ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਜੋ ${\displaystyle n}$ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਡਾਇਨੈਮਿਕ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਹੱਲ ਖੋਜਣ ਵਾਸਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਵੇਰਵਿਆਂ ਨੂੰ ${\displaystyle n+1}$ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਟਰਾਂਸਪੋਜ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਪੇਸ ਦੇ ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਲਈ ਸਮੇਂ ਦਾ ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਸ਼ੁਧੱਤਾ ਨਾਲ ਕਹੀਏ ਤਾਂ, ਇਹ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਸਬੰਧਿਤ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਤਬਦੀਲੀ ਵਰਤਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵਾਸਤਵਿਕ-ਨੰਬਰ ਅਚੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਨੰਬਰ ਅਚੱਲ (ਵੇਰੀਏਬਲ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਪਲੇਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਦਾ ${\displaystyle i}$ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ, ਓਸ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉਰਿਜਿਨ ਬਾਬਤ ${\displaystyle \pi /2}$ ਰੇਡੀਅਨ ਦੇ ਇੱਕ ਕੋਣ ਰਾਹੀਂ ਓਸ ਨੰਬਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਵਿੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਅਣੂਆਂ ਦੀਆਂ ਛੁਪੀਆਂ ਤਾਪ ਗਤੀਵਿਧੀਆਂ ਪ੍ਰਤਿ ਕਿਸੇ ਮੈਕ੍ਰੋਸਕੋਪਿਕ ਇਵੈਂਟ ਤਾਪਮਾਨ ਡਿਫਿਊਜ਼ਨ (ਜਿਵੇਂ ਕਿਸੇ ਬਾਥ ਵਿੱਚ) ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ ਵੱਖਰੇ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟਾਂ ਨਾਲ ਬਾਥ ਵੌਲਿਊਮ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਯਤਨ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਵੌਲਿਊਮ ਨੂੰ ਅਤਿ-ਸੂਖਮ ਵੋਲਿਊਮਾਂ ਵਿੱਚ ਤਕਸੀਮ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ ਅਤੇ ਦੇਖਣਾ ਪਵੇਗਾ ਕਿ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਅੰਤਰ-ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਅਜਿਹੇ ਅਤਿ-ਸੂਖਮ ਵੌਲਿਊਮ ਦਰਅਸਲ ਪਾਣੀ ਦੇ ਅਣੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਦਰਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਿਸੇ ਯਤਨ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਬਾਥ ਅੰਦਰਲੇ ਸਾਰੇ ਅਣੂਆਂ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਅਣੂ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਇਹ ਨਿਰਾਲਾ ਅਣੂ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਰਸਤਿਆਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਤੁਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਣੂਆਂ ਦੁਆਰਾ ਅਪਣਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨਿਰਾਲੇ ਅਣੂ ਦੀਆਂ ਗਤੀਵਿਧੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਸੰਕਲਪਿਕ ਔਜ਼ਾਰ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਵਿੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਉਹਨਾਂ ਗਣਿਤਿਕ ਔਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਔਜ਼ਾਰ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਮ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਲਾਭਕਾਰੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਕਿਸੇ ਮਿਲਦੇ ਜੁਲਦੇ ਅੰਦਾਜ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਕੁਆਂਟਮ ਚੀਜ਼ ਦੀ ਗਤੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਰਾਹੀਂ ਜਿਵੇਂ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਵੱਖਰੇ ਸਥਾਨਾਂ ਤੇ ਇਕੱਠੀ ਹੀ ਹੋਂਦ ਰੱਖਦੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਵੱਖਰੀਆਂ ਸਪੀਡਾਂ ਰੱਖਦੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਕਿਸੇ ਕਲਾਸੀਕਲ ਚੀਜ਼ (ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕੋਈ ਬਿਲੀਅਰਡ ਗੇਂਦ) ਦੀ ਗਤੀ ਤੋਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸ਼ੁਧ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਸਪੀਡ ਵਾਲਾ ਇੱਕੋ ਰਸਤਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕੋਈ ਕੁਆਂਟਮ ਚੀਜ਼ A ਤੋਂ B ਤੱਕ ਕਿਸੇ ਇਕਲੌਤੇ ਰਸਤੇ ਗਤੀ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ, ਸਗੋਂ A ਤੋਂ B ਤੱਕ ਦੇ ਸਾਰੇ ਇੱਕੋ ਵਕਤ ਸੰਭਵ ਰਸਤਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਗਤੀ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਫਾਇਨਮਨ ਪਾਥ-ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਕੁਆਂਟਮ ਚੀਜ਼ ਦਾ ਰਸਤਾ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਰਸਤਿਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕੇਂਦ੍ਰਿਤ ਔਸਤ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 1966 ਵਿੱਚ, ਡਿਵਿੱਟ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਗੇਜ ਇਨਵੇਰੀਅੰਟ ਫੰਕਸ਼ਨਲ-ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਅਲੌਗਿਰਥਮ ਖੋਜਿਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਜਿਸਨੇ ਫਾਇਨਮਨ ਦੇ ਨਵੇਂ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਵਧਾਇਆ । ਇਸ ਨਵੇਂ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਅੰਦਰ ਜੋ ਕਿਹਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ ਉਹ ਹੈ ਸਿੰਗੁਲਰਟੀਆਂ ਦੀ ਇਸਦੀ ਕਮੀ ਜਦੋਂ ਇਹ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ ਰੋਕੀਆਂ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ।

ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਨਾਲ ਇੱਕ ਹੋਰ ਓਪਰੇਟ ਕੀਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਹਿਸਾਬ ਕਿਤਾਬ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਾਲੀ ਕਠਿਨਾਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਗਣਿਤਿਕ ਔਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁੰਝਲਦਾਰਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਉਲਟ, 19ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਅਖੀਰ ਤੋਂ ਬਾਦ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਰਹੇ ਹਨ ਅਤੇ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਗਿਆਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ^{[ਹਵਾਲਾ ਲੋੜੀਂਦਾ]} ਇਸੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਪਾਥ-ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਕਲਾਸੀਕਲ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੋਵਾਂ ਅੰਦਰ ਹੀ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜਿਸ ਕਰਕੇ ਇਹ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਕਲਾਸੀਕਲ ਹੀਟ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਿੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ (ਆਪਸ ਵਿੱਚ) ਸਬੰਧਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ ਕਿਸੇ ਕਲਾਸੀਕਲ ਵਰਤਾਰੇ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਕੁਆਂਟਮ ਵਰਤਾਰੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ ਵਿੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਟੂਲ ਹੈ। ਯੁਕਿਲਡਨ ਕੁਆਂਟਮ ਗਰੈਵਿਟੀ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨਾ, ਕਿਸੇ ਮੈਕ੍ਰੋਸਕੋਪਿਕ ਵਰਾਤਰੇ, ਗਰੈਵਿਟੀ, ਅਤੇ ਕੁੱਝ ਹੋਰ ਸੂਖਮ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਸੰਪਰਕਾਂ ਨੂੰ ਖੋਜਣ ਵਾਸਤੇ ਵਿੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ।

ਯੁਕਿਲਡਨ ਕੁਆਂਟਮ ਗਰੈਵਿਟੀ ਕੁਆਂਟਮ ਗਰੈਵਿਟੀ ਦੇ ਇੱਕ ਘੁਮਾਏ ਹੋਏ ਰੂਪ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਮੈਨੀਫੋਲਡ, ਸੂਡੋ ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਦੀ ਜਗਹ 4-ਅਯਾਮੀ ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਵੀ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਸੁੰਗੜੇ, ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਅਤੇ ਹੱਦਹੀਣ (ਯਾਨਿ ਕਿ, ਕੋਈ ਵੀ ਸਿੰਗੁਲਰਟੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅੱਗੇ ਆਮ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ –ਸਿਧਾਂਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਲਿਖੀ ਗਈ ਹੈ, ਵੈਕੱਮ ਤੋਂ ਵੈਕੱਮ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਟੈਂਸਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜੋ ਹੁਣ ਵਿਚਾਰ-ਅਧੀਨ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਹੈ।

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\mathbf {g} \,{\mathcal {D}}\phi \,\exp \left(\int d^{4}x{\sqrt {|\mathbf {g} |}}(R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} })\right)}$

ਜਿੱਥੇ φ ਸਾਰੀਆਂ ਪਦਾਰਥਕ ਫੀਲਡਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਦੇਖੋ ਆਈਨਸਟਾਈਨ-ਹਿਲਬ੍ਰਟ ਐਕਸ਼ਨ

ਯੁਕਿਲਡਨ ਕੁਆਂਟਮ ਗਰੈਵਿਟੀ ਵਾਪਿਸ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਕੁਆਂਟਮ ਗਰੈਵਿਟੀ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ADM ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਜੋੜਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਭਿੰਨ ਮੌਕਿਆਂ ਅਧੀਨ ਵੀਲਰ-ਡਿਵਿੱਟ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਨੂੰ ਰਿਕਵਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਕੋਈ ${\displaystyle \phi }$ ਪਦਾਰਥਕ ਫੀਲਡ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਇਵੇਂ ਪੜਿਆ ਜਾਵੇਗਾ,

${\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\mathbf {g} \,{\mathcal {D}}\phi \,\exp \left(\int d^{4}x{\sqrt {|\mathbf {g} |}}(R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} })\right)}$

ਜਿਥੇ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {g} }$ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ, ਤਿੰਨ-ਮੈਟ੍ਰਿਕਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ, ਲੈਪਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ${\displaystyle N}$, ਅਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਵੈਕਟਰ ${\displaystyle N^{a}}$ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਪਰ ਅਸੀਂ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹੱਦਾਂ ਉੱਤੇ ਲੈਪਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਵੈਕਟਰ ਤੋਂ ${\displaystyle Z}$ ਸੁਤੰਤਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕੀਏ,

${\displaystyle {\frac {\delta Z}{\delta N}}=0=\int {\mathcal {D}}\mathbf {g} \,{\mathcal {D}}\phi \,\left.{\frac {\delta S}{\delta N}}\right|_{\Sigma }\exp \left(\int d^{4}x{\sqrt {|\mathbf {g} |}}(R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} })\right)}$

ਜਿੱਥੇ ${\displaystyle \Sigma }$ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਹੱਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਦੇਖੋ ਕਿ ਇਸ ਦਰਸਾਅ ਦੇ ਖਤਮ ਹੋ ਜਾਣ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿਫੰਕਸ਼ਨਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਾਨੂੰ ਵੀਲਰ-ਡਿਵਿੱਟ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੰਦਾ ਹੋਇਆ ਮੁੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਮਿਲਦੀ ਜੁਲਦੀ ਗੱਲ (ਸਟੇਟਮੈਂਟ), ਡਿਫਿਔਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਰੋਕ ਵਾਸਤੇ ਵੀ ਕਹੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ (ਇਸਦੀ ਜਗਹ ਸ਼ਿਫਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲਓ)।

• Bryce S. DeWitt, Quantum Theory of Gravity - The Manifestly Covariant Theory, Phys. Rev. D 162, 1195 (1967).
• Bryce S. DeWitt, Giampiero Esposito, "An introduction to quantum gravity." Int.J.Geom.Meth.Mod.Phys. 5 (2008) 101–156. Eprint arXiv:0711.2445.
• Richard P. Feynman, Lectures on Gravitation, Notes by F.B. Morinigo and W.G. Wagner, Caltech 1963 (Addison Wesley 1995).
• Gary W. Gibbons and Stephen W. Hawking (eds.), Euclidean quantum gravity, World Scientific (1993).
• Herbert W. Hamber, Quantum Gravitation - The Feynman Path Integral Approach, Springer Publishing 2009, ISBN 978-3-540-85293-3.
• Stephen W. Hawking, The Path Integral Approach to Quantum Gravity, in General Relativity - An Einstein Centenary Survey, Cambridge U. Press, 1977.
• James B. Hartle and Stephen W. Hawking, "Wave function of the Universe." Phys. Rev. D 28 (1983) 2960–2975, eprint. Formally relates Euclidean quantum gravity to ADM formalism.
• Claus Kiefer, Quantum Gravity (third ed.). Oxford University Press 2012.
• Emil Mottola, "Functional Integration Over Geometries." J.Math.Phys. 36 (1995) 2470–2511. Eprint arXiv:hep-th/9502109.
• Martin J.G. Veltman, Quantum Theory of Gravitation, in Methods in Field Theory, Les Houches Session XXVIII, North Holland 1976.