ਸਪਿੰਨ (ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ)

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਕਣ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਮੁਢਲੇ ਕਣਾਂ, ਸੰਯੁਕਤ ਕਣਾਂ (ਹੈਡ੍ਰੌਨਾਂ), ਅਤੇ ਐਟੌਮਿਕ ਨਿਊਕਲੀਆਈ ਰਾਹੀਂ ਚੁੱਕੇ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਸਪਿੱਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀਆਂ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਸਪਿੱਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਦੂਜੀ ਕਿਸਮ ਔਰਬਿਟਲ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਔਰਬਿਟਲ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ, ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀ ਕਲਾਸੀਕਲ ਧਾਰਨਾ ਦਾ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਾਥੀ ਹੈ: ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੁਆਰਾ ਘੁਮਾਓਦਾਰ ਜਾਂ ਵਟੇਦਾਰ ਰਸਤਾ (ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਕਿਸੇ ਨਿਊਕਲੀਅਸ ਦੁਆਲੇ ਗਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ) ਅਪਣਾਉਣ ਤੇ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਪਿੱਨ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀ ਹੋਂਦ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਤੋਂ ਉੱਭਰੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਸਟੈਰਨ-ਗਾਰਲਚ ਪ੍ਰਯੋਗ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਅਜਿਹਾ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਰੱਖਦੇ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸਿਰਫ ਔਰਬਿਟਲ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੀ ਨਹੀਂ ਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਸੀ।

ਕੁੱਝ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ, ਸਪਿੱਨ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਮਾਤਰਾ ਹੈ; ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੇ, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਪਰ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਇਸ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਧਾਰਣ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀ ਚੀਜ਼ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ)। ਸਪਿੱਨ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁਢਲੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਸਪਿੱਨ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਣ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰ ਕੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸਪਿੱਨ ਦੀ SI ਯੂਨਿਟ ਜੂਲ-ਸੈਕੰਡ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਲਾਸੀਕਲ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ, ਫੇਰ ਵੀ, ਘਟਾਏ ਹੋਏ ਪਲੈਂਕ ਕੌਂਸਟੈਂਟ ħ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਯੂਨਿਟਾਂ ਵਿੱਚ, ħ ਨੂੰ ਨਾ ਲਿਖ ਕੇ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਤੋਂ ਬਗੈਰ ਨੰਬਰ ਹੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਪਿੱਨ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਯੂਨਿਟ ਤਹਿਤ ਨੰਬਰ ਹਨ।

ਜਦੋਂ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਪਿੱਨ-ਸਟੈਟਿਸਟਿਕਸ ਥਿਊਰਮ ਨਾਮ ਮਿਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਦਾ ਸਪਿੱਨ ਪੌਲੀ ਐਕਸਕਲੂਜ਼ਨ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਨਤੀਜੇ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਰਸਾਇਣਿਕ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਨਿਯਮਿਤ ਸਾਰਣੀ ਲਈ ਗੁਪਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਿਮੇਵਾਰ ਹੈ।

ਸਪਿੱਨ ਦਾ ਸੰਕਲਪ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵੋਲਫਗੈਂਗ ਪੌਲੀ ਵੱਲੋਂ ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਪਰ ਉਸਨੇ ਇਸਦਾ ਨਾਮ ਨਹੀਂ ਰੱਖਿਆ। 1925 ਵਿੱਚ, ਰਾਲਫ ਕ੍ਰੋਨਿਗ, ਜੌਰਜ ਉਹਲਨਬੈੱਕ ਅਤੇ ਸੈਮਉਅਲ ਗੋਉਡਸਮਿੱਥ ਨੇ ਲੀਡਨ ਯੂਨੀਵਰਸਟੀ ਵਿਖੇ ਅਪਣੀ ਧੁਰੀ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦੇ ਕਣਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਭੌਤਿਕੀ ਵਿਆਖਿਆ ਸੁਝਾਈ। ਗਣਿਤਿਕ ਥਿਊਰੀ ਉੱਤੇ ਗਹਿਰਾਈ ਵਿੱਚ ਪੌਲੀ ਦੁਅਰਾ 1927 ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਗਿਆ। ਜਦੋਂ 1928 ਵਿੱਚ ਪੌਲ ਡੀਰਾਕ ਨੇ ਅਪਣਾ ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ, ਤਾਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਸਪਿੱਨ ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਜਰੂਰੀ ਹਿੱਸਾ ਸੀ।

ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨਾਮ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ, ਸਪਿੱਨ ਨੂੰ ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੀ ਅਪਣੀ ਹੀ ਧੁਰੀ ਦੁਆਲੇ ਗਤੀ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਸੀ। ਇਹ ਸਮਝ ਹੁਣ ਤੱਕ ਸਹੀ ਰਹੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਪਿੱਨ ਉਹੀ ਗਣਿਤਿਕ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਸਪਿੱਨ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਅਨੋਖੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਔਰਬਿਟਲ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀ ਚੀਜ਼ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ:

• ਸਪਿੱਨ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ ਅੱਧਾ-ਅੰਕ ਮੁੱਲ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਨ
• ਭਾਵੇਂ ਸਪਿੱਨ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਵੀ ਕਿਸੇ ਮੁਢਲੇ ਕਣ ਨੂੰ ਤੇਜ਼ ਜਾਂ ਹੌਲੀ ਘੁੰਮਣ ਨਹੀਂ ਲਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ।
• ਕਿਸੇ ਚਾਰਜ ਵਾਲੇ ਕਣ ਦਾ ਸਪਿੱਨ ਇੱਕ 1 ਤੋਂ g-ਫੈਕਟਰ ਅੰਤਰ ਵਾਲੇ ਚੁੰਬਕੀ ਡਾਈਪੋਲ ਮੋਮੈਂਟ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਿਰਫ ਕਲਾਸੀਕਲ ਤੌਰ 'ਤੇ ਤਾਂ ਹੀ ਵਾਪਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕਣ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਚਾਰਜ ਇਸਦੇ ਪੁੰਜ ਤੋਂ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵੰਡ ਹੋਇਆ ਹੋਵੇ।

ਸਪਿੱਨ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ, s ਲਈ ਪ੍ਰੰਪਰਾਗਤ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ s=n/2 ਹੈ, ਜਿੱਥੇ n ਕੋਈ ਵੀ ਗੈਰ-ਨੈਗੇਟਿਵ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ s ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਮੁੱਲ 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ਆਦਿ ਬਣਦੇ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਮੁਢਲੇ ਕਣ ਲਈ s ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਿਰਫ ਕਣ ਦੀ ਕਿਸਮ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਆਤ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ (ਹੇਠਾਂ ਦਰਸਾਈ ਸਪਿੱਨ ਦਿਸ਼ਾ ਤੋਂ ਵਿਰੁੱਧ)। ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਸਪਿੱਨ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ, S ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। S ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਮੁੱਲ ਇਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ;

${\displaystyle S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}}={\frac {h}{4\pi }}\,{\sqrt {n(n+2)}},}$

ਜਿੱਥੇ h ਪਲੈਂਕ ਕੌਂਸਟੈਂਟ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਔਰਬਿਟਲ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ s ਦੇ ਸਿਰਫ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਮੁੱਲ ਹੀ ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ; ਯਾਨਿ ਕਿ, n ਦੇ ਇਵਨ ਨੰਬਰ ਵਾਲੇ ਮੁੱਲ ਹੀ ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਅੱਧਾ-ਅੰਕ ਸਪਿੱਨਾਂ ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਫਰਮੀਔਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ 1/2, 3/2, 5/2 ਸਪਿੱਨ, ਜਦੋਂਕਿ ਪੂਰਕ ਅੰਕ ਸਪਿੱਨ ਜਿਵੇਂ 0,1,2 ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਬੋਸੌਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਣਾਂ ਦੀਆਂ ਦੋਵੇਂ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਫੈਮਲੀਆਂ ਵੱਖਰੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਆਲੇ ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਸੰਸਾਰ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੀ ਵੱਖਰੀ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਦੋਵੇਂ ਫੈਮਲੀਆਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਫਰਮੀਔਨ ਪੌਲੀ ਐਕਸਕਲੂਜ਼ਨ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ; ਯਾਨਿ ਕਿ ਦੋ ਇੱਕੇ ਜਿਹੇ ਫਰਮੀਔਨ ਇਕੱਠੇ ਹੀ ਇੱਕੋ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ ਨਹੀਂ ਰੱਖ ਸਕਦੇ (ਮੋਟੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਭਾਵ ਹੈ ਕਿ, ਇੱਕੋ ਪੁਜੀਸ਼ਨ, ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨਹੀਂ ਰੱਖ ਸਕਦੇ)। ਇਸਤੋਂ ਉਲਟ, ਬੋਸੌਨ ਬੋਸ-ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਸਟੈਟਿਸਟਿਕਸ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਮੰਨਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਉੱਤੇ ਅਜਿਹੀ ਕੋਈ ਪਾਬੰਧੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਇਸਲਈ ਉਹ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁੱਛੇ ਬਣਾ ਲੈਂਦੇ ਹਨ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਸੰਯੁਕਤ ਕਣਾਂ ਦਾ ਸਪਿੱਨ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਰਚਣ ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਸਪਿੱਨ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਹੀਲੀਅਮ ਐਟਮ ਦਾ ਸਪਿੱਨ 0 ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸੇ ਕਾਰਣ ਇੱਕ ਬੋਸੌਨ ਵਾਂਗ ਵਰਤਾਓ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਭਾਵੇਂ ਇਸਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਕੁਆਰਕ ਅਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ, ਸਭ ਫਰਮੀਔਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਇਸਦੀਆਂ ਕਈ ਪ੍ਰੈਕਟੀਕਲ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਹਨ:

• ਕੁਆਰਕ ਅਤੇ ਲੈਪਟੌਨ (ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਅਤੇ ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋਆਂ ਸਮੇਤ), ਜੋ ਕਲਾਸੀਕਲ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜਾਣੇ ਜਾਂਦੇ “ਪਦਾਰਥ” ਨੂੰ ਰਚਦੇ ਹਨ, ਸਾਰੇ ਹੀ ਸਪਿੱਨ ½ ਵਾਲੇ ਫਰਮੀਔਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। “ਪਦਾਰਥ ਜਗਹ ਘੇਰਦਾ ਹੈ” ਵਾਲਾ ਸਾਂਝਾ ਵਿਚਾਰ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਪੌਲੀ ਐਕਸਕਲੂਜ਼ਨ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਤੋਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਕਣਾਂ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਕੇ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਰਚਣ ਵਾਲੇ ਫਰਮੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਤੋਂ ਰੋਕਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਸੰਘਣਾਪਣ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਊਰਜਾ ਅਵਸਥਾ ਮੱਲਣ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਕਾਰਣ ਪ੍ਰੈੱਸ਼ਰ (ਦਬਾਓ) ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ (ਜਿਸਨੂੰ ਕਦੇ ਕਦੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਦਾ ਵਿਨਾਸ਼ਕਾਰੀ ਦਬਾਓ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਫਰਮੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੋਣ ਤੋਂ ਰੋਕਣ ਲਈ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹੀ ਪ੍ਰੇੱਸ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਤਾਰਿਆਂ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਹੋ ਕੇ ਮੁੱਕ ਜਾਣ ਤੋਂ ਬਚਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਅੰਤ ਨੂੰ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਮੁੱਕ ਰਹੇ ਭਾਰੀ ਤਾਰੇ ਵਿੱਚ ਅੱਤ ਦੇ ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਪ੍ਰੈੱਸ਼ਰ ਅਧੀਨ ਗੋਡੇ ਟੇਕ ਕੇ ਰਾਹ ਦੇ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਾਰਾ ਅੰਦਰ ਵੱਲ ਇਕੱਠਾ ਹੋਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸੁੱਪਰਨੋਵਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਾਟਕੀ ਧਮਾਕਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਹੁਣ 2014 ਤੱਕ ਹੋਰ ਤਰਾਂ ਦੇ ਸਪਿੱਨਾਂ (3/2, 5/2 ਆਦਿ) ਵਾਲੇ ਮੁਢਲੇ ਕਣ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹਨ।
• ਮੁਢਲੇ ਕਣ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਫੋਰਸ ਕੈਰੀਅਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੋਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਾਰੇ ਸਪਿੱਨ 1 ਵਾਲੇ ਬੋਸੌਨ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਫੋਟੌਨ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੈ ਜੋ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੋਰਸ ਕੈਰੀ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਗਲੂਔਨ (ਤਾਕਤਵਰ ਫੋਰਸ), ਅਤੇ W ਅਤੇ Z ਬੋਸੌਨ (ਕਮਜੋਰ ਫੋਰਸ) ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ। ਬੋਸੌਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕੋ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ (ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਫਰੀਕੁਐਂਸੀ) ਮੱਲਣ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਨੂੰ ਲੇਜ਼ਰ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕੋ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ ਵਾਲੇ ਕਈ ਫੋਟੌਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਲਗਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਸੁੱਪਰਫਲੱਡ ਤਰਲ ਹੀਲੀਅਮ ਜੋ ਹੀਲੀਅਮ-4 ਐਟਮਾਂ ਦੀ ਪੈਦਾਵਰ ਹੈ ਬੋਸੌਨ ਹੁੰਦੀ ਹਰੈ, ਅਤੇ ਸੁੱਪਰਕੰਡਕਟੀਵਿਟੀ ਜਿੱਥੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ (ਜੋ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਫਰਮੀਔਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ) ਸਿੰਗਲ ਸੰਯੁਕਤ ਬੋਸੌਨ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ।
• ਹੋਰ ਸਪਿੱਨਾਂ (0,2,3 ਆਦਿ) ਵਾਲੇ ਮੁਢਲੇ ਬੋਸੌਨਾਂ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਇਤਿਹਾਸਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਸੀ, ਭਾਵੇਂ ਇਹਨਾਂ ਨੇ ਵਿਚਰਾਯੋਗ ਸਿਧਾਂਤਕ ਵਰਤਾਓ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਪਣੀਆਂ ਮੁੱਖ ਧਾਰਾ ਦੀਆਂ ਥਿਊਰੀਆਂ ਅੰਦਰ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਸਥਾਪਿਤ ਹੋ ਗਏ ਹਨ। ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਸਿਧਾਂਤਵਾਦੀਆਂ ਨੇ ਸਪਿੱਨ 2 ਵਾਲੇ ਗਰੈਵੀਟੋਨ (ਕੁੱਝ ਕੁਆਂਟਮ ਗਰੈਵਿਟੀ ਥਿਊਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਪਿੱਨ 0 ਵਾਲੇ ਹਿੱਗਜ਼ ਬੋਸੌਨ (ਜੋ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਵੀਕ ਸਮਿੱਟਰੀ ਬਰੇਕਿੰਗ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਂਦਾ ਹੈ) ) ਦਾ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਰੱਖਿਆ ਹੈ। 2013 ਤੋਂ ਬਾਦ ਸਪਿੱਨ 0 ਵਾਲੇ ਹਿੱਗਜ਼ ਬੋਸੌਨ ਦੀ ਹੋਂਦ ਸਾਬਤ ਹੋਈ ਮੰਨੀ ਗਈ ਹੈ। ਇਹ ਪਹਿਲਾ ਸਕੇਲਰ ਕਣ (ਸਪਿੱਨ 0) ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਕੁਦਰਤ ਵਿੱਚ ਮੋਜੂਦਗੀ ਗਿਆਤ ਹੈ।

ਸਿਧਾਂਤਕ ਅਤੇ ਪ੍ਰਯੋਗਿਕ ਅਧਿਐਨਾਂ ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ ਮੁਢਲੇ ਕਣਾਂ ਰਾਹੀਂ ਰੱਖਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਸਪਿੱਨ ਇਹ ਸਿੱਧ ਕਰਕੇ ਨਹੀਂ ਸਮਝਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਕਿ ਉਹ ਕਿਸੇ ਕਲਾਸੀਕਲ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਰੇਡੀਅਸ ਸਮਾਨ ਇੱਕ ਸਾਂਝੇ ਪੁੰਜ-ਕੇਂਦਰ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਹੋਰ ਵੀ ਸੂਖਮ ਕਣਾਂ ਤੋਂ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਜਿੰਨਾ ਕੁ ਹੁਣ ਤੱਕ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਹਨਾਂ ਮੁਢਲੇ ਕਣਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਅੰਦਰੂਨੀ ਬਣਤਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਕਿਸੇ ਮੁਢਲੇ ਕਣ ਦਾ ਸਪਿੱਨ ਇਸਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ੁੱਧ ਅੰਦਰੂਨੀ ਭੌਤਿਕੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਣ ਦੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਚਾਰਜ ਅਤੇ ਰੈਸਟ ਮਾਸ/ਪੁੰਜ ਵਾਂਗ ਦੇਖਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਅੱਧਾ –ਅੰਕ ਸਪਿੱਨ ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ (ਫਰਮੀਔਨਾਂ) ਦੁਆਰਾ ਫਰਮੀ-ਡੀਰਾਕ ਸਟੈਟਿਸਟਿਕਸ ਅਤੇ ਪੌਲੀ ਐਕਸਕਲੂਜ਼ਨ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਨ ਦਾ ਸਬੂਤ, ਅਤੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸਪਿੱਨ ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ (ਬੋਸੌਨਾਂ) ਦੁਆਰਾ ਬੋਸ-ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਸਟੈਟਿਸਟਿਕਸ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਮਿੱਟਰਿਕ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਮੱਲਣ ਕਾਰਣ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਸਾਂਝੀਆਂ ਕਰ ਸਕਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਨ ਦਾ ਸਬੂਤ, ਸਪਿੱਨ-ਸਟੈਟਿਸਟਿਕਸ ਥਿਊਰਮ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਥਿਊਰਮ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਥਿਊਰੀ, ਦੋਵਾਂ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਪਿੱਨ ਅਤੇ ਸਟੈਟਿਸਟਿਕਸ ਦਰਮਿਆਨ ਇਸ ਸਬੰਧ ਨੂੰ “ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ” ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ।

ਸਪਿੱਨ ਵਾਲੇ ਕਣ ਇੱਕ ਮੈਗਨੈਟਿਕ (ਚੁੰਬਕੀ) ਡਾਇਪੋਲ ਮੋਮੈਂਟ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਲਾਸੀਕਲ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘੁੰਮਦੀ ਹੋਈ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚਾਰਜ ਵਾਲੀ ਚੀਜ਼ ਰੱਖਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਯੋਗਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਜਾਂਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸਟਰਨ-ਗਾਰਲਚ ਪ੍ਰਯੋਗ ਵਿੱਚ ਇਨਹੋਮੋਜੀਨੀਅਸ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡਾਂ ਰਾਹੀਂ ਕਣਾਂ ਦਾ ਝੁਕਾਓ, ਜਾਂ ਖੁਦ ਕਣਾਂ ਰਾਹੀਂ ਰਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡਾਂ ਨੂੰ ਨਾਪ ਕੇ।

ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨ ½ ਕਣ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਮੋਮੈਂਟ μ, ਚਾਰਜ q, ਪੁੰਜ m, ਅਤੇ ਸਪਿੱਨ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ S ਨਾਲ ਇਸਤਰਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {g_{s}q}{2m}}\mathbf {S} }$

ਜਿੱਥੇ ਅਯਾਮ-ਰਹਿਤ ਮਾਤਰਾ g_s ਨੂੰ ਸਪਿੱਨ g-ਫੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੇਵਲ ਔਰਬਿਟਲ ਸਬੰਧਾਂ ਲਈ ਇਹ 1 ਹੋਵੇਗਾ (ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਪੁੰਜ ਅਤੇ ਚਾਰਜ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਘੇਰਦੇ ਹਨ)।

ਇੱਕ ਚਾਰਜ ਰੱਖਣ ਵਾਲਾ ਮੁਢਲਾ ਕਣ ਹੋਣ ਕਾਰਨ, ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ, ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਚੁੰਬਕੀ ਮੋਮੈਂਟ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਦੀ ਥਿਊਰੀਆਂ ਦੀਆਂ ਵੱਡੀਆਂ ਸਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਪ੍ਰਾਪਤੀ ਇਸਦੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ g-ਫੈਕਟਰ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਹੈ, ਜੋ −2.0023193043622(15) ਮੁੱਲ ਰੱਖਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਾਪਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿਚਲੇ ਅੰਕ ਆਖਰੀ ਦੋ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਝੁਕਾਓ ਉੱਤੇ ਨਾਪ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਮੁੱਲ 2 ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਮੁਢਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜੋ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੇ ਸਪਿੱਨ ਨੂੰ ਇਸਦੀਆਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਸ਼ੋਧ 0.002319304...ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਆਲੇ ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਅਜਿਹੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਨਾਲ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਤੋਂ ਮਿਲਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਅਪਣੀ ਫੀਲਡ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸੰਯੁਕਤ ਕਣ ਵੀ ਅਪਣੇ ਸਪਿੱਨ ਦੇ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਚੁੰਬਕੀ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਖਾਸ ਕਰਕੇ, ਨਿਊਟ੍ਰੌਨ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਿਊਟ੍ਰਲ ਹੁੰਦਾ ਹੋਇਆ ਵੀ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਚੁੰਬਕੀ ਮੋਮੈਂਟ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਤੱਥ ਇੱਕ ਤੁਰੰਤ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਨਿਊਟ੍ਰੌਨ ਇੱਕ ਮੁਢਲਾ ਕਣ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਦਰਅਸਲ, ਇਹ ਕੁਅਰਕਾਂ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚਾਰਜ ਰੱਖਣ ਵਾਲੇ ਕਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਨਿਊਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਮੋਮੈਂਟ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਕੁਆਰਕਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਔਰਬਿਟਲ ਗਤੀ ਤੋਂ ਆਉਂਦੀ (ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ) ਹੈ।

ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋ ਮੁਢਲੇ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਿਊਟ੍ਰਲ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਨਿਊਨਤਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਧਾਇਆ ਹੋਇਆ ਸਟੈਂਡਰਡ ਮਾਡਲ ਜੋ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋ ਪੁੰਜਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਲੈਂਦਾ ਹੈ, ਇਹਨਾਂ ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਸਾਨ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ;

${\displaystyle \mu _{\nu }\approx 3\times 10^{-19}\mu _{\mathrm {B} }{\frac {m_{\nu }}{\text{eV}}}}$

ਜਿੱਥੇ μ_ν ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਮੋਮੈਂਟ ਹਨ,m_ν ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋ ਪੁੰਜ ਹਨ, ਅਤੇμ_B ਬੋਹਰ ਮੈਗਨੇਟੌਨ ਹਨ। ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਵੀਕ ਪੈਮਾਨੇ ਤੋਂ ਉੱਤੇ ਦੀ ਨਵੀਂ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਨੇ ਫੇਰ ਵੀ ਕਾਫੀ ਉੱਚੇ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਮੋਮੈਂਟ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਲੱਗਭੱਗ 10⁻¹⁴μ_B ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਗੈਰ-ਕੁਦਰਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋ ਪੁੰਜ ਪ੍ਰਤਿ ਵਿਸ਼ਾਲ ਰੇਡੀਏਸ਼ਨ ਯੋਗਦਾਨ ਵੱਲ ਲੈ ਕੇ ਜਾਣਗੀਆਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋਆਂ ਦੇ ਪੁੰਜ 1 eV ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੇ, ਇਸਲਈ ਇਹ ਰੇਡੀਏਸ਼ਨ ਵਾਲੀਆਂ ਸ਼ੋਧਾਂ ਜਰੂਰ ਹੀ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਾਲ ਦਰਜੇ ਤੱਕ ਰੱਦ ਹੋਣ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਸੁਰਬੱਧ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ।

ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਦਾ ਨਾਪ ਖੋਜ ਦਾ ਕ੍ਰਿਆਸ਼ੀਲ ਖੇਤਰ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ 2001 ਵਿੱਚ, ਤਾਜ਼ਾ ਪ੍ਰਯੋਗਿਕ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੇ ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੇ ਚੁੰਬਕੀ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਦੇ 1.2×10⁻¹⁰ ਗੁਣਨਫਲ ਤੋਂ ਘੱਟ ਰੱਖ ਦਿੱਤਾ ਹੈ।

ਸਧਾਰਨ ਪਦਾਰਥਾਂ ਵਿੱਚ, ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਐਟਮਾਂ ਦੀਆਂ ਚੁੰਬਕੀ ਡਾਇਪੋਲ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡਾਂ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਨੂੰ ਕੈਂਸਲ ਕਰ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਡਾਇਪੋਲ ਕਿਸੇ ਉੱਘੜ-ਦੁੱਗੜ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਫੈਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਪਦਾਰਥ ਅਪਣੇ ਕਿਊਰਿ ਤਾਪਮਾਨ ਤੋਂ ਥੱਲੇ, ਫੇਰ ਵੀ, ਚੁੰਬਕੀ ਡੋਮੇਨਾਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਐਟੋਮਿਕ ਡਾਇਪੋਲ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਸਥਾਨਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਲੱਗ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਡੋਮੇਨ ਤੋਂ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਵਿਸ਼ਾਲ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡ ਰਚਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਉਹ ਸਧਾਰਣ ਚੁੰਬਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਹੀ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਜਾਣੂ ਹਾਂ।

ਪੈਰਾਮੈਗਨੈਟਿਕ ਪਦਾਰਥਾਂ ਵਿੱਚ, ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਐਟਮਾਂ ਦੀਆਂ ਚੁੰਬਕੀ ਡਾਇਪੋਲ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਕਿਸੇ ਬਾਹਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਤੁਰੰਤ ਲੱਗ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਡਾਇਮੈਗਨੈਟਿਕ ਪਦਾਰਥਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਐਟਮਾਂ ਦੀਆਂ ਚੁੰਬਕੀ ਡਾਇਪੋਲ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਤੁਰੰਤ ਕਿਸੇ ਬਾਹਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡ ਤੋਂ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਲਾਈਨ ਬਣਾ ਲੈਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਭਾਵੇਂ ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ ਊਰਜਾ ਖਰਚ ਹੁੰਦੀ ਹੋਵੇ।

ਅਜਿਹੇ ਸਪਿੱਨ ਮਾਡਲਾਂ ਦੇ ਵਰਤਾਓ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੰਡੈੱਨਸਡ (ਸੰਘਣੇ ਕੀਤੇ ਹੋਏ) ਪਦਾਰਥ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੀਸਰਚ ਦਾ ਅਮੀਰ ਖੇਤਰ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਜ਼ਿੰਗ ਮਾਡਲ ਅਜਿਹੇ ਸਪਿੱਨ (ਡਾਇਪੋਲ) ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸਿਰਫ ਦੋ ਹੀ ਸੰਭਵ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅੱਪ ਅਤੇ ਡਾਊਨ, ਜਦੋਂਕਿ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀਆਂ ਕਈ ਦਿਲਚਸਪ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ, ਜੋ ਫੇਜ਼ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਕਣ ਦਾ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਨਾ ਕੇਵਲ ਮਾਤਰਾ (ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ ਕੋਈ ਚੀਜ਼ ਘੁੰਮ ਰਹੀ ਹੈ) ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ (ਕਣ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ, ਜਾਂ ਅੱਪ ਜਾਂ ਡਾਊਨ) ਵੀ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਪਿੱਨ ਵੀ ਦਿਸ਼ਾ ਬਾਬਤ ਜਾਣਕਾਰੀ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਸੂਖਮ ਕਿਸਮ ਵਿੱਚ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਬਿਆਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਨਾਪੇ ਗਏ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਸਿਰਫ ਇਹ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚੋਂ ਮੁੱਲ ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ:

${\displaystyle S_{i}=\hbar s_{i},\quad s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\}\,\!}$

ਜਿੱਥੇ S_i, i-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਜਾਂ x, y, ਜਾਂ z), s_i, i-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ s, ਮੁੱਖ ਸਪਿੱਨ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਚਰਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ)। ਪ੍ਰੰਪਰਾਗਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੁਣੀ ਗਈ ਦਿਸ਼ਾ z-ਧੁਰੇ ਵਾਲੀ ਦਿਸ਼ਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

${\displaystyle S_{z}=\hbar s_{z},\quad s_{z}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\}\,\!}$

ਜਿੱਥੇ S_z, z-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ s_z, z-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ s_z ਦੇ 2s+1 ਸੰਭਵ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਨੰਬਰ “2s+1” ਸਪਿੱਨ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਮਲਟੀਪਲੀਸਿਟੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨ-½ ਕਣ ਲਈ ਸਿਰਫ ਦੋ ਸੰਭਵ ਮੁੱਲ ਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:s_z=+1/2 ਅਤੇ s_z=−1/2। ਇਹ ਅਜਿਹੀਆਂ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਕ੍ਰਮਵਾਰ +z ਜਾਂ –z ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਕਸਰ “ਸਪਿੱਨ ਅੱਪ” ਅਤੇ “ਸਪਿੱਨ ਡਾਊਨ” ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨ-3/2 ਕਣ ਲਈ, ਡੈਲਟਾ ਬੇਰੌਨ ਵਾਂਗ, ਸੰਭਵ ਮੁੱਲ +3/2, +1/2, −1/2, −3/2 ਹਨ।

ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨ ਵੈਕਟਰ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ਬਾਬਤ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਹਰੇਕ ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦੇ ਉਮੀਦ ਮੁੱਲ ਹੋਣ, ਯਾਨਿ ਕਿ,

${\displaystyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$

ਉਹ ਵੈਕਟਰ ਫੇਰ ਓਸ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏਗਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਕਲਾਸੀਕਲ ਸੰਕਲਪ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਪਿੱਨ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਪਿੱਨ ਵੈਕਟਰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਕੈਲਕੁਲੇਸ਼ਨਾਂ ਅੰਦਰ ਬਹੁਤਾ ਵਰਤੋ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਨੂੰ ਸਿੱਧਾ ਨਹੀਂ ਨਾਪਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ : s_x, s_y ਅਤੇ s_z, ਇਕੱਠੇ ਹੀ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਰੱਖ ਸਕਦੇ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਅਨਰਸਟਰਨੀ ਰਿਲੇਸ਼ਨ (ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਸਬੰਧ) ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਸ਼ੁੱਧ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਰੱਖੇ ਹੋਏ ਕਣਾਂ ਦੇ ਵਿਸ਼ਾਲ ਭੰਡਾਰ ਦੇ ਆਂਕੜੇ ਲਈ, ਜਿਵੇਂ ਸਟਰਨ-ਗਾਰਲਾਚ ਯੰਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਰਾਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਪਿੱਨ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਪ੍ਰਯੋਗਿਕ ਅਰਥ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਇਹ ਓਸ ਸਧਾਰਣ ਸਪੇਸ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਸਤੋਂ ਇੱਕ ਅਗਲਾ ਡਿਟੈਕਟ੍ਰ ਜਰੂਰ ਹੀ (ਘੁਮਾ ਕੇ) ਰੱਖਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਕਣ ਨੂੰ ਡਿਟੈਕਟ ਕਰਨ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਭਵ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ (100%) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ। ਸਪਿੱਨ-½ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਸੁਚਾਰੂ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਉਂ ਹੀ ਸਪਿੱਨ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਡਿਟੈਕਟਰ ਵਿਚਲਾ ਐਂਗਲ ਵਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਜਿਹਾ 180 ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਐਂਗਲ ਤੱਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ, ਸਪਿੱਨ ਵੈਕਟਰ ਤੋਂ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਰੱਖੇ ਗਏ ਡਿਟੈਕਟ੍ਰਾਂ ਲਈ, ਸਮੂਹ ਤੋਂ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਡਿਟੈਕਟ ਕਰਨ ਦੀ ਉਮੀਦ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਅਵਸਥਾ 0% ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਇੱਕ ਗੁਣਾਤਮਿਕ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਾਤਮਿਕ) ਸੰਕਲਪ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸਪਿੱਨ ਵੈਕਟਰ ਅਕਸਰ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦੀ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾਉਣੀ ਅਸਾਨ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ, ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਪਿੱਨ ਕਲਾਸੀਕਲ ਜਾਇਰੋਸਕੋਪ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਘਟਨਾਵਾਂ ਰੱਖ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਚੁਬਕੀ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਰੱਖ ਕੇ ਇਸ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦਾ “ਟੌਰਕ” ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੁੰਬਕੀ ਡਾਇਪੋਲ ਮੋਮੈਂਟ ਉੱਤੇ ਫੀਲਡ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੀ ਹੈ- ਅਗਲਾ ਭਾਗ ਦੇਖੋ)। ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਪਿੱਨ ਵੈਕਟਰ ਪਰੀਸੈਸ਼ਨ ਅਧੀਨ ਗੁਜ਼ਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਕਲਾਸੀਕਲ ਜਾਇਰੋਸਕੋਪ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਘਟਨਾਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਸਪਿੱਨ ਰੈਜ਼ੋਨੈਂਸ (ESR) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹੋ ਜਿਹਾ ਹੀ ਪ੍ਰੋਟੌਨਾਂ ਦਾ ਵਰਤਾਓ ਐਟੋਮਿਕ ਨਿਊਕਲੀਆਇ ਵਿੱਚ ਨਿਊਕਲੀਅਰ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਰੈਜ਼ੋਨੈਂਸ (NMR) ਸਪੈਕਟ੍ਰੋਸਕੋਪੀ ਅਤੇ ਇਮੇਜਿੰਗ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਪਿੱਨ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵੈਕਟਰ ਵਰਗੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਪਿਨੌਰਾਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਅਧੀਨ, ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਵਰਤਾਓ ਦਰਮਿਆਨ ਸੂਖਮ ਅੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨ–½ ਕਣ ਨੂੰ 360 ਡਿਗਰੀ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਉਸੇ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਵਾਪਿਸ ਨਹੀਂ ਲਿਆਂਦਾ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਸਗੋਂ ਉਲਟੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੇਜ਼ ਵਾਲੀ ਅਵਸਥਾ ਆ ਜਾਂਦੀ ਹੈ; ਇਸ ਨੂੰ ਮੁੱਖ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੰਟਰਫੇਰੈਂਸ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਰਾਹੀਂ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਣ ਨੂੰ ਉਸਦੀ ਮੂਲ ਅਵਸਥਾ ਤੱਕ ਵਾਪਿਸ ਪਰਤਾਓਣ ਦੇ ਲਈ, ਇੱਕ 720 ਡਿਗਰੀ ਦੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਪਿੱਨ-0 ਕਣ ਦੀ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਟੌਰਕ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨ-2 ਕਣ ਨੂੰ 180 ਡਿਗਰੀ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਉਸ ਨੂੰ ਮੂਲ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਵਾਪਿਸ ਲਿਆਂਦਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨ-4 ਕਣ ਨੂੰ ਵਾਪਿਸ ਮੂਲ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਲਈ ਸਿਰਫ 90 ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਘੁਮਾਉਣਾ ਹੀ ਕਾਫੀ ਹੈ। ਸਪਿੱਨ-2 ਕਣ ਕਿਸੇ ਸਿੱਧੀ ਸੋਟੀ ਸਮਾਨ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੋ 180 ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਘੁਮਾਉਣ ਤੇ ਵੀ ਉਸੇ ਤਰਾਂ ਦੇ ਦਿਸਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨ-0 ਕਣ ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦੀ ਤਰਾਂ ਹੁੰਦਾ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਭਾਵੇਂ ਜਿੱਧਰ ਮਰਜੀ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਲਵੋ, ਉਸੇ ਤਰਾਂ ਦਾ ਦਿਸਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।

ਸਪਿੱਨ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਔਰਬਿਟਲ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਵਾਂਗ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ:

${\displaystyle [S_{i},S_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}S_{k}}$

ਜਿੱਥੇ ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ ਲੇਵੀ-ਸਿਵਿਟਾ ਚਿੰਨ ਹੈ। ਇਸਤੋਂ ਇਹ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ (ਜਿਵੇਂ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) S² ਅਤੇ S² ਦੇ ਆਈਗਨਮੁੱਲ (ਕੁੱਲ S ਬੇਸਿਸ ਵਿੱਚ ਕੈੱਟਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ) ਇਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

${\displaystyle {\begin{aligned}S^{2}|s,m\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m\rangle \\S_{z}|s,m\rangle &=\hbar m|s,m\rangle .\end{aligned}}}$

ਇਹਨਾਂ ਆਈਗਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਕੇ ਰੇਜ਼ਿੰਗ ਅਤੇ ਲੋਅਰਿੰਗ ਸਪਿੱਨ ਓਪਰੇਟਰ ਇਹ ਦਿੰਦੇ ਹਨ:

${\displaystyle S_{\pm }|s,m\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m(m\pm 1)}}|s,m\pm 1\rangle }$,

ਜਿੱਥੇ ${\displaystyle S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}.}$

ਪਰ ਔਰਬਿਟਲ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਤੋਂ ਉਲਟ ਆਈਗਨਵੈਕਟਰ ਸਫੈਰੀਕਲ ਹਾਰਮੋਨਿਕਸ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਉਹ θ ਅਤੇ φ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। s ਅਤੇ m ਦੇ ਅੱਧੇ ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਣ ਦਾ ਵੀ ਕੋਈ ਕਾਰਣ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।

ਇਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ, ਸਾਰੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਕਣ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਪਿੱਨ ਰੱਖਦੇ ਹਨ (ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਪਿੱਨ 0 ਵੀ ਹੋਵੇ)। ਸਪਿੱਨ ਨੂੰ ਰਿਡਿਊਸਡ ਪਲੈਂਕ ਕੌਂਸਟੈਂਟ ਦੀਆਂ ਯੂਨਿਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸਤਰਾਂ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿ ਕਣ ਦਾ ਅਵਸਥਾ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਜਿਵੇਂ ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}$, ਨਾ ਹੋ ਕੇ ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,\sigma )\,}$ ਹੋਵੇ। ਜਿੱਥੇ ${\displaystyle \sigma }$ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਅਨਿਰੰਤਰ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

${\displaystyle \sigma \in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\cdots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.}$

ਬੋਸੌਨਾਂ (ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸਪਿੱਨ) ਅਤੇ ਫਰਮੀਔਨਾਂ (ਅੱਧਾ ਅੰਕ ਸਪਿੱਨ) ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਰਸਪਰ ਪ੍ਰਤਿਕ੍ਰਿਆ ਵਿੱਚ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕੁੱਲ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ, ਫੇਰ, ਔਰਬਿਟਲ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸਪਿੱਨ-½ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਓਪਰੇਟਰ ਇਹ ਹਨ:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}}$

ਜਿੱਥੇ ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਕੰਪੋਨੈਂਟ

${\displaystyle S_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x},\quad S_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y},\quad S_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}\,.}$

ਸਪਿੱਨ-½ ਕਣਾਂ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਲਈ,, σx, σy ਅਤੇ σz, ਤਿੰਨ ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹਨ, ਜੋ ਇਸਤਰਾਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\,\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.}$

ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ N ਕਣਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਲਈ ਇਹ ਪੌਲੀ ਐਕਸਕਲੂਜ਼ਨ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ, ਜੋ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ N ਕਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਦੋ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਵਟਾ ਦੇਣ ਤੇ ਜਰੂਰ ਹੀ ਇਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ;

${\displaystyle \psi (\cdots \mathbf {r} _{i},\sigma _{i}\cdots \mathbf {r} _{j},\sigma _{j}\cdots )=(-1)^{2s}\psi (\cdots \mathbf {r} _{j},\sigma _{j}\cdots \mathbf {r} _{i},\sigma _{i}\cdots ).}$

ਇਸਤਰਾਂ, ਬੋਸੌਨਾਂ ਲਈ ਪ੍ਰੀਫੈਕਟਰ (−1)2s ਘਟ ਕੇ +1 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫਰਮੀਔਨਾਂ ਲਈ ਇਹ -1 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਸਾਰੇ ਕਣ ਜਾਂ ਬੋਸੌਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਫਰਮੀਔਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਕੁੱਝ ਵਿਚਾਰਯੋਗ ਰਿਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊੇਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ‘ਸੁੱਪਰਸਮਿੱਟਰਿਕ’ ਕਣ ਵੀ ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਬੋਸੌਨਿਕ ਅਤੇ ਫਰਮੀਔਨਿਕ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਮੇਲ ਦਿਸਦਾ ਹੈ। ਦੋ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰੀਫੈਕਟਰ (−1)2s ਐਨੀਔਨ ਵਾਂਗ 1 ਮੁੱਲ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਰਾਹੀਂ ਵੀ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

N ਕਣ ਅਵਸਥਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਇਆ ਕ੍ਰਮ ਪਰਿਵਰਤਨ ਚਿੱਤ੍ਰਣ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਜਿੰਦਗੀ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਤੀਜੇ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਰਸਾਇਣ ਜਾਂ ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਦਾ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਟੇਬਲ।

ਜਿਵੇਂ ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਬਿਆਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਨਾਪੇ ਗਏ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਅਨਿਰੰਤਰ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਹੀ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਕਰਕੇ ਕਣ ਦੇ ਸਪਿੱਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਅਸਾਨ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਵਿਵਰਣ, ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਇਸਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਖੋਜਣ ਦੇ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨ ½ ਕਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਨੰਬਰਾਂ a_±1/2 ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪਏਗੀ, ਜੋ ਇਸ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀ ਜਰੂਰਤ ਤੇ ਖਰਾ ਉਤਰਦਾ ਹੋਇਆ, ħ/2 ਅਤੇ −ħ/2 ਬਰਾਬਰ ਇਸਦੇ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਇਸਨੂੰ ਖੋਜਣ ਦੇ ਐਂਪਲੀਟਿਊਚ ਦੇ ਰਹੇ ਹਨ;

${\displaystyle \left|a_{\frac {1}{2}}\right|^{2}+\left|a_{-{\frac {1}{2}}}\right|^{2}\,=1.}$

ਸਪਿੱਨ s ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਸਧਾਰਣ ਕਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਅਜਿਹੇ 2s + 1 ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਨੰਬਰ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਇਹ ਧੁਰੇ ਦੇ ਘੁਮਾਏ ਜਾਣ ਤੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ ਗੈਰ-ਸੂਖਮ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਤਬਦੀਲ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਸਪਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨਿਯਮ ਜਰੂਰ ਹੀ ਲੀਨੀਅਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਹਰੇਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰ ਸਕੀਏ, ਅਤੇ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ A ਅਤੇ B ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਦੋ ਪਰਿਵਰਤਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਜਰੂਰ ਹੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ AB ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰ ਰਹੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਅੱਗੇ, ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰਾਂ ਸਾਡੇ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:

${\displaystyle \sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.}$

ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਰੋਟਰੇਸ਼ਨ ਗਰੁੱਪ SO(3) ਦੀ ਇੱਕ ਯੂਨਾਈਟਰੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਿਵ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਜਿਹੀ ਹਰੇਕ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ SO(3) ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ SU(2) ਹੈ। ਹਰੇਕ ਅਯਾਮ ਲਈ ਇੱਕ n-ਅਯਾਮੀ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਨਾ ਘਟਾਈ ਅਵਸਥਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀ SU(2) ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਔਡ n ਲਈ n-ਅਯਾਮੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਤੇ ਇਵਨ n (ਇਸਲਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਯਾਮ 2n ਲਈ) n-ਅਯਾਮੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਨੌਰਮਲ ਵੈਕਟਰ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ ਵਾਲੀ ਕਿਸੇ ਸਤਹਿ ਵਿੱਚ ਐਂਗਲ θ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਲਈ, U ਨੂੰ ਇਸਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;

${\displaystyle U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {S} },}$

ਜਿੱਥੇ ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ S ਸਪਿੱਨ ਓਪਰੇਟਰ ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਹੈ।

(ਸਬੂਤ ਦੇਖਣ ਲਈ “ਵੇਖਾਓ” ਤੇ ਕਲਿੱਕ ਕਰੋ ਜਾਂ ਛੁਪਾਉਣ ਲਈ “ਓਹਲੇ” ਦਬਾਓ)

---

ਅਜਿਹੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਜਿੱਥੇ ${\displaystyle {\hat {\theta }}={\hat {z}}}$ ਹੋਵੇ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਚਾਹਾਂਗੇ ਕਿ S_x ਅਤੇ S_y ਐਂਗਲ θ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ ਨੂੰ ਘੁੰਮਾਏ ਗਏ ਹਨ। S_x ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ħ = 1 ਵਾਲੀਆਂ ਯੂਨਿਟਾਂ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ :

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}\rightarrow U^{\dagger }S_{x}U&{}=e^{i\theta S_{z}}S_{x}e^{-i\theta S_{z}}\\&{}=S_{x}+(i\theta )[S_{z},S_{x}]+\left({\frac {1}{2!}}\right)(i\theta )^{2}[S_{z},[S_{z},S_{x}]]+\left({\frac {1}{3!}}\right)(i\theta )^{3}[S_{z},[S_{z},[S_{z},S_{x}]]]+\cdots \\\end{aligned}}}$

ਸਪਿੱਨ ਓਪਰੇਟਰ ਕਮਿਉਟੇਸ਼ਨ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਔਡ ਰਕਮਾਂ ਲਈ ਕਮਿਉਟੇਟਰ, iS_y ਤੱਕ, ਅਤੇ ਇਵਨ ਰਕਮਾਂ ਲਈ S_x ਤੱਕ ਉਤਪੰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸਤਰਾਂ:

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{\dagger }S_{x}U&{}=S_{x}\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+...\right]-S_{y}\left[\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}\cdots \right]\\&{}=S_{x}\cos \theta -S_{y}\sin \theta \\\end{aligned}}}$

ਜਿਵੇਂ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਸਪਿੱਨ ਓਪਰੇਟਰ ਕਮਿਉਟੇਸ਼ਨ ਸਬੰਧਾਂ ਉੱਤੇ ਯਕੀਨ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਇਹ ਸਬੂਤ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਯਾਮ ਤੇ ਲਾਗੂ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। (ਯਾਨਿ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ s ਤੇ)

---

ਇਲੁਰ ਐਂਗਲਾਂ ਨੂੰ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਓਪਰੇਟਰ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਕਰਕੇ 3-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਬਣਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ:

${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha S_{x}}e^{-i\beta S_{y}}e^{-i\gamma S_{z}}}$

ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਇਸ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਤੱਕ ਨਾ ਘਟਾਈ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿਗਨਰ D-ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ:

${\displaystyle D_{m'm}^{s}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle sm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|sm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{s}(\beta )e^{-im\gamma },}$

ਜਿੱਥੇ

${\displaystyle d_{m'm}^{s}(\beta )=\langle sm'|e^{-i\beta s_{y}}|sm\rangle }$

ਵਿਗਨਰ ਦਾ ਛੋਟਾ d-ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ γ = 2π ਅਤੇ α = β = 0 ਲਈ, ਯਾਨਿ ਕਿ, z-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਪੂਰੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਲਈ, ਵਿਗਨਰ D-ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇਹ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

${\displaystyle D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi )=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi }=\delta _{m'm}(-1)^{2m}.}$

ਯਾਦ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸਪਿੱਨ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ m ਨਾਲ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੁੱਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ s ਕੋਈ ਅੱਧਾ ਅੰਕ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ m ਦੇ ਮੁੱਲ ਵੀ ਅੱਧਾ ਅੰਕ ਹੋਣਗੇ, ਜੋ ਸਾਰੇ m ਲਈ (−1)^2m = −1 ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਾਰਣ 2π ਰਾਹੀਂ ਰੋਟੇਸ਼ਕ ਤੱਕ, ਅਵਸਥਾ ਇੱਕ ਮਾਈਨਸ ਚਿੰਨ ਚੁੱਕਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਤੱਥ ਸਪਿੱਨ ਸਟੈਟਿਸਟਿਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਸਬੂਤ ਦਾ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਤੱਤ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਜਨਰਲ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਹੇਠਾਂ ਸਪਿੱਨ ਦੇ ਵਰਤਾਓ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹੀ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਅਪਣਾ ਸਕਦੇ ਸੀ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਤੁਰੰਤ ਇੱਕ ਵੱਡੀ ਰੁਕਾਵਟ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ। SO(3) ਦੀ ਤਰਾਂ, SO(3,1) ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗਰੁੱਪ, ਠੋਸ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਇਹ ਕੋਈ ਭਰੋਸੇਯੋਗ, ਯੂਨਾਇਟਰੀ, ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਾਲਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।

ਸਪਿੱਨ-½ ਕਣਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਬਣਤਰ ਲੱਭਣੀ ਸੰਭਵ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸਮੀਤ-ਅਯਾਮੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਇਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰਾਹੀਂ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ, ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕਰਦੀ ਹੋਵੇ। ਹਰੇਕ ਕਣ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਇੱਕ 4-ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਡੀਰਾਕ ਸਪਿਨੌਰ ${\displaystyle \psi }$ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਪਿਨੌਰ ਇਸ ਨਿਯਮ ਮੁਤਾਬਿਕ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਹੇਠਾਂ ਤਬਦੀਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ;

${\displaystyle \psi '=\exp {\left({\frac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi }$

ਜਿੱਥੇ ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹਨ ਅਤੇ ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਸਮਿੱਟਰਿਕ 4×4 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ। ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।

${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$

ਇਹ ਫੇਰ ਵੀ, ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਜਿਸ ਕਾਰਨ ਪ੍ਰਸਤਿਤੀ ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।

ਹਰੇਕ (ਹਰਮਿਸ਼ਨ) ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਦੋ ਆਈਗਨਮੁੱਲ +1 ਅਤੇ -1 ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸਬੰਧਤ ਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ਡ ਆਈਗਨਵੈਕਟਰ ਇਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

${\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=&{\begin{pmatrix}{1}\\{0}\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=&{\begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix}}.\end{array}}}$

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣਾਂ ਰਾਹੀਂ, x, y ਜਾਂ z ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਸਪਿੱਨ ਨੂੰ ਨਾਪਣ ਲਈ ਡਿਜਾਈਨ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਕੋਈ ਪ੍ਰਯੋਗ ਓਸ ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਸਬੰਧਤ ਸਪਿੱਨ ਓਪਰੇਟਰ (S_x, S_y or S_z) ਦੇ ਕਿਸੇ ਆਇਗਨਮੁੱਲ ਨੂੰ ਹੀ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ħ/2 ਜਾਂ –ħ/2 ਨੂੰ। ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੀ (ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਤਿ) ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋ-ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਵਾਲੇ ਸਪਿਨੌਰ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}{a+bi}\\{c+di}\end{pmatrix}}.}$

ਜਦੋਂ ਇਸ ਕਣ ਦੇ ਸਪਿੱਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਧੁਰੇ (ਏਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ x ਧੁਰਾ) ਪ੍ਰਤਿ ਨਾਪਿਅ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ, ਸਪਿੱਨ ਦੇ ħ/2 ਨਾਪੇ ਜਾਣ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ${\displaystyle \left\vert \langle \psi _{x+}\vert \psi \rangle \right\vert ^{2}}$ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰਾਂ, ਸਪਿੱਨ ਦੇ –ħ/2 ਨਾਪੇ ਜਾਣ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ${\displaystyle \left\vert \langle \psi _{x-}\vert \psi \rangle \right\vert ^{2}}$ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਨਾਪ ਦਾ ਪਿੱਛਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਕਣ ਦੀ ਸਪਿੱਨ ਅਵਸਥਾ ਸਬੰਧਤ ਆਈਗਨ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਟੁੱਟ ਜਾਂਵੇਗੀ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕਣ ਦਾ ਸਪਿੱਨ ਕੋਈ ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਆਈਗਨਮੁੱਲ ਰੱਖਦਾ ਨਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਰੇ ਨਾਪ ਉਹੀ ਆਈਗਨਮੁੱਲ ਪੈਦਾ ਕਰਨਗੇ (ਕਿਉਂਕਿ ${\displaystyle \left\vert \langle \psi _{x+}\vert \psi _{x+}\rangle \right\vert ^{2}=1}$, ਅਦਿ), ਬਸ਼ਰਤੇ ਸਪਿੱਨ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਨਾਪ ਹੋਰ ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਨਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ।

ਕਿਸੇ ਮਨਚਾਹੇ ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਨਾਪਣ ਲਈ ਓਪਰੇਟਰ ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਤੋਂ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ u = (u_x, u_y, u_z) ਇੱਕ ਮਨਚਾਹਿਆ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਹੈ। ਤਾਂ ਇਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਸਪਿੱਨ ਲਈ ਓਪਰੇਟਰ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

${\displaystyle S_{u}={\frac {\hbar }{2}}(u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z})}$

ਓਪਰੇਟਰ Su ਦੇ ਆਈਗਨਮੁੱਲ ±ħ/2 ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਆਮ ਸਪਿੱਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਮਨਮਰਜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਲਈ ਓਪਰੇਟਰ ਲੱਭਣ ਦਾ ਇਹ ਤਰੀਕਾ ਉੱਚ ਸਪਿੱਨ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਤੱਕ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿੰਨ x, y, z ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਲਈ ਤਿੰਨ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਦਿਸ਼ਾ ਨਾਲ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ) ਲੈਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

(u_x, u_y, u_z) ਦਿਸ਼ਾ (ਜੋ ਸਾਰੀਆਂ ਸਪਿੱਨ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਲਈ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸਿਰਫ ਸਪਿੱਨ ਡਾਊਨ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ, ਜਿੱਥੇ ਇਹ 0/0 ਦੇਵੇਗਾ) ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ–½ ਲਈ ਇੱਕ ਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ਡ ਸਪਿਨੌਰ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{pmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{pmatrix}}.}$

ਉੱਪਰ ਲਿਖਿਆ ਸਪਿਨੌਰ ਇੱਕ ਆਮ ਤਰੀਕੇ ਰਾਹੀਂ ${\displaystyle \sigma _{u}}$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਡਾਇਗਨਲਾਇਜ਼ਿੰਗ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਆਈਗਨਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਆਇਗਨ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਖੋਜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਉਦੋਂ “ਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ਡ” ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੈਕਟਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਇਕਾਈ (ਯੁਨਿਟੀ) ਬਣਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

ਕਿਉਂਕਿ ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਮਿਊਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ (ਵਟਾਂਦਰਾ ਸਬੰਧ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ), ਇਸਲਈ ਵੱਖਰੇ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਸਪਿੱਨ ਦੇ ਨਾਪ ਅਨੁਕੂਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਜਾਣਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ y-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਸਪਿੱਨ ਨਾਪਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਸਪਿੱਨ ਵਾਲੀ ਅਪਣੀ ਪੁਰਾਣੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰੀਕਸਾਂ ਦੀ ਆਇਗਨਵੈਕਟਰਾਂ (ਯਾਨਿ ਆਈਗਨ ਅਵਸਥਾਵਾਂ) ਵਾਲੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਤੋਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

${\displaystyle \mid \langle \psi _{x\pm }\mid \psi _{y\pm }\rangle \mid ^{2}=\mid \langle \psi _{x\pm }\mid \psi _{z\pm }\rangle \mid ^{2}=\mid \langle \psi _{y\pm }\mid \psi _{z\pm }\rangle \mid ^{2}={\frac {1}{2}}.}$

ਇਸਲਈ ਜਦੋਂ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੇ ਸਪਿੱਨ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਵੱਲ ਨਾਪਦੇ ਹਨ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ħ/2, ਤਾਂ ਕਣ ਦੀ ਸਪਿੱਨ ਅਵਸਥਾ ਆਇਗਨ ਅਵਸਥਾ ${\displaystyle \mid \psi _{x+}\rangle }$ ਵਿੱਚ ਟੁੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਫੇਰ ਕਣ ਦੇ ਸਪਿੱਨ ਦਾ ਨਾਪ y-ਧੁਰੇ ਵੱਲ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਹੁਣ ਸਪਿੱਨ ਅਵਸਥਾ ਜਾਂ ਤਾਂ ${\displaystyle \mid \psi _{x+}\rangle }$ ਵਿੱਚ ਜਾਂ ਫੇਰ ${\displaystyle \mid \psi _{y-}\rangle }$ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਲਈ ½ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ (ਅੱਧੀ-ਅਧੀ ਸੰਭਾਵਨਾ) ਨਾਲ ਟੁੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਕਹੀਏ ਕਿ, ਸਾਡੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ –ħ/2 ਨਾਪਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਵਾਪਿਸ ਫੇਰ ਤੋਂ ਕਣ ਦੇ ਸਪਿੱਨ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਨਾਪਣ ਮੁੜਦੇ ਹਾਂ, ਪ੍ਰੋਬੋਬੇਲਥੀਆਂ ਜੋ ਹਰੇਕ ਲਈ ½ ਹਨ, ħ/2 ਜਾਂ –ħ/2 ਨਾਪ ਦੇਣਗੀਆਂ (ਯਾਨਿ ਕਿ, ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ${\displaystyle \mid \langle \psi _{x+}\mid \psi _{y-}\rangle \mid ^{2}}$ ਅਤੇ ${\displaystyle \mid \langle \psi _{x-}\mid \psi _{y-}\rangle \mid ^{2}}$ ਹਨ)। ਇਸਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ x-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਸਪਿੱਨ ਦਾ ਮੂਲ ਨਾਪ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਦੇਰ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦਾ, ਕਿਉਂਕਿ x-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਸਪਿੱਨ, ਹੁਣ ਬਰਾਬਰ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਨਾਲ ਕਿਸੇ ਵੀ ਆਈਗਨਮੁੱਲ ਰੱਖਣ ਲਈ ਨਾਪਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।

ਸਪਿੱਨ–½ ਓਪਰੇਟਰ S = ħ/2 σ, SU(2) ਦੀ ਮੁਢਲੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰਚਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੇ ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ ਦੋਹਰਾ ਦੋਹਰਾ ਕੇ ਕਰੋਨੈੱਕਰ ਗੁਣਨਫਲ ਲੈ ਕੇ, ਸਾਰੀਆਂ ਉੱਚੀਆਂ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਨਾ ਘਟਾਈਆਂ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਰਚੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਯਾਨਿ ਕਿ, ਮਨਮਰਜੀ ਦੇ ਵਿਸ਼ਾਲ s ਲਈ, ਤਿੰਨ ਸਥਾਨਿਕ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਉੱਚ-ਸਪਿੱਨ ਸਿਸਟਮਾਂ ਲਈ ਨਤੀਜਨ ਸਪਿੱਨ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ, ਸਪਿੱਨ ਓਪਰੇਟਰ ਅਤੇ ਲੈਡਰ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਕੈਲਕੁਲੇਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਪਿੱਨ-1 ਲਈ ਨਤੀਜਨ ਸਪਿੱਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇਹ ਹਨ:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\,\\S_{y}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\,\\S_{z}&=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,\end{aligned}}}$

ਸਪਿੱਨ-3/2 ਲਈ ਨਤੀਜਨ ਸਪਿੱਨ ਓਪਰੇਟਰ ਇਹ ਹਨ:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\,\\S_{y}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\,\\S_{z}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}\,\end{aligned}}}$

ਅਤੇ ਸਪਿੱਨ 5/2 ਲਈ ਇਹ ਹਨ:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\,\\S_{y}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\,\\S_{z}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

ਮਨਚਾਹੇ s ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਜਨਰਲਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਇਹ ਹੈ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(S_{x}\right)_{ab}&={\frac {\hbar }{2}}(\delta _{a,b+1}+\delta _{a+1,b}){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}}\,\\\left(S_{y}\right)_{ab}&={\frac {\hbar }{2i}}(\delta _{a,b+1}-\delta _{a+1,b}){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}}\,\quad 1\leq a,b\leq 2s+1\,\\\left(S_{z}\right)_{ab}&=\hbar (s+1-a)\delta _{a,b}=\hbar (s+1-b)\delta _{a,b}\,.\end{aligned}}}$

ਆਮ ਪੌਲੀ ਗਰੁੱਪG_n, ਜੋ ਮਲਟੀਪਾਰਟੀਕਲ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਵੀ ਲਾਭਕਾਰੀ ਹੈ, ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ n-ਫੋਲਡ ਟੈਂਸਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇਲੁਰ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਸਮਾਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਹ ਹੈ:

${\displaystyle e^{i\theta ({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})}=I\cos \theta +i({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\sin \theta \,}$

ਜੋ ਉੱਚੇ ਸਪਿੱਨਾਂ ਲਈ ਅਰਾਮਦਾਇਕ ਹੈ, ਪਰ ਬਹੁਤਾ ਸਰਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਨਿਊਕਲੀਆਇ ਜਾਂ ਕਣਾਂ ਲਈ ਸਪਿੱਨ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ s ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ, ਸਪਿੱਨ ਅਕਸਰ ਇੱਕ "+" ਜਾਂ "−" ਚਿੰਨ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਵਨ ਪੇਅਰਟੀ ਲਈ "+" ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਸਥਾਨਿਕ ਉਲਟਾਓਣ ਨਾਲ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ) ਅਤੇ ਔਡ ਪੇਅਰਟੀ ਲਈ "−" ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਇਨਵਰਸ਼ਨ ਰਾਹੀਂ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੈਗੈਟਿਵ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ)। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਬਿਸਮੁਥ (bismuth) ਦੇ ਆਈਸੋਟੋਪ ਦੇਖੋ।

ਸਪਿੱਨ ਦੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸਿਧਾਂਤਿਕ ਅਰਥ ਅਤੇ ਪ੍ਰੈਕਟੀਕਲ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਸਪਿੱਨ ਦੇ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਸਥਾਪਿਤ ਸਿੱਧੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ:

• ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਨਿਊਕਲੀਅਰ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਰੈਜ਼ੋਨੈਂਸ ਸਪੈਕਟ੍ਰੋਸਕੋਪੀ (NMR);
• ਰਸਾਇਨ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਸਪਿੱਨ ਰੈਜ਼ੋਨੈਂਸ;
• ਉਪਯੋਗਿਕ (NMR) ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਜਿਸਨੂੰ ਮੇਗਨੈਟਿਕ ਰੈਜ਼ੋਨੈਂਸ ਇਮੇਜਿੰਗ (MRI) ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਪ੍ਰੋਟੌਨ ਸਪਿੱਨ ਡੈਨੱਸਿਟੀ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ;
• ਮਾਡਰਨ ਹਾਰਡ ਡਿਸਕਾਂ ਵਿੱਚ ਡਰਾਈਵ ਹੈੱਡ ਟੈਕਨੌਲੌਜੀ ਜੀਏਂਟ ਮੈਗਨੇਟੋਰਿਜ਼ਿਸਟਿਵ (GMR)

ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਸਪਿੱਨ ਮੈਗਨੈਟਿਜ਼ਮ ਵਿੱਚ ਇੱਲ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਰੋਲ ਅਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਉਪਯੋਗ ਜਿਵੇਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਮੈਮੋਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਹਨ। ਕੈਮੀਕਲ ਸਪੈਕਟ੍ਰੋਸਕੋਪੌ ਅਤੇ ਮੈਡੀਕਲ ਇਮੇਜਿੰਗ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਓਫਰੀਕੁਐਂਸੀ ਤਰੰਗਾਂ (ਨਿਊਕਲੀਅਰ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਰੈਜ਼ੋਨੈਂਸ) ਰਾਹੀਂ ਨਿਊਕਲੀਅਰ ਸਪਿੱਨ ਦਾ ਜੋੜ ਤੋੜ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਰੋਲ ਅਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਸਪਿੱਨ-ਔਰਬਿਟ ਕਪਲਿੰਗ, ਐਟੋਮਿਕ ਸਪੈਕਟ੍ਰਾ ਦੀ ਸੁਰਬੱਧ ਬਣਤਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸੈਕੰਡ ਦੀ ਅਜੋਕੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਅਟੌਮਿਕ ਕਲੌਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੇ g-ਫੈਕਟਰ ਦੇ ਸ਼ੁੱਧ ਨਾਪ ਕੁਆਂਟਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਦੀ ਪ੍ਰਮਾਣਿਕਤਾ ਅਤੇ ਵਿਕਾਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਫੋਟੌਨ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਪੋਲਰਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੈ।

ਸਪਿੱਨ ਦਾ ਇੱਕ ਉੱਭਰ ਰਿਹਾ ਉਪਯੋਗ ਸਪਿੱਨ ਟਰਾਂਜ਼ਿਸਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਾਇਨਰੀ ਇਨਫਰਮੇਸ਼ਨ ਕੈਰੀਅਰ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੈ। ਮੂਲ ਸੰਕਲਪ, ਜੋ 1990 ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਨੂੰ ਦੱਤਾ-ਦਾਸ ਸਪਿੱਨ ਟਰਾਂਜ਼ਿਸਟਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਸਪਿੱਨ ਟਰਾਂਜ਼ਿਸਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਿਕਸ ਨੂੰ ਸਪਿੱਨਟ੍ਰੌਨਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤਰਲ ਚੁੰਬਕੀ ਸੇਮੀ-ਕੰਡਕਟਰ ਪਦਾਰਥਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਮੈਟਲ-ਡੋਪਡ ZnO ਜਾਂ TiO2, ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਦਾ ਜੋੜ ਤੋੜ ਅਜ਼ਾਦੀ ਦੀ ਹੋਰ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਕੇ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਸਮਰਥਾ ਵਾਲੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਿਕਸ ਦੀ ਰਚਨਾ ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਸਪਿੱਨ ਸਬੰਧਿਤ ਪੌਲੀ ਐਕਸਕਲੂਜ਼ਨ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਦੇ ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸਿੱਧੇ ਉਪਯੋਗ ਅਤੇ ਪ੍ਰਗਟਾਓ ਹਨ, ਜੋ ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਟੇਬਲ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

• Sin-Itiro Tomonaga, The Story of Spin, 1997

• "Spintronics. Feature Article" in Scientific American, June 2002.
• Goudsmit on the discovery of electron spin.
• Nature: "Milestones in 'spin' since 1896."
• ECE 495N Lecture 36: Spin Online lecture by S. Datta