Система компьютерной алгебры

Система компьютерной алгебры (СКА, англ. computer algebra system, CAS) — это прикладная программа для символьных вычислений, то есть выполнения преобразований и работы с математическими выражениями в аналитической (символьной) форме.

Системы компьютерной алгебры различаются по возможностям, но обычно поддерживают следующие символьные действия:

• упрощение выражений до меньшего размера или приведение к стандартному виду, включая автоматическое упрощение с использованием предположений и ограничений
• подстановка символьных и численных значений в выражения
• изменение вида выражений: раскрытие произведений и степеней, частичная и полная факторизация (разложение на множители)
• разложение на простые дроби, удовлетворение ограничений, запись тригонометрических функций через экспоненты, преобразование логических выражений
• дифференцирование в частных и полных производных
• нахождение неопределённых и определённых интегралов (символьное интегрирование)
• символьное решение задач оптимизации: нахождение глобальных экстремумов, условных экстремумов и т. д.
• решение линейных и нелинейных уравнений
• алгебраическое (нечисленное) решение дифференциальных и конечно-разностных уравнений
• нахождение пределов функций и последовательностей
• интегральные преобразования
• оперирование с рядами: суммирование, умножение, суперпозиция
• матричные операции: обращение, факторизация, решение спектральных задач
• статистические вычисления
• автоматическое доказательство теорем, формальная верификация
• синтез программ

Многие из СКА также включают:

• язык программирования, позволяющий пользователям составлять собственные алгоритмы
• числовые операции произвольной точности
• целочисленную арифметику для больших чисел и поддержку функции теории чисел
• редактирование математических выражений в двумерной форме (с индексами, обычными дробями и т. д.)
• построение графиков функций в двух или трёх измерениях и их анимаций
• рисование графиков и диаграмм
• API для использования внешними программами (базы данных) или в языках программирования для использования системы компьютерной алгебры
• операции со строками (поиск подстроки)
• дополнительные модули прикладной математики для таких областей, как физика, биоинформатика, вычислительная химия и пакеты для инженерно-физических вычислений

Некоторые также включают:

• создание и редактирование графики (создание компьютерных изображений, а также обработку сигналов и анализ изображений)
• синтез звука

Некоторые СКА направлены на специфическую область использования; обычно такие программы разрабатываются академическим сообществом и распространяются бесплатно. Они могут быть не столь эффективны в численных расчетах, как системы для численных методов.

СКА появились в начале 1960-х и поэтапно развивались, в основном, в двух направлениях: теоретическая физика и создание искусственного интеллекта. Одной из ранних программ является, используемая и поныне FORM^[1][2], из голландского института субатомной физики.

Первым успешным примером была новаторская работа Мартинуса Велтмана (позднее удостоенная Нобелевской премии по физике), который в 1963 создал программу для символьных вычислений (для нужд физики высоких энергий), которая была названа Schoonschip.

Используя LISP, Карл Энгельман в 1964 создал MATHLAB в рамках проекта MITRE (по исследованию искусственного интеллекта). Позже MATHLAB стал доступным в университетах для пользователей мейнфреймов PDP-6 и PDP-10 с такими ОС как TOPS-10 или TENEX. Сейчас он может быть всё ещё запущен на SIMH эмуляциях PDP-10. MATHLAB («mathematical laboratory») не стоит путать с MATLAB («matrix laboratory»), системой для численных расчётов, созданной 15 лет спустя в Университете Нью-Мексико.

Начиная с конца 1960-х первое поколение СКА включало в себя системы^[3]:

• MACSYMA (Джоэл Мозес),
• MATHLAB (Массачусетский технологический институт),
• SCRATCHPAD (Ричард Дженкс, IBM),
• REDUCE (Тони Хирн),
• SAC-I, позже SACLIB (Джорж Коллинз),
• MUMATH для микропроцессоров (Дэвид Стоутмайер) и его продолжатель
• DERIVE.

Эти системы были способны выполнять символьные вычисления: интегрирование, дифференцирование, факторизация.

Ко второму поколению, в котором стал применяться более современный графический интерфейс пользователя, относятся Maple (Кейт Геддес и Гастон Гоннет, университет Уотерлу, 1985 год) и Mathematica (Стивен Вольфрам), которые широко используются математиками, учёными и инженерами^[3]. Бесплатные альтернативы — Sage, Maxima, Reduce.

В 1987 Hewlett-Packard представила первый карманный аналитический калькулятор (HP-28), и в нём впервые для калькуляторов были реализованы организация алгебраических выражений, дифференциирование, ограниченное аналитическое интегрирование, разложение в ряд Тейлора и поиск решений алгебраических уравнений.

Компания Texas Instruments в 1995 году выпустила калькулятор TI-92 с революционными на тот момент расширениями CAS на основе программного обеспечения Derive. Этот калькулятор и последовавшие за ним, в том числе TI-89 и серии TI-Nspire CAS, выпущенный в 2007 году, продемонстрировали возможность создания сравнительно компактных и недорогих систем компьютерной алгебры.

В третьем поколении стал применяться категориальный подход и операторные вычисления^[3]:

• AXIOM, последователь SCRATCHPAD (NAG),
• MAGMA (Джон Кэннон, Сиднейский университет),
• MUPAD (Бенно Фуксштейнер, университет города Падерборн).

На 2012 год исследования в области систем компьютерной алгебры продолжаются в трёх направлениях: возможности по решению всё более широких задач, простота использования и скорость работы^[3].

• Символьное интегрирование — алгоритм Риша
• Гипергеометрическое суммирование — алгоритм Госпера
• Предел (математика) — алгоритм Грюнтза (Gruntz)
• Факторизация полиномов. Для ограниченных областей используются алгоритм Берлекампа или алгоритм Кантора—Цассенхауза.
• Наибольший общий делитель — алгоритм Евклида
• Метод Гаусса
• Базис Грёбнера — алгоритм Бухбергера
• Аппроксимация Паде
• Лемма Шварца-Зиппела и проверка равенства полиномов
• Китайская теорема об остатках
• Диофантово уравнение
• Элиминация кванторов над действительными числами — метод Тарского
• Алгоритм Ландау
• Производные от элементарных и специальных функций (например, смотри неполная гамма-функция)

• АНАЛИТИК

• Richard J. Fateman. Essays in algebraic simplification (англ.). — 1972. — 191 p. — (Technical report MIT-LCS-TR-095). Архивная копия от 17 сентября 2006 на Wayback Machine
• Таранчук В. Б. Основные функции систем компьютерной алгебры (рус.). — Минск: БГУ, 2013. — 59 p.
• Бухбергер Б. и другие. Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления. — М.: Мир, 1986. — 392 с.
• Joachim von zur Gathen; Jürgen Gerhard. Modern Computer Algebra, Third Edition. — Cambridge University Press, 2013. — 808 p. — ISBN 978-1-107-03903-2.

• Definition and workings of a computer algebra system
• Curriculum and Assessment in an Age of Computer Algebra Systems — From the Education Resources Information Center Clearinghouse for Science, Mathematics, and Environmental Education, Columbus, Ohio.
• STACK — система обучения и тестирования на основе компьютерной алгебры
• A collection of computer algebra systems

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Оформить список литературы. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.