4. Морфизм называется аффинным, если прообраз любого открытого аффинного подмножества аффинный. Важные классы аффинных морфизмов - векторные расслоения и конечные морфизмы.
Б
бирациональный морфизм
Бирациональный морфизм схем — это морфизм схем, который индуцирует изоморфизм их плотных открытых подмножеств. Пример бирационального морфизма — отображение, индуцируемое раздутием[англ.].
Г
геометрический род
Геометрический род гладкого проективного многообразия X размерности n — это
1. Гладкие морфизмы — это многомерный аналог этальных морфизмов. Существует несколько различных определений гладкости. Следующие определения гладкости морфизма f : Y → X эквивалентны:
1) для любой точки y ∈ Y существуют открытые аффинные окрестности V и U точек y, x=f(y), соответственно, такие, что ограничение f на V раскладывается в композицию этального морфизма и проекции из n-мерного проективного пространства над U.
2) f плоский, локально конечно представимый, и для любой геометрической точки в Y (морфизма из алгебраически замкнутого поля в Y), геометрический слой является гладким многообразием над в смысле классической алгебраической геометрии.
2. Гладкая схема над совершенным полемk — это регулярная схема локально конечного типа.
3. Схема X над полем k гладкая, если она геометрически гладкая: схема гладкая.
группа Пикара
Группа Пикара X — это группа классов изоморфизма линейных расслоений на X, групповая операция в которой — тензорное произведение.
Д
доминантный
Морфизм f : X → Y называется доминантным, если образ f(X) плотен. Морфизм аффинных схем Spec A → Spec B доминантен, если и только если ядро соответствующего отображения B → A содержится в нильрадикале B.
имеет место для любого когерентного пучка F на X; например, если X — гладкое проективное многообразие, то это — канонический пучок.
З
замкнутый
Замкнутые подсхемы схемы X строятся при помощи следующей конструкции. Пусть J квазикогерентный пучок идеалов. Носитель факторпучка - замкнутое подмножество Z в X и - это схема, называемая замкнутой подсхемой, определённой квазикогерентным пучком идеалов J[1]. Причина того, что определение замкнутой подсхемы зависит от такой конструкции состоит в том, что, в отличие от открытых подмножеств, замкнутые подмножества схемы обладают не единственной структурой схемы.
К
каноническая модель
Каноническая модель — это Proj канонического кольца (предполагаемого конечно порождённым).
канонический
1. Канонический пучок на нормальном многообразии X размерности n — это пучок дифференциальных форм степени n на подмножестве гладких точек .
2. Канонический класс на нормальном многообразии X — это класс дивизоров, такой, что .
3. Канонический дивизор — это представитель канонического класса , обозначаемый тем же символом (определённый не однозначно).
4. Каноническое кольцо на нормальном многообразии X — кольцо сечений канонического пучка.
Морфизм f : Y → X называется квазикомпактным, если для некоторого (а тогда и для любого) открытого аффинного покрытия X множествами Ui = Spec Bi, прообразы f−1(Ui) компактны.
квазиконечный морфизм
Морфизм конечного типа, имеющий конечные слои.
квазиотделимый
Морфизм f : Y → X называется квазиотделимым, если диагональный морфизм Y → Y ×XY квазикомпактен. Схема Y квазиотделима, если морфизм из неё в Spec(Z) квазиотделим[2].
конечно представимый
Если y — точка Y, то морфизм f конечно представим в y, если существует открытая аффинная окрестность U точки f(y) и открытая аффинная окрестность V точки y, такая, что f(V) ⊆ U и — конечно представимая алгебра над (фактор конечно порождённой алгебры по конечно порождённому идеалу). Морфизм f локально конечно представим, если он конечно представим во всех точках Y. Если X локально нётерова, то f локально конечно представим если и только если он локально конечного типа[3].
Морфизм f : Y → X конечно представим, если он локально конечно представим, квазикомпактен и квазиотделим. Если X локально нётерова, то f конечно представим, если и только если он конечного типа.
конечный морфизм
Морфизм f : Y → X — конечный, если можно покрыть открытыми аффинными множествами , такими, что каждое аффинно — имеет вид — и конечно порождён как -модуль.
кольцо сечений
Кольцо сечений линейного расслоения L на схеме X — это градуированное кольцо .
Л
локально нётерова схема
Схема, покрытая спектраминётеровых колец. Если спектров конечное число, схема называется нётеровой.
Многочлен Гильберта проективной схемы X над полем — это эйлерова характеристика .
морфизм (локально) конечного типа
Морфизм f : Y → X локально конечного типа, если можно покрыть открытыми аффинными подмножествами , такими, что каждый прообраз можно покрыть открытыми аффинными подмножествами где каждое конечно прождено как -алгебра.
Морфизм f : Y → X конечного типа, если можно покрыть открытыми аффинными подмножествами , такими, что каждый прообраз можно покрыть конечным числом открытых аффинных подмножества , где каждое конечно порождено как -алгебра.
Н
неприводимая схема
Схема называется неприводимой, если она (как топологическое пространство), не является объединением двух собственных замкнутых подмножеств.
неразветвлённый морфизм
Для точки , рассмотрим соответствующий морфизм олкальных колец
.
Пусть — максимальный идеал , и пусть
это идеал, порождённый образом в . Морфизм называется неразветвлённым, если он локально конечного типа и для всех , — максимальный идеал кольца и индуцированное отображение
Целая схема называется нормальной, если её локальные кольца целозамкнуты.
О
обильный
Обильное линейное расслоение — это линейное расслоение, некоторая тензорная степень которого очень обильна.
образ
Если f : Y → X — морфизм схем, то теоретико-схемный образ f — это однозначно определённая замкнутая подсхема i : Z → X, которая удовлетворяет следующему универсальному свойству:
f пропускается через i,
если j : Z′ → X — любая замкнутая подсхема X, такая, что f пропускается через j, то i также пропускается через j.[4]
отделимый
Отделимый морфизм — это морфизм , такой, что диагональ расслоенного произведения с собой замкнута.
Как следствие, схема отделима, когда диагональное вложение в схемное произведение с собой является замкнутым вложением.
Заметим, что топологическое пространство Y хаусдорфово, если и только если диагональное вложение
замкнуто. Разница между топологическим и алгебро-геометрическим случаем состоит в том, что топологическое пространство схемы отличается от произведения топологических пространств.
Любая аффинная схема Spec A отделима, так как диагональ соответствует сюръективному отображению колец
.
открытая подсхема
Открытая подсхема схемы X - это открытое подмножество U со структурным пучком .
очень обильный
Линейное расслоение L на многообразии X очень обильно, если X может быть вложено в проективное пространство, так чтоо L будет ограничением скручивающего пучка СерраO(1).
П
плоский морфизм
Морфизм, индуцирующий плоские отображения слоёв. Гомоморфизм колец A → B называется плоским, если он делает BплоскимA-модулем.
плюрирод
n-й плюрирод гладкого проективного многообразия — это .
приведённая схема
Схема, локальные кольца которой не имеют ненулевых нильпотентов.
2. Проективная схема над схемой S — это S-схема, которая пропускается через некоторое проективное пространство как замкнутая подсхема.
3. Проективные морфизмы определяются сходным образом с аффинными морфизмами: f : Y → X называется проективным, если он раскладывается в композицию замкнутого вложения и проекции проективного пространства на .
Р
раздутие
Раздутие — это бирациональное преобразование, которое заменяет замкнутую подсхему эффективным дивизором Картье. Более точно, для нётеровой схемы X и замкнутой подсхемы , раздутие Z в X - это собственный морфизм , такой, что (1) является эффективным дивизором Картье, называемым исключительным дивизором и (2) - универсальный объект со свойством (1).
Схема связна, если она связна как топологическое пространство. Аффинная схемаSpec(R) связна, если и только если кольцо R не имеет идемпотентов, кроме 0 и 1.
слой
Для морфизма схем , слой f над y как множества — это прообраз ; он имеет естественную структуру схемы над полем вычетов[англ.] точки y как расслоенное произведение , где имеет естественную структуру схемы над Y как спктр поля вычетов точки y.
собственный морфизм
Отделимый универсально замкнутый морфизм конечного типа. Морфизм схем f: X → Y называется универсально замкнутым, если для любой схемы Z с морфизмом Z → Y проекция из расслоенного произведения является замкнутым отображением топологических пространств (переводит замкнутые множества в замкнутые).
Схема — это локально окольцованное пространство, и следовательно топологическое пространство, но слово точка имеет три значения:
точка подлежащего топологического пространство;
-точка — это морфизм из в , для любой схемы ;
геометрическая точка схемы , определённой над (с морфизмом в) , где — поле, это морфизм из в , где — алгебраическое замыкание.
Ц
целая схема
Приведённая неприводимая схема. Для локально нётеровой схемы, быть целой эквивалентно тому, чтобы быть связной и покрытой спектрами областей целостности
Э
этальный
Морфизм f : Y → X этальный, если он плоский и неразветвлённый. Существует несколько других эквивалентных определений. В случае гладких многообразий и над алгебраически замкнутым полем, этальные морфизмы — это морфизмы, индуцирующие изоморфизм касательных пространств , что совпадает с обычным определением этальных отображений в дифференциальной геометрии.
эффективный дивизор Картье
Эффективный дивизор Картье на схеме X над S — это замкнутая подсхема X, которая является плоской над S и пучок идеалов которой обратим.
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М.: Мир, 1981.
Fulton, William (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], vol. 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN978-3-540-62046-4, MR1644323