Голоморфная выпуклость

Голомо́рфная вы́пуклость (англ. holomorphic convexity^[1], от др.-греч. ὅλος — весь и др.-греч. μορφή — форма, образ^[2]) области комплексного пространства — понятие комплексного анализа, раздела математики, связанное с невозможностью коснуться границы области изнутри аналитической поверхностью. Это частный максимальный случай К-выпуклости^[3]: произвольная К-выпуклая область всегда голоморфно выпукла^[4].

Синоним: аналитическая выпуклость^[5].

Голоморфная выпуклость обобщает более наглядное понятие обычной геометрической выпуклости, но при этом доставляет необходимое и достаточное условие для областей голоморфности^[6][7].

Голоморфная выпуклость — свойство области ${\displaystyle D\in \mathbb {C} ^{n}}$ такое, что для произвольного множества ${\displaystyle A}$, компактно принадлежащего ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle A\Subset D}$, множество

${\displaystyle F_{A}\equiv \bigcup \limits _{f\in H_{D}}\{z\in \mathbb {C} \colon \,|f(z)|\leqslant \sup \limits _{z\in A}|f(z)|,\,z\in D\}}$

компактно в ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle F_{A}\Subset D}$. Другими словами, область ${\displaystyle D\in \mathbb {C} ^{n}}$ называется голоморфно выпуклой, когда для любого множества ${\displaystyle A}$, компактно принадлежащего ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle A\Subset D}$, существует такое множество ${\displaystyle F_{A}}$, ${\displaystyle A\subset F_{A}\Subset D}$, что для произвольной точки ${\displaystyle z^{0}\in D\setminus F_{A}}$ найдется такая функция ${\displaystyle f}$, голоморфная в области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle f\in H_{D}}$, что выполняется следующее неравенство^[8]:

${\displaystyle \sup \limits _{z\in A}|f(z)|<|f(z^{0})|}$.

Альтернативное определение. Голоморфно выпуклая оболочка произвольного множества ${\displaystyle A\subset D}$ — множество точек

${\displaystyle F_{A}=\{z^{0}\in D\colon \,|f(z^{0})|\leqslant \sup \limits _{z\in A}|f(z)|\}}$,

где данное неравенство верно для всех функций ${\displaystyle f}$, голоморфных в области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle f\in H_{D}}$. Область ${\displaystyle D\in \mathbb {C} ^{n}}$ называется голоморфно выпуклой, когда голоморфно выпуклая оболочка ${\displaystyle F_{A}}$ любого множества ${\displaystyle A}$, компактно принадлежащего ${\displaystyle D}$, также компактно принадлежит ${\displaystyle D}$^[9][10]:

${\displaystyle A\Subset D\Rightarrow F_{A}\Subset D}$.

Такие определения голоморфно выпуклой области хороши тем, что с их помощью можно определять голоморфную выпуклость, не выходя за пределы области. Очевидно, что для линейных голоморфных функций голоморфная выпуклость совпадает с обычной геометрической выпуклостью. Для иллюстрации на рисунке справа продемонстрировано, каким образом обычная невыпуклость области нарушает условие ${\displaystyle A\Subset D\Rightarrow F_{A}\Subset D}$^[11].

Теорема 1. Условие голоморфной выпуклости области комплексного пространства необходимо и достаточно для того, чтобы она была областью голоморфности^[12][7].

Но эта характеристика менее наглядна и эффективно проверяемая, чем условие обычной геометрической выпуклости. Теория субгармонических функций позволяет обосновать другую трактовку характеристики области голоморфности, которая более геометрична и позволяет определить эффективные критерии областей голоморфности^[12].

Достаточность утверждения теоремы формулируется в виде следующей теоремы^[13].

Теорема 2 (Картан и Туллен). Любая голоморфно выпуклая область ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ есть область голоморфности^[14].

• Бохнер С., Мартин У. Т.^[англ.] Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «Издательство иностранной литературы», 1951. 300 с.: ил. [Salomon Bochner, William Ted Martin, Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
• Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Выпуклость // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 799—800.
• Владимиров В. С. Голоморфная область // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 1030—1032.
• Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных / Предисловие академика Н. Н. Боголюбова. М.: «Наука», 1964. 411 с.: ил.
• Голоморфная функция // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 159.
• Хёрмандер, Ларс. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных / Пер. с англ. Е. М. Чирки, под ред. Б. В. Шабата. М.: «Мир», 1968. 279 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.
• Steven G. Krantz^[англ.]. Function Theory of Several Complex Variables: Second edition. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing^[англ.], 1951. 564 p. 1992 held by the American Mathematical Society. Printed with corrections, 2001.