Группа Рудвалиса

Группа Рудвалиса Ru — это спорадическая простая группа порядка

2¹⁴ · 3³ · 5³ · 7 · 13 · 29

= 145926144000

≈ 1⋅10¹¹.

История

Ru является одной из 26 спорадических групп, она была найдена Арунасом Рудвалисом^[1]^[2] и построена Конвеем и Уэльсом^[3]. Её мультипликатор Шура имеет порядок 2, а её группа внешних автоморфизмов^[англ.] тривиальна.

В 1982-м году Р. Л. Грисс показал, что Ru не может быть подфактором^[англ.] монстра^[4]. Таким образом, это одна из 6 спорадических групп, называемых париями.

Свойства

Группа Рудвалиса действует как группа перестановок ранга 3 на 4060 точках с одноточечным стабилизатором, группой Ри ²F₄(2), группой автоморфизмов группы Титса. Это представление подразумевает сильно регулярный граф, в которой каждая вершина имеет 2304 соседа и 1755 несоседей. Две смежные вершины имеют 1328 общих соседей, две несмежные вершины имеют 1208 общих соседей^[5].

Её двойное накрытие^[англ.] действует на 28-мерную решётку над гауссовыми целыми числами. Решётка имеет 4×4060 минимальных векторов. Если минимальные вектора отождествлять, когда один отличается на множитель 1, i, –1 или –i от другого, то 4060 классов эквивалентности можно отождествить с точками перестановок ранга 3. Сокращение этой решётки по модулю на главный идеал

(1+i)\

даёт действие группы Рудвалиса на 28-мерном векторном пространстве над полем с 2 элементами. Дункан (2006) использовал 28-мерную решётку для построения алгебры вершинных операторов, действующей на двойном покрытии.

Пэрротт^[6] описал группу Рудвалиса централизатором центральной инволюции. Ашбахер и Смит^[7] дали другое описание группы Рудвалиса как одной из квазитонких групп^[англ.].

Максимальные подгруппы

Уилсон^[8] нашёл 15 классов смежности максимальных подгрупп Ru:

²F₄(2) = ²F₄(2)'.2
2⁶.U₃(3).2
(2² × Sz(8)):3
2³⁺⁸:L₃(2)
U₃(5):2
2¹⁺⁴⁺⁶.S₅
PSL₂(25).2²
A₈
PSL₂(29)
5²:4.S₅
3.A₆.2²
5¹⁺²:[2⁵]
L₂(13):2
A₆.2²
5:4 × A₅

Литература

Michael Aschbacher, Stephen D. Smith. The classification of quasithin groups. I Structure of Strongly Quasithin K-groups. — Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2004. — Т. 111. — (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 978-0-8218-3410-7.
Conway J.H., Wales D.B. The construction of the Rudvalis simple group of order 145926144000 // Journal of Algebra. — 1973. — Т. 27, вып. 3. — С. 538–548. — doi:10.1016/0021-8693(73)90063-X.
John F. Duncan. Moonshine for Rudvalis's sporadic group. — 2008.
Griess R.L. The Friendly Giant // Inventiones Mathematicae. — 1982. — Т. 69, вып. 1. — С. 1–102. — doi:10.1007/BF01389186.
Griess R.L. Twelve Sporadic Groups. — Springer-Verlag, 1998.
David Parrott. A characterization of the Rudvalis simple group // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1976. — Т. 32, вып. 1. — С. 25–51. — ISSN 0024-6115. — doi:10.1112/plms/s3-32.1.25.
Rudvalis A. A new simple group of order 2¹⁴ 3³ 5³ 7 13 29. — Notices of the American Mathematical Society, 1973. — Вып. 20. — С. A–95.
Rudvalis A. A rank 3 simple group of order 2¹⁴3³5³7.13.29. I // Journal of Algebra. — 1984. — Т. 86, вып. 1. — С. 181–218. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(84)90063-2.
Rudvalis A. A rank 3 simple group G of order 2¹⁴3³5³7.13.29. II. Characters of G and Ĝ // Journal of Algebra. — 1984. — Т. 86, вып. 1. — С. 219–258. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(84)90064-4.
Robert A. Wilson. The geometry and maximal subgroups of the simple groups of A. Rudvalis and J. Tits // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1984. — Т. 48, вып. 3. — С. 533–563. — ISSN 0024-6115. — doi:10.1112/plms/s3-48.3.533.