Дискретное косинусное преобразование

Дискретное косинусное преобразование (англ. Discrete Cosine Transform, DCT) — одно из ортогональных преобразований. Вариант косинусного преобразования для вектора действительных чисел. Применяется в алгоритмах сжатия информации с потерями, например, MPEG и JPEG. Это преобразование тесно связано с дискретным преобразованием Фурье и является гомоморфизмом его векторного пространства.

Данное преобразование является линейным, поэтому его результат можно вычислить при помощи умножения матрицы преобразования и вектора. Матрица ДКП является ортогональной (обратная матрица равна транспонированной), поэтому обратное преобразование вычисляется с помощью умножения транспонированной матрицы ДКП на вектор. На практике используется вариант ДКП с матрицей, пропорциональной ортогональной (получающейся из ортогональной умножением на константу).

Различные периодические продолжения сигнала ведут к различным типам ДКП. Ниже приводятся матрицы для первых четырёх типов ДКП:

${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}1_{n}=\left[\cos(kl{\tfrac {\pi }{n-1}})\right]_{0\leq k,l<n}}$

${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}2_{n}=\left[\cos(k(l+{\tfrac {1}{2}}){\tfrac {\pi }{n}})\right]_{0\leq k,l<n}}$

${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}3_{n}=\left[\cos((k+{\tfrac {1}{2}})l{\tfrac {\pi }{n}})\right]_{0\leq k,l<n}}$

${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}4_{n}=\left[\cos((k+{\tfrac {1}{2}})(l+{\tfrac {1}{2}}){\tfrac {\pi }{n}})\right]_{0\leq k,l<n}}$

Именно ${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}2}$ чаще всего встречается в практических приложениях благодаря свойству «уплотнения энергии».

${\displaystyle \mathrm {DCT} }$ для вектора из 8 чисел часто называют ${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}2_{8}}$. Наиболее распространён двумерный вариант преобразования для матриц 8x8, состоящий из последовательности ${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}2_{8}}$ сначала для каждой строки, а затем для каждого столбца матрицы.

Существуют алгоритмы быстрого ${\displaystyle \mathrm {DCT} }$-преобразования, похожие на алгоритм быстрого преобразования Фурье. Для ${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}2_{8}}$ и других вариантов ${\displaystyle \mathrm {DCT} }$ с фиксированной размерностью вектора существуют также алгоритмы, позволяющие свести количество операций умножения к минимуму.

Существуют аналоги ${\displaystyle \mathrm {DCT} }$, приближающие косинус числами, легко получающимися путём небольшого количества операций сдвига и сложения, что позволяет избежать операций умножения и тем самым повысить скорость вычислений.

• C. Loeffler, A. Ligtenberg and G. Moschytz. Practical Fast 1-D DCT Algorithms with 11 Multiplications // Proc. Int’l. Conf. on Acoustics, Speech, and Signal Processing 1989 (ICASSP '89), pp. 988—991.

• Список статей по ДКП и альтернативным преобразованиям
• About JPEG: Discrete Cosine Transform
• The Discrete Cosine Transform (DCT)

Это заготовка статьи об информационных технологиях и вычислительной технике. Помогите Википедии, дополнив её. Это примечание по возможности следует заменить более точным.

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.

Это заготовка статьи по информатике. Помогите Википедии, дополнив её.