Длина кривой

Длина́ криво́й (или, что то же, длина́ дуги́ криво́й) — числовая характеристика протяжённости этой кривой^[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление).

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.

Например, пусть непрерывная кривая ${\displaystyle \gamma }$ в трёхмерном пространстве задана параметрически:

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t),}$

(1)

где ${\displaystyle a\leqslant t\leqslant b}$, все три функции непрерывны и нет кратных точек, то есть разным значениям ${\displaystyle t}$ соответствуют разные точки кривой. Построим всевозможные разбиения параметрического интервала ${\displaystyle [a,b]}$ на ${\displaystyle m}$ отрезков: ${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{m}=b}$. Соединение точек кривой ${\displaystyle \gamma (t_{0}),\dots ,\gamma (t_{m})}$ отрезками прямых даёт ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных^[2].

• Всякая кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если длина кривой конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая. Снежинка Коха — классический пример ограниченной, но неспрямляемой кривой; более того, любая, сколь угодно малая её дуга неспрямляема^[3].
• Параметризация кривой длиной её дуги называется естественной.
• Кривая есть частный случай функции из отрезка в пространство. Вариация функции, определяемая в математическом анализе, является обобщением длины кривой (см. ниже).

• Если все функции в (1) являются функциями ограниченной вариации, то длина кривой существует и конечна.
• В математическом анализе выводится формула для вычисления длины ${\displaystyle s}$ отрезка кривой, заданной уравнениями (1), при условии, что все три функции непрерывно дифференцируемы:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2}(t)}}\,dt.}$

(2)

Формула подразумевает, что ${\displaystyle a\leqslant b}$ и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t. Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.

В n-мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)}}\,dt.}$.

• Если плоская кривая задана уравнением ${\displaystyle y=f(x),}$ где ${\displaystyle f}$ — гладкая функция на отрезке значений параметра ${\displaystyle [a,b]}$, то длина кривой определяется по формуле:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.}$

В полярных координатах ${\displaystyle (r,\varphi )}$:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}}}\,d\varphi .}$

• Формула Крофтона позволяет связать длину кривой на плоскости и интеграл числа её пересечений с прямыми по естественной мере на пространстве прямых.

Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности. Декарт даже высказывал мнение, что «отношение между прямыми и кривыми неизвестно и, даже, думаю, не может быть познано людьми»^[4][5].

Первым достижением стало спрямление параболы Нейла (1657), выполненное Ферма и самим Нейлом. Вскоре была найдена длина арки циклоиды (Рен, Гюйгенс). Джеймс Грегори (ещё до открытия математического анализа) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.

В n-мерном римановом пространстве с координатами ${\displaystyle x^{1}\cdots x^{n}}$ кривая задаётся параметрическими уравнениями:

${\displaystyle x^{i}=x^{i}(t).}$

(3)

Длина кривой в римановом пространстве задаётся формулой:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt}$,

где ${\displaystyle g_{ij}}$ — метрический тензор. Пример: кривая на поверхности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

В более общем случае произвольного метрического пространства ${\displaystyle (X,\rho )}$ длиной ${\displaystyle S}$ кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ определяется согласно формуле:

${\displaystyle s=\sup \sum \limits _{k=0}^{m}\rho (\gamma (x_{k+1}),\gamma (x_{k})),}$

где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{m}=b}$ отрезка ${\displaystyle [a,b]}$.

• Дифференциальная геометрия кривых
• Объём
• Определённый интеграл
• Площадь
• Дуга окружности
• Кривая Пеано
• Элемент длины

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
• Мерзон Г. А., Ященко И. В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.
• Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2007. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4.