Квадратичная иррациональность

Квадрати́чная иррациона́льность — иррациональное число, которое является вещественным корнем некоторого квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ с рациональными коэффициентами ${\displaystyle a,b,c}$ (или, что то же, вещественным корнем многочлена 2-й степени с рациональными коэффициентами^[1] ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$). В части источников под квадратичными иррациональностями понимаются в общем случае комплексные корни указанных уравнений.

Иррациональность числа ${\displaystyle x}$ означает, что оно не может быть представлено в виде рационального числа (дроби). Из этого следует, что многочлен ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ неприводим в поле рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ то есть не распадается в этом поле на множители первой степени^[1].

Решение квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ даёт формула:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}},}$

где ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$ (дискриминант уравнения). Вещественность корня означает, что ${\displaystyle D\geqslant 0.}$ Следовательно, всякая квадратичная иррациональность имеет вид:

${\displaystyle x=u+v{\sqrt {D}},}$

где ${\displaystyle u,v,D}$ — рациональные числа, причём ${\displaystyle v\neq 0}$, а подкоренное выражение ${\displaystyle D}$ неотрицательно и не является полным квадратом рационального числа^[2].

Примеры: ${\displaystyle 11-{\sqrt {2}};\quad {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$.

Из определения следует, что квадратичные иррациональности являются алгебраическими числами второй степени. Отметим, что обратный элемент для ${\displaystyle x=u+v{\sqrt {D}}}$ также является квадратичной иррациональностью:

${\displaystyle {1 \over u+v{\sqrt {D}}}={u-v{\sqrt {D}} \over u^{2}-v^{2}D}.}$

Число ${\displaystyle x'=u-v{\sqrt {D}}}$ называется сопряжённым для ${\displaystyle x=u+v{\sqrt {D}}.}$ Имеют место формулы:

${\displaystyle (x+y)'=x'+y';\quad (xy)'=x'y';\quad \left({\frac {1}{x}}\right)'={\frac {1}{x'}}.}$

Без ограничения общности можно упростить уравнение ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ следующим образом.

1. Коэффициенты рассматриваемого уравнения 2-й степени можно сделать целыми числами, поскольку от знаменателей дробей легко избавиться, умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное всех знаменателей. Дискриминант ${\displaystyle D}$ тогда тоже становится целым числом.
2. Если старший коэффициент ${\displaystyle a<0,}$ то умножим уравнение на ${\displaystyle -1}$.
3. Наконец, разделим полученное уравнение ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ на наибольший общий делитель НОД${\displaystyle (a,b,c)}$.

В итоге получим уравнение ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ с целочисленными взаимно простыми коэффициентами, причём старший коэффициент положителен^[3]. Это уравнение однозначно связано с парой своих корней, и множество таких уравнений счётно. Поэтому множество квадратичных иррациональностей также счётно.

Часто удобно в выражении корня ${\displaystyle x=u+v{\sqrt {D}},}$ выполнить ещё одну модификацию: если в каноническое разложение ${\displaystyle D}$ входят какие-либо квадраты, вынесем их за знак радикала, так что оставшееся значение ${\displaystyle D}$ будет свободно от квадратов.

Сумма, разность и произведение квадратичных иррациональностей с одним и тем же дискриминантом ${\displaystyle D}$ либо имеют тот же формат, либо являются рациональными числами, поэтому вместе они образуют поле, являющееся нормальным расширением второй степени поля рациональных чисел ℚ. Это поле обозначается ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ и называется квадратичным полем. Всякое такое расширение ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ может быть получено описанным способом. Группа Галуа расширения, кроме тождественного автоморфизма, содержит отображение иррационального числа в сопряжённое ему (в указанном выше смысле)^[4].

Предположим, что, как описано выше, ${\displaystyle D}$ — свободное от квадратов целое число. Тогда для разных значений ${\displaystyle D}$ получаются разные квадратичные поля ^[5].

Для квадратичного поля можно построить его кольцо целых, то есть множество корней приведённых многочленов с целыми коэффициентами, у которых старший коэффициент равен 1. Свободное от квадратов ${\displaystyle D}$ не может делиться на 4, поэтому возможны два случая^[4] в зависимости от того, какой остаток даёт ${\displaystyle D}$ при делении на 4.

1. Если ${\displaystyle D}$ имеет вид ${\displaystyle 4k+1,}$ то целые элементы — это числа вида ${\displaystyle m+n\cdot {\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$, где ${\displaystyle m,n}$ — натуральные числа.
2. Если ${\displaystyle D}$ имеет вид ${\displaystyle 4k+2}$ или ${\displaystyle 4k+3,}$ то целые элементы — это числа вида ${\displaystyle m+n{\sqrt {D}}}$, где ${\displaystyle m,n}$ — натуральные числа.

Вещественные квадратичные иррациональности связаны с непрерывными дробями теоремой Лагранжа (иногда называемой теоремой Эйлера—Лагранжа)^[6]:

Пример:

${\displaystyle {\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]}$

Непрерывная дробь, у которой период начинается с первого же звена, называется чисто периодической. Эварист Галуа в 1828 году доказал: непрерывная дробь для квадратической иррациональности ${\displaystyle x}$ будет чисто периодической тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x>1}$, а сопряжённая иррациональность ${\displaystyle x'}$ лежит в интервале ${\displaystyle (-1;0)}$. Он доказал также, что в случае чисто периодического разложения сопряжённая квадратическая иррациональность имеет те же звенья, но расположенные в обратном порядке^[7].

Квадратичная иррациональность является частным случаем «иррациональности ${\displaystyle n}$-й степени», которая является корнем неприводимого в поле ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ многочлена ${\displaystyle n}$-й степени с целыми коэффициентами. Рациональные числа получаются при ${\displaystyle n=1,}$ а квадратичные иррациональности соответствуют случаю ${\displaystyle n=2.}$

Некоторые источники включает в число квадратичных иррациональностей также и комплексные корни квадратных уравнений (например, гауссовы целые числа или числа Эйзенштейна).

Г. Ф. Вороной в работе «О целых алгебраических числах, зависящих от корня уравнения 3-й степени» (1894) распространил теорию (включая непрерывные дроби) на случай кубических иррациональностей.

Феодор Киренский и его ученик Теэтет Афинский (IV в. до н. э.) первыми доказали, что если число ${\displaystyle N}$ не представляет собой полный квадрат, то ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$ не является рациональным числом, то есть не может быть точно выражен в виде дроби. Это доказательство опиралось на «лемму Евклида». Евклид посвятил этим вопросам десятую книгу своих «Начал»; он, как и современные источники, использовал основную теорему арифметики.

• Бухштаб А. А. Квадратичные иррациональности и периодические цепные дроби // Теория чисел. — 4-е изд. — М.: Лань, 2015. — 384 с. — ISBN 978-5-8114-0847-4.
• Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр "Академия", 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.
• Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.

• Weisstein, Eric W. Quadratic Surd (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Continued fraction calculator for quadratic irrationals Архивная копия от 18 февраля 2020 на Wayback Machine  (англ.)
• Proof that e is not a quadratic irrational  (англ.)