Край многообразия

Край многообра́зия ${\displaystyle \partial M^{n}}$ — множество всех точек ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M^{n}}$, которые не имеют окрестности, гомеоморфной ${\displaystyle n}$-мерному евклидову пространству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$^[1].

Более формально, край многообразия ${\displaystyle \partial M^{n}}$ — подмножество замыкания ${\displaystyle {\overline {M^{n}}}}$ вещественного ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M^{n}}$ (возможно, открытого) такое, что некоторая окрестность каждой точки этого подмножества гомеоморфна некоторой области ${\displaystyle W^{n}}$ некоторого замкнутого полупространства ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$ вещественного ${\displaystyle n}$-мерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, причём эта область ${\displaystyle W^{n}}$ открыта в полупространстве ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$, но не во всём пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$^[2].

Краевая точка области ${\displaystyle W^{n}\subset \mathbb {R} _{+}^{n}}$ — точка пересечения ${\displaystyle {\overline {W^{n}}}}$ с границей полупространства ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$^[2].

Краевая точка многообразия ${\displaystyle M^{n}}$ — точка ${\displaystyle a\in {\overline {M^{n}}}}$, которая соответствует краевой точке области ${\displaystyle W^{n}\subset \mathbb {R} _{+}^{n}}$^[2]. Другими словами, точка ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M^{n}}$, которая не имеет окрестности, гомеоморфной ${\displaystyle n}$-мерному евклидову пространству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$^[1].

Внутренняя точка многообразия — точка ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M^{n}}$, которая имеет окрестность, гомеоморфную ${\displaystyle n}$-мерному евклидову пространству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$^[1].

Внутренность, или внутренняя часть, многообра́зия ${\displaystyle \operatorname {int} M^{n}}$ — множество всех внутренних точек ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M^{n}}$^[1].

Многообразие с краем — многообразие, имеющее хотя бы одну краевую точку^[2].

Простейший пример ${\displaystyle n}$-мерного многообразия с краем ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$ — полупространство ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$^[3].

Замкнутое многообразие — компактное многообразие без края^[2].

Предложение 1. Замкнутое множество всех краевых точек ${\displaystyle \partial M^{n}}$ вещественного ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M^{n}}$ есть ${\displaystyle (n-1)}$-мерное многообразие без края, а разность множеств ${\displaystyle M^{n}\setminus \partial M^{n}=\operatorname {int} M^{n}}$, которое есть всюду плотное открытое множество, — ${\displaystyle n}$-мерное многообразие без края^[2][3][4].

• Примеры многообразий с краем
• 
  Диск
• 
  кольцо, или лента
• 
  Лист Мёбиуса
• 
  Половина Тора

• Примеры замкнутых многообразий
• 
  Сфера
• 
  Тор
• 
  Бутылка Клейна
• 
  Римская поверхность

• Борисович, Ю. Г., Близняков Н. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н. Введение в топологию: Учебное пособие. Изд. 3-е, испр. и доп. М.: ЛЕНАНД, 2015. 441 с., ил. (Классический учебник МГУ.)
• Войцеховский М. И. Край // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 87.
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: «Наука», 1977. 487 с., ил.

Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии.