Красная плоскость определяет синее полупространство
Полупростра́нство [ комм 1] — множество всех точек трёхмерного пространства, которые находятся по одну сторону от некоторой плоскости в пространстве [ 1] [ 2] [ 3] , то есть по ту же сторону, что и некоторая заданная точка вне плоскости[ 3] . Эта плоскость определяет полупространство [ 4] и является её границей [ 1] [ 2] [ 3] , а полупространство исходит из своей границы[ 5] , или просто полупространство от границы [ 6] .
В некоторых источниках граница полупространства ему принадлежит, то есть полупространство замкнуто[ 7] [ 8] [ 9] .
Замкнутое полупространство — полупространство со своей границей[ 1] [ 2] .
Полупространство есть неограниченная область , так как оно есть открытое множество [ 10] и неограниченное выпуклое множество [ 11] .
Другое название полупространства — одногранник , это простейший трёхмерный выпуклый многогранник [ 12] .
Определение полупространства
Геометрическое определение
Полупространство [ комм 1] — множество всех точек
M
{\displaystyle M}
трёхмерного пространства, которые находятся по ту же сторону от некоторой плоскости
P
{\displaystyle P}
, что и некоторая заданная точка
A
{\displaystyle A}
вне плоскости, то есть полупространство — это точка
A
{\displaystyle A}
и множество всех точек
M
{\displaystyle M}
таких, что отрезок
A
M
{\displaystyle AM}
не имеет общих точек с плоскостью
P
{\displaystyle P}
[ 13] [ 14] . Эта плоскость определяет полупространство[ 4] и является её границей [ 1] [ 2] [ 3] .
Теорема 1. Произвольная плоскость
P
{\displaystyle P}
в трёхмерном пространстве делит это пространство на две полупространства. Более формально: в пространстве существуют точки
A
{\displaystyle A}
и
B
{\displaystyle B}
вне плоскости
P
{\displaystyle P}
такие, что разные полупространства, которым принадлежат эти точки, заполняют с плоскостью
P
{\displaystyle P}
всё пространство и имеют своими границами
P
{\displaystyle P}
[ 13] .
Положительное полупространство — выбранное одно из двух полупространств с общей границей, второе полупространство называется отрицательным . При этом граничная плоскость имеет выбранную сторону со стороны положительного полупространства[ 15] .
Теорема 2. Среди трёх объектов, определяющих ориентацию:
любые два однозначно определяют третий[ 16] .
Обоснование определения
Обоснуем геометрическое определение трёхмерного полупространства в
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
. Рассмотрим произвольную плоскость, заданную следующим уравнением[ 17] :
L
(
x
,
y
,
z
)
=
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
{\displaystyle L(x,\ y,\ z)=Ax+By+Cz+D=0}
.
Точки, неразделённые плоскостью — две точки
M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1},\ y_{1},\ z_{1})}
и
M
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{\displaystyle M_{2}(x_{2},\ y_{2},\ z_{2})}
вне плоскости
L
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle L(x,\ y,\ z)}
,
M
1
,
M
2
∉
L
{\displaystyle M_{1},\ M_{2}\notin L}
, которые либо совпадают,
M
1
=
M
2
{\displaystyle M_{1}=M_{2}}
, либо отрезок
M
1
M
2
{\displaystyle M_{1}M_{2}}
не имеет общих точек с плоскостью
L
{\displaystyle L}
,
M
1
M
2
∪
L
=
∅
{\displaystyle M_{1}M_{2}\cup L=\varnothing }
[ 17] .
Предложение 1. Две точки
M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1},\ y_{1},\ z_{1})}
и
M
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{\displaystyle M_{2}(x_{2},\ y_{2},\ z_{2})}
вне плоскости
L
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle L(x,\ y,\ z)}
,
M
1
,
M
2
∉
L
{\displaystyle M_{1},\ M_{2}\notin L}
, неразделены тогда и только тогда, когда не равные нулю числа
L
1
=
L
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle L_{1}=L(x_{1},\ y_{1},\ z_{1})}
и
L
2
=
L
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{\displaystyle L_{2}=L(x_{2},\ y_{2},\ z_{2})}
одного знака[ 17] .
Положим без ограничения общности, что
M
1
≠
M
2
{\displaystyle M_{1}\neq M_{2}}
. Тогда прямая
M
1
M
2
{\displaystyle M_{1}M_{2}}
задаётся координатными параметрическими уравнениями
x
=
(
1
−
t
)
x
1
+
t
x
2
{\displaystyle x=(1-t)x_{1}+tx_{2}}
,
y
=
(
1
−
t
)
y
1
+
y
x
2
{\displaystyle y=(1-t)y_{1}+yx_{2}}
,
z
=
(
1
−
t
)
z
1
+
t
z
2
{\displaystyle z=(1-t)z_{1}+tz_{2}}
.
Найдём пересечение прямой
M
1
M
2
{\displaystyle M_{1}M_{2}}
с плоскостью
L
{\displaystyle L}
. Для этого подставим эти выражения координат в уравнение плоскости
L
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle L(x,\ y,\ z)=0}
, получим:
(
1
−
t
)
L
1
+
t
L
2
=
0
{\displaystyle (1-t)L_{1}+tL_{2}=0}
,
t
=
L
1
L
1
−
L
2
{\displaystyle t={\frac {L_{1}}{L_{1}-L_{2}}}}
(если
L
1
=
L
2
{\displaystyle L_{1}=L_{2}}
, то прямая
M
1
M
2
{\displaystyle M_{1}M_{2}}
и плоскость
L
{\displaystyle L}
параллельны).
Итак, точки
M
1
{\displaystyle M_{1}}
и
M
2
{\displaystyle M_{2}}
разделены плоскостью
L
{\displaystyle L}
тогда и только тогда, когда
L
1
≠
L
2
{\displaystyle L_{1}\neq L_{2}}
и
0
<
t
=
L
1
L
1
−
L
2
<
1
{\displaystyle 0<t={\frac {L_{1}}{L_{1}-L_{2}}}<1}
.
Последние неравенства верны для произвольных точек
M
1
{\displaystyle M_{1}}
и
M
2
{\displaystyle M_{2}}
только в двух случаях:
L
1
>
L
2
{\displaystyle L_{1}>L_{2}}
,
L
1
>
0
{\displaystyle L_{1}>0}
,
L
2
<
0
{\displaystyle L_{2}<0}
;
L
1
<
L
2
{\displaystyle L_{1}<L_{2}}
,
L
1
<
0
{\displaystyle L_{1}<0}
,
L
2
>
0
{\displaystyle L_{2}>0}
.
Получаем, что в обоих случаях числа
L
1
{\displaystyle L_{1}}
и
L
2
{\displaystyle L_{2}}
разных знаков. Следовательно, отрезок
M
1
M
2
{\displaystyle M_{1}M_{2}}
и плоскость
L
{\displaystyle L}
не пересекаются тогда и только тогда, когда
L
1
{\displaystyle L_{1}}
и
L
2
{\displaystyle L_{2}}
одного знака.
Следствие 1. Описанное выше отношение неразделённости точек плоскостью есть отношение эквивалентности , причём соответствующих классов эквивалентности ровно два[ 14] .
Полупространство — класс эквивалентности отношения неразделённости точек некоторой плоскостью. Эта плоскость определяет полупространство [ 14] .
Примеры полупространств
Рассмотрим два чисто математических примера[ 18] .
Набор всех кругов на плоскости образует трёхмерное многообразие , потому что в нём любой круг с центром
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,\,y)}
и радиусом
r
{\displaystyle r}
изображается точкой с координатами
(
x
,
y
,
r
)
{\displaystyle (x,\,y,\,r)}
. А поскольку радиус круга — это положительное число, то набор рассматриваемых точек заполнит «верхнее» полупространство[ 18] .
Точно так же набор всех сфер в обыкновенном трёхмерном пространстве образует четырёхмерное многообразие, потому что в нём любая сфера с центром
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\,y,\,z)}
и радиусом
r
{\displaystyle r}
представляется точкой с координатами
(
x
,
y
,
z
,
r
)
{\displaystyle (x,\,y,\,z,\,r)}
. А поскольку радиус круга — это положительное число, то набор рассматриваемых точек заполнит «верхнее» полупространство[ 18] .
Полупространства
Все круги на плоскости образуют трёхмерное полупространство с координатами
(
x
,
y
,
r
)
{\displaystyle (x,\,y,\,r)}
Все сферы в трёхмерном пространстве образуют четырёхмерное полупространство с координатами
(
x
,
y
,
z
,
r
)
{\displaystyle (x,\,y,\,z,\,r)}
Аналитическое определение полупространства
Декартовы координаты
В общем трёхмерном случае в пространстве
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
с декартовыми координатами
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
{\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,x_{3})}
координаты точек
3
{\displaystyle 3}
-мерного полупространства [ комм 1] отвечают следующему неравенству , использующим общее уравнение плоскости
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
>
0
{\displaystyle Ax+By+Cz+D>0}
,
где
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,\,B,\,C,\,D}
— постоянные, причём
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
и
C
{\displaystyle C}
одновременно не равны нулю[ 1] [ 2] [ 4] .
Граница полупространства — плоскость, определяющая полупространство. В определении это плоскость
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
{\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}
[ 1] [ 2] .
Обычно рассматриваются следующие частные случаи полупространств [ комм 1] [ 19] :
координатная плоскость
O
x
y
{\displaystyle Oxy}
имеет уравнение с аппликатой
z
=
0
{\displaystyle z=0}
и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства
z
>
0
{\displaystyle z>0}
и
z
<
0
{\displaystyle z<0}
с границей
O
x
y
{\displaystyle Oxy}
;
координатная плоскость
O
x
z
{\displaystyle Oxz}
имеет уравнение с ординатой
y
=
0
{\displaystyle y=0}
и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства
y
>
0
{\displaystyle y>0}
и
y
<
0
{\displaystyle y<0}
с границей
O
x
z
{\displaystyle Oxz}
;
координатная плоскость
O
y
z
{\displaystyle Oyz}
имеет уравнение с абсциссой
x
=
0
{\displaystyle x=0}
и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства
x
>
0
{\displaystyle x>0}
и
x
<
0
{\displaystyle x<0}
с границей
O
y
z
{\displaystyle Oyz}
;
Перейдём к
n
{\displaystyle n}
-мерному пространству
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
с декартовыми координатами
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})}
. Здесь координаты точек
n
{\displaystyle n}
-мерного полупространства отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение гиперплоскости
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
+
b
>
0
{\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b>0}
,
где
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
,
b
{\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n},\,b}
— постоянные, причём
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n}}
одновременно не равны нулю[ 4] .
Обычно рассматриваются следующие частные случаи полупространств [ комм 1] [ 9] :
R
+
n
=
{
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
:
x
n
>
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\colon \,x_{n}>0\}}
с границами
R
0
n
−
1
=
{
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
:
x
n
=
0
}
.
{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{n-1}=\{(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\colon \,x_{n}=0\}.}
Векторное пространство
В векторной нотации уравнение полупространства [ комм 1] с границей, проходящей через заданную точку
x
0
∈
R
n
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}
, записывается через скалярное произведение векторов как
(
a
,
x
)
>
(
a
,
x
0
)
{\displaystyle (\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} )>(\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} _{0})}
,
или
(
a
,
x
−
x
0
)
>
0
{\displaystyle (\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})>0}
,
где
a
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}
— произвольный ненулевой вектор, параллельный нормали к полуплоскости
(
a
,
x
−
x
0
)
=
0
{\displaystyle (\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})=0}
в точке
x
0
{\displaystyle x_{0}}
, приячём вектор
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
направлен от точки
x
0
{\displaystyle x_{0}}
в сторону полупространства. Указанная полуплоскость есть граница полупространства [ 20] .
Банахово пространство
Полупространство [ комм 1] банахова пространства — одно из множеств точек
E
λ
+
=
{
x
∈
E
:
λ
(
x
)
>
0
}
{\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{+}=\{x\in \mathbb {E} \colon \,\lambda (x)>0\}}
,
E
λ
−
=
{
x
∈
E
:
λ
(
x
)
<
0
}
{\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{-}=\{x\in \mathbb {E} \colon \,\lambda (x)<0\}}
,
где
E
{\displaystyle \mathbb {E} }
— банахово пространство, а
λ
(
x
)
:
E
→
R
{\displaystyle \lambda (x)\colon \,\mathbb {E} \to \mathbb {R} }
— непрерывное линейное отображение (функционал на
E
{\displaystyle \mathbb {E} }
), при этом ядро линейного отображения
λ
(
x
)
{\displaystyle \lambda (x)}
, на котором
λ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lambda (x)=0}
,
называется гиперплоскостью
E
λ
0
{\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{0}}
банахова пространства
E
{\displaystyle \mathbb {E} }
[ 8] .
Теорема 1. Если
μ
(
x
)
:
E
→
R
{\displaystyle \mu (x)\colon \,\mathbb {E} \to \mathbb {R} }
— другой функционал, причём
E
λ
+
=
E
μ
+
{\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{+}=\mathbb {E} _{\mu }^{+}}
, то найдётся такое число
c
>
0
{\displaystyle c>0}
,
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
, что
λ
=
c
μ
{\displaystyle \lambda =c\mu }
[ 8] .
Доказательство. Ядра
λ
{\displaystyle \lambda }
и
μ
{\displaystyle \mu }
совпадают как границы
E
λ
0
=
E
μ
0
{\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{0}=\mathbb {E} _{\mu }^{0}}
совпадающих полуплоскостей. Пусть теперь
λ
≠
0
{\displaystyle \lambda \neq 0}
, и положим
λ
(
x
0
)
>
0
{\displaystyle \lambda (x_{0})>0}
,
x
0
∈
E
λ
+
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {E} _{\lambda }^{+}}
. Тогда и
μ
(
x
0
)
>
0
{\displaystyle \mu (x_{0})>0}
, так как полуплоскости совпадают. Сконструируем функционал
λ
(
x
)
−
λ
(
x
0
)
μ
(
x
0
)
μ
(
x
)
{\displaystyle \lambda (x)-{\frac {\lambda (x_{0})}{\mu (x_{0})}}\mu (x)}
,
который обращается в нуль как на ядрах функционалов
λ
{\displaystyle \lambda }
и
μ
{\displaystyle \mu }
, так и на векторе
x
0
{\displaystyle x_{0}}
. Следовательно, этот функционал тождественно равен нулю и
c
=
λ
(
x
0
)
μ
(
x
0
)
{\displaystyle c={\frac {\lambda (x_{0})}{\mu (x_{0})}}}
[ 8] .
Верхнее полупространство Зигеля
Обобщённая верхняя полуплоскость Зигеля [ 21] (просто верхняя полуплоскость Зигеля [ 22] , или верхнее полупространство Зигеля [ комм 1] [ 23] [ 24] ) — область в пространстве комплексных симметричных матриц порядка
p
{\displaystyle p}
, образованная квадратными матрицами , мнимая часть которых положительно определена[ 22] .
Верхнее полупространство Зигеля есть одна из разновидностей область Зигеля первого рода , ассоциированная с конусом положительно определённых симметричных матриц порядка
p
{\displaystyle p}
. При
p
=
1
{\displaystyle p=1}
верхнее полупространство Зигеля совпадает с обычной комплексной верхней полуплоскостью [ 22] .
Примечания
Комментарии
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Имеется перевод на английский язык.
Ссылки на источники
↑ 1 2 3 4 5 6 Полупространство . БСЭ 3, 1975 .
↑ 1 2 3 4 5 6 Полупространство . МЭС, 1988 .
↑ 1 2 3 4 Рохлин В. А. Площадь и объём, 1966 , 2.1. Внутренние, внешние и граничные точки, с. 13—14, 65.
↑ 1 2 3 4 Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?, 2015 , Глава IV. Проективная геометрия… Приложение…, с. 255.
↑ Киселёв М. А. Элементарная геометрия, 1980 , 304. Определения, с. 182.
↑ Понарин Я. П. Планиметрия, преобразования плоскости, 2004 , 12.2. Следствия из общих формул площади четырехугольника, с. 91.
↑ Рохлин В. А. Площадь и объём, 1966 , 7.2. Класс многогранных тел, с. 67.
↑ 1 2 3 4 Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий, 1967 , Глава II. Многообразия. Приложение. Многообразия с краем, с. 50.
↑ 1 2 Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, 2000 , Глава 4. Гладкие многообразия (примеры). § 5. Классификация двумерных поверхностей, с. 253.
↑ Рохлин В. А. Площадь и объём, 1966 , 2.2. Открытые и замкнутые множества, с. 16.
↑ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела, 1966 , 1.1. Определение. Примеры, с. 182.
↑ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела, 1966 , 3.2. Выпуклые многосторонники и многогранники, с. 212.
↑ 1 2 Розенфельд Б. А. Аксиомы и основные понятия геометрии, 1963 , 6.3. Аксиомы порядка, с. 36.
↑ 1 2 3 4 Постников М. М. Лекции по геометрии. 1. Аналитическая геометрия, 1979 , Лекция 10. Полупространтва…, с. 81.
↑ Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973 , Глава 1. Векторное исчисление. §* 4.4. Стороны…, с. 70.
↑ Постников М. М. Лекции по геометрии. 1. Аналитическая геометрия, 1979 , Лекция 11. Формулы преобразования…, с. 103.
↑ 1 2 3 Постников М. М. Лекции по геометрии. 1. Аналитическая геометрия, 1979 , Лекция 10. Полупространтва…, с. 80.
↑ 1 2 3 Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?, 2015 , Глава IV. Проективная геометрия… Приложение…, с. 256.
↑ Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973 , Глава 2. Метод координат. §* 1.1. Аффинные координаты, с. 168.
↑ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964 , 13.1. Определение выпуклой области, с. 131.
↑ Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961 , § 1.3. Области Зигеля 1-го рода, с. 18.
↑ 1 2 3 Винберг Э. Б. Зигеля область, 1979 .
↑ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several complex variables, 2011 , Exercise 5.19, p. 103.
↑ Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 1951 , 2 Subharmonicityand Its Applications. Exercises, p. 112.
Литература
Болтянский В. Г. , Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела // Энциклопедия элементарной математики (рус.) / гл. ред.: П. С. Александров , А. И. Маркушевич , А. Я. Хинчин ; редакторы книги пятой: В. Г. Болтянский , И. М. Яглом . — М. : «Наука» , 1966. — Т. 5 Геометрия. — С. 181—269. — 624 с., ил. — 25 000 экз.
Винберг Э. Б . Зигеля область // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : «Советская энциклопедия» , 1979. — Т. 2 Д—Коо. — Стб. 455—456. — 1104 стб., ил. — 148 800 экз.
Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных (рус.) / предисл. академика Н. Н. Боголюбова . — М. : «Наука» , 1964. — 411 с., ил. — 7500 тыс. экз.
Киселёв М. А. Элементарная геометрия. Книга для учителя (рус.) . — копия 12-е изд. (1931). — М. : «Просвещение» , 1980. — 286 с., ил.
Курант Р. , Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов = Richard Courant, Herbert Robbins . What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (рус.) / пер. с англ. под ред. А. Н. Колмогорова . — 7-е изд., стереотип. — М. : Издательство МЦНМО , 2015. — 564 с., ил. — 2000 экз. — ISBN 978-5-4439-0628-7 .
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий = Serge Lang. Introduction to differentiable manifold (1962) (рус.) / пер. с англ. И. М. Дектярёва под ред. М. Я. Антоновского . — М. : «Мир» , 1967. — 203 с., ил.
Мищенко А. С. , Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии (рус.) . — М. : Издательство «Факториал Пресс», 2000. — 448 с., ил. — (Университетский учебник). — 3000 экз. — ISBN 5-88688-048-8 .
Полупространство // Большая советская энциклопедия . (В 30 томах) (рус.) / гл. ред. А. М. Прохоров . — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия» , 1975. — Т. 20 Плата — проб. — С. 276. — 608 с., ил., 17 л. ил., 4 л. карт. — 630 тыс. экз.
Полупространство // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров . Ред. кол. С. И. Адян , Н. С. Бахвалов , В. И. Битюцков , А. П. Ершов , Л. Д. Кудрявцев , А. Л. Онищик , А. П. Юшкевич . — М. : «Советская энциклопедия» , 1988. — С. 474. — 847 с., ил. — 148 900 экз.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т (рус.) . Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М. : Издательство МЦНМО , 2004. — 311 с., ил. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-170-0 . — ISBN 5-94057-171-9 (том 1).
Постников М. М. Аналитическая геометрия (рус.) . — М. : «Наука» , 1973. — 751 с., ил.
Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия (рус.) . — М. : «Наука» , 1979. — 336 с., ил. — 37 000 тыс. экз.
Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций (рус.) . — М. : Физматгиз , 1961. — 191 с. — (Современные проблемы математики). — 5000 экз.
Розенфельд Б. А. Аксиомы и основные понятия геометрии // Энциклопедия элементарной математики (рус.) / гл. ред.: П. С. Александров , А. И. Маркушевич , А. Я. Хинчин ; редакторы книги четвёртой: В. Г. Болтянский , И. М. Яглом . — М. : Физматлит , 1963. — Т. 4 Геометрия. — С. 9—48. — 567 с., ил. — 20 000 экз.
Рохлин В. А. Площадь и объём // Энциклопедия элементарной математики (рус.) / гл. ред.: П. С. Александров , А. И. Маркушевич , А. Я. Хинчин ; редакторы книги пятой: В. Г. Болтянский , И. М. Яглом . — М. : «Наука» , 1966. — Т. 5 Геометрия. — С. 5—87. — 624 с., ил. — 25 000 экз.
Jaap Korevaar [англ.] , Jan Wiegerinck. Several complex variables (англ.) . — Amsterdam : University of Amsterdam , 2011. — V+260 p.
Steven G. Krantz [англ.] . Function Theory of Several Complex Variables (англ.) . — Second edition. 1992 held by the American Mathematical Society . Printed with corrections, 2001. — Providence, Rhode Island : AMS Chelsea Publishing [англ.] , 1951. — XVI+564 p. — ISBN 0-8218-2724-3 (alk. paper).