Область Зигеля

О́бласть Зи́геля — неограниченная область в комплексном аффинном пространстве, по сути аналог верхней полуплоскости в случае одного комплексного переменного, основанная на вещественном открытом выпуклом конусе^[1][2].

Эта область названа в честь немецкого математика К. Зигеля, впервые использовавшего некоторый её частный случай в 1939 году^[1][2][3].

Верхняя полуплоскость одного комплексного переменного — простейший пример области Зигеля➤^[1].

Наиболее простые области Зигеля называются областями Зигеля 1-го рода➤, сложнее — 2-го рода➤ и ещё сложнее — 3-го рода➤. Области Зигеля 1-го рода — частные случаи областей Зигеля 2-го рода, а области 2-го рода — частные случаи областей Зигеля 3-го рода^[4].

Термин «область Зигеля» появился при изучении автоморфных функций многих комплексных переменных. Это центральное понятие в теории однородных ограниченных областей^[1].

Здесь будет определена область Зигеля 1-го рода➤, показано, что всякая область Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ может быть биголоморфно отображена на некоторую ограниченную область➤, а также выяснен вид биголоморфных автоморфизмов, оставляющих на месте «бесконечно удаленную точку» области ${\displaystyle D(V)}$➤^[5].

Обозначим через ${\displaystyle V}$ открытый выпуклый конус в вещественном ${\displaystyle n}$-мерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, причём пересечение конуса ${\displaystyle V}$ с произвольной прямой пространства есть либо отрезок, либо полупрямая. В этом разделе используются только такие конусы^[5].

Область Зигеля 1-го рода — неограниченное множество ${\displaystyle D(V)}$ точек ${\displaystyle n}$-мерного комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(z),}$ ${\displaystyle D(V)\subset \mathbb {C} ^{n}(z)}$^[1][5]:

${\displaystyle D(V)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,z=x+iy,\,x\in \mathbb {R} ^{n},\,y\in V\}.}$

При ${\displaystyle n=1}$ одномерный конус одномерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — это полупрямая, поэтому верхняя полуплоскость одного комплексного переменного — простейший пример области Зигеля 1-го рода^[1].

Теорема 1. Произвольная область Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ биголоморфно эквивалентна некоторой ограниченной области^[5].

Доказательство. По условию конус ${\displaystyle V}$ не может включать целую прямую, следовательно, имеется система координат такая, что в ней конус ${\displaystyle V}$ принадлежит следующему ортанту^[5]:

${\displaystyle y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0,}$

Отсюда получаем, что произвольная область Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ принадлежит следующей ${\displaystyle n}$-мерной области^[5]:

${\displaystyle \operatorname {Im} z_{1}>0,\,\operatorname {Im} z_{2}>0,\,\dots ,\,\operatorname {Im} z_{n}>0,}$

А эта область, в свою очередь, биголоморфно эквивалентна прямому произведению ${\displaystyle n}$ кругов, которое ограничено^[5]. □

Остов области Зигеля 1-го рода — та часть границы ${\displaystyle \partial D(V)}$ области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$, которая состоит из точек вида ${\displaystyle z=x}$^[5].

Теорема 1 (об автоморфизме остова). Остов области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ переходит сам в себя при любом автоморфизме области ${\displaystyle D(V)}$, голоморфном в замыкании области ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$^[6].

Доказательство. Обозначим через ${\displaystyle H_{\overline {D(V)}}}$ множество всех голоморфных в ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$ функций, которые имеют максимум в ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$. Тогда для любой голоморфной функции ${\displaystyle f(z)\in H_{\overline {D(V)}}}$ найдётся точка остова, в которой функция ${\displaystyle f(z)}$ имеет максимум модуля^[5].

Обратно, для любой точки остова ${\displaystyle z'=(x'_{1},\,x'_{2},\,\dots ,\,x'_{n})}$ найдётся голоморфная функция ${\displaystyle f(z)\in H_{\overline {D(V)}}}$ с максимумом модуля в этой точке, например, следующая голоморфная функция^[5]:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z_{1}-x'_{1}+i)(z_{2}-x'_{2}+i)\cdots (z_{n}-x'_{n}+i)}}}$. □

Прим доказательстве теоремы понадобится следующая формулировка леммы Чеботарёва^[6].

Лемма 1 (Чеботарёв). На комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (\zeta )}$ функция ${\displaystyle f(\zeta )}$, аналитическая в открытой верхней полуплоскости ${\displaystyle \operatorname {Im} \zeta >0}$ при условии ${\displaystyle \operatorname {Im} f(\zeta )>0}$, непрерывная в замкнутой верхней полуплоскости ${\displaystyle \operatorname {Im} \zeta \geqslant 0}$ и принимающая вещественные значения на вещественной оси может быть представлена на верхней полуплоскости в следующем линейном виде:

${\displaystyle f(\zeta )=a\zeta +b}$,

где ${\displaystyle a>0}$ и ${\displaystyle b}$ — вещественные числа^[7][6].

Теорема 1. Произвольный голоморфный автоморфизм области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$, непрерывный в замыкании ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$, имеет следующий матричный линейный вид:

${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {Az} +\mathbf {b} }$,

где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — аффинное преобразование вещественного конуса ${\displaystyle V}$ на себя самого, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — вещественный вектор^[6].

Предложение. Произвольная ограниченная область комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ всегда содержит объём, инвариантный относительно её голоморфных автоморфизмов^[8].

Найдём формулу инвариантного элемента объёма в области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$. Пусть

${\displaystyle dv=\lambda (x,\,y)dxdy,}$

где

${\displaystyle dx=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}$, ${\displaystyle \quad dy=dy_{1}dy_{2}\dots dy_{n}}$.

Так как для области ${\displaystyle D(V)}$ возможно преобразование вида ${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {z} +\mathbf {b} }$, где ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — произвольный вещественный вектор, то коэффициент ${\displaystyle \lambda }$ не зависит от ${\displaystyle x}$, то есть инвариантный элемент объёма в области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ имеет следующий вид^[8]:

${\displaystyle dv=\lambda (y)dxdy.}$

Кроме того, если ${\displaystyle \mathbf {y} \to \mathbf {Ay} }$ есть аффинное преобразование конуса ${\displaystyle V}$, то тогда ${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {Az} }$ —преобразование области ${\displaystyle D(V)}$, следовательно, имеем следуюшее равенство^[8]:

${\displaystyle \lambda (\mathbf {Ay} )(\det \mathbf {A} )^{2}=\lambda (\mathbf {y} )}$.

• Винберг Э. Б. Зигеля область // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2 Д—Коо. — Стб. 455—456. — 1104 стб., ил. — 148 800 экз.
• Левин Б. Я. Распределение корней целых функций (рус.). — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. — 632 с., ил.
• Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций (рус.). — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1961. — 191 с. — (Современные проблемы математики). — 5000 экз.
• Jacques Faraut, Soji Kaneyuki, Ádám Korányi^[англ.], Qi-keng Lu, Guy Roos. Analysis and geometry on complex homogeneous domains (англ.). — New York: Springer Science+Business Media, LLC, 2000. — XII+540 p. — (Progress in mathematicss (Boston, Mass.); v. 185). — ISBN 1-58488-448-7. — ISBN 978-1-4612-1366-6 (eBook). — doi:10.1007/978-1-4612-1366-6.
• Soji Kaneyuki. Homogeneous Bounded Domains and Siegel Domains (англ.) / adviser: E. Vesentini^[англ.]. — Berlin · Heidelberg · New York: Springer-Verlag, 1971. — V+89 p. — (Scuola Normale Supenore, Plsa). — ISBN 3-540-05702-1. — ISBN 0-387-05702-1.
• Siegel C. L. Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades (нем.) // Mathematische Annalen : журнал. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1939. — Bd. 116. — P. 617—657.
• Nikolaj Tschebotareff. Über die Realität Nullstellen ganzer transzendenter Funktionen (нем.) // Mathematische Annalen : журнал. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1928. — Bd. 99. — P. 660—656.