Открыто-замкнутое множество

Открыто-замкнутое множество — множество топологического пространства, которое является одновременно замкнутым и открытым.

Множество является открыто-замкнутым, если оно совпадает со своими внутренностью и замыканием.

Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ является связным, если и только если единственными замкнутыми и открытыми множествами являются пустое множество и само ${\displaystyle X}$. Множество открыто-замкнуто, если и только если его граница пуста. Любое открыто-замкнутое множество является объединением (возможно, бесконечного числа) связных компонент. Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ является дискретным, если и только если все его подмножества открыто-замкнуты.

Если использовать объединение и пересечение в качестве операций, то открыто-замкнутые подмножества данного топологического пространства ${\displaystyle X}$ образуют булеву алгебру. Каждая булева алгебра может быть получена таким образом из подходящего топологического пространства (теорема Стоуна о представлении булевых алгебр).

В любом топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ пустое множество и всё пространство ${\displaystyle X}$ являются открыто-замкнутыми множествами.

В пространстве ${\displaystyle (a,b)\cup (a',b')}$ (${\displaystyle a\leqslant b\leqslant a'\leqslant b'\in \mathbb {R} }$) с естественной топологией вещественной прямой интервалы ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle (a',b')}$ одновременно открыты и замкнуты; это типичный пример: когда пространство состоит из конечного числа дискретных связных компонент, компоненты оказываются открыто-замкнутыми.

Если ${\displaystyle X}$ — бесконечное множество с метрикой ${\displaystyle d_{X}}$, введённой на нём следующим образом:

${\displaystyle d_{X}(p,q)={\begin{cases}1,\quad p\neq q\\0,\quad p=q\\\end{cases}}}$,

то любое одиночное множество в метрическом пространстве ${\displaystyle (X,d_{X})}$ — синглетон — открыто, следовательно, любое множество, будучи объединением синглетонов, также открыто, то есть все множества в таком пространстве открыто-замнктуы.

В пространство ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ всех рациональных чисел с их естественной топологией и множеством ${\displaystyle A=\{q\in \mathbb {Q} \mid q>{\sqrt {2}}\}}$, используя тот факт, что ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ не принадлежит ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, можно показать, что ${\displaystyle A}$ является открыто-замкнутым в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ подмножеством (при этом ${\displaystyle A}$ не является открыто-замкнутым подмножеством вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — оно ни открыто, ни замкнуто в ${\displaystyle \mathbb {R} }$).

• Открыто-замкнутое множество — статья из Математической энциклопедии
• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: ГИИТЛ, 1948.
• Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.