Потенциальный оператор

Потенциальный оператор — математический оператор, отображающий открытое множество вещественного нормированного пространства в сопряжённое пространство и являющийся градиентом некоторого функционала с областью значений в сопряжённом пространстве.

Обозначим ${\displaystyle E}$ — вещественное нормированное пространство, ${\displaystyle E^{*}}$ — сопряжённое к нему пространство,${\displaystyle A}$ — открытое множество из ${\displaystyle E}$. Оператор ${\displaystyle F:A\rightarrow E^{*}}$ называется потенциальным, если для всякого ${\displaystyle x\in A}$ существует такой функционал ${\displaystyle f(x)\in E^{*}}$, что ${\displaystyle F(x)=gradf(x)}$. Функционал ${\displaystyle f(x)}$ называется потенциалом оператора ${\displaystyle F}$^[1].

Пусть оператор ${\displaystyle F:E\rightarrow E^{*}}$ дифференцируем по Гато в каждой точке выпуклого открытого множества ${\displaystyle \omega \subset E}$. Тогда если дифференциал ${\displaystyle DF(x,h)}$ непрерывен по ${\displaystyle x}$ в каждой точке из ${\displaystyle \omega }$, то для потенциальности ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle \omega }$ необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle F}$ был симметрическим в ${\displaystyle \omega }$^[2].

Оператор ${\displaystyle F:E\rightarrow E^{*}}$ называется симметрическим в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если он имеет дифференциал Гато в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ и для любых ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in E}$ выполняется равенство ${\displaystyle \langle DF(x_{0},h_{1})h_{2}\rangle =\langle DF(x_{0},h_{2})h_{1}\rangle }$.

Оператор Немыцкого задаётся формулой ${\displaystyle hu=g(u(x),x)}$, где ${\displaystyle g(u,x)}$ — вещественная функция, непрерывная по ${\displaystyle u\in [-\infty ,+\infty ]}$ при почти каждом фиксированном ${\displaystyle x\in B}$ и измерима как функция ${\displaystyle x}$ при всяком фиксированном ${\displaystyle u}$ и выполнено неравенство ${\displaystyle |g(u,x)|\leqslant a(x)+b|u|^{p-1}}$, где ${\displaystyle p>1}$, ${\displaystyle a(x)\in L^{p}(B)}$, ${\displaystyle B}$ — измеримое множество конечной или бесконечной лебеговой меры, принадлежащее ${\displaystyle s}$-мерному евклидову пространству^[1].

Оператор Немыцкого является непрерывным потенциальным оператором. Он действует из пространства Лебега ${\displaystyle L^{p}(B)}$ в пространство Лебега ${\displaystyle L^{q}(B)}$, где ${\displaystyle p^{-1}+q^{-1}=1}$ и его потенциал ${\displaystyle f}$ определяется формулой ${\displaystyle f(u)=f_{0}+\int _{B}dx\int _{0}^{u(x)}g(v,x)dv}$, где ${\displaystyle f_{0}}$ — произвольное число.

• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.