Псевдоголоморфная кривая

Псевдоголоморфная кривая (или J-голоморфная кривая) — гладкое отображение из Римановой поверхности в почти комплексное многообразие, удовлетворяющее уравнениям Коши — Римана.

Псевдоголоморфные кривые были введены в 1985 году Михаилом Громовым,  с тех пор они произвели революцию в изучении симплектических многообразий. В частности, теорема о симплектическом верблюде была доказана с использованием псевдоголоморфных кривых.

Они также используются в определении инвариантов Громова — Виттена, гомологий Флоера^[англ.] и играют важную роль в теории струн.

Пусть ${\displaystyle X}$ почти комплексное многообразие с почти комплексной структурой ${\displaystyle J}$. Пусть ${\displaystyle C}$ гладкая риманова поверхность (также называется комплексной кривой) с комплексной структурой ${\displaystyle j}$. Псевдоголоморфная кривая в ${\displaystyle X}$ представляет собой отображение ${\displaystyle f:C\to X}$ , которое удовлетворяет условию

${\displaystyle J\circ df=df\circ j,}$

То есть дифференциал ${\displaystyle df}$  комплексно-линейный.

• В частности, ${\displaystyle J}$ отображает касательные пространства

  ${\displaystyle T_{x}f(C)\subseteq T_{x}X}$

на себя.

• Несмотря на то, что псевдоголоморфные кривые определяются для произвольного почти комплексного многообразия, основные приложения псевдоголоморфных кривых приходятся на симплектические многообразия с совместимой почти комплексной структурой ${\displaystyle J}$
  • То есть такой, что следующее неравенство выполняется для всех ненулевых касательных векторов ${\displaystyle v}$

    ${\displaystyle \omega (v,Jv)>0,}$

где ${\displaystyle \omega }$ обозначает симплектическую форму.

• В частности

${\displaystyle (v,w)={\frac {1}{2}}\left(\omega (v,Jw)+\omega (w,Jv)\right)}$

определяет Риманову метрику.

• Для данного ${\displaystyle \omega }$, пространство всех совместимых почти комплексных структур ${\displaystyle J}$ непусто и стягиваемо. 

• Если псевдокомплексная структура ${\displaystyle J\colon T_{p}\to T_{p}}$ для симплектической формы с ассоциированной римановой метрикой ${\displaystyle g}$ то любая ${\displaystyle J}$-голоморфная кривая является минимальной поверхностью.
  • Более того, любая ${\displaystyle J}$-голоморфная кривая минимизирует площадь в своём гомологическом классе и ${\displaystyle \omega }$ является её калибровочной формой.

• Под редакцией Элиашберга Я. и Трейнора Л. Лекции по симплектической геометрии и топологии. — МЦНМО, 2008. — 424 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-130-8.
• Dusa McDuff and Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications, 2004. ISBN 0-8218-3485-1.
• M. Gromov. Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds (англ.) // Inventiones Mathematicae. — 1985. — Vol. 82. — P. 307—347. Архивировано 13 апреля 2018 года.
• Donaldson, Simon K. What Is...a Pseudoholomorphic Curve? (англ.) // Notices of the American Mathematical Society : journal. — 2005. — October (vol. 52, no. 9). — P. 1026—1027.