Среднее Колмогорова

Среднее Колмогорова или среднее по Колмогорову для действительных чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ — это величина вида

${\displaystyle (*)\qquad M(x_{1},\ldots ,x_{n})=\varphi ^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\varphi (x_{k})\right)=\varphi ^{-1}\left({\frac {\varphi (x_{1})+\ldots +\varphi (x_{n})}{n}}\right)}$

где ${\displaystyle \varphi }$ — непрерывная строго монотонная функция, а ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$ — функция, обратная к ${\displaystyle \varphi }$, причём аргументом этой обратной функции является средняя сумма в скобках.

При выборе определённых функций ${\displaystyle \varphi }$ среднее Колмогорова даёт различные классические средние:

• при ${\displaystyle \varphi (x)=x}$ — среднее арифметическое;
• при ${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{x}}}$ — среднее гармоническое;
• при ${\displaystyle \varphi (x)=x^{2}}$ — среднее квадратическое;
• при ${\displaystyle \varphi (x)=x^{\alpha },\ \alpha \neq 0}$ — среднее степенное.
• при ${\displaystyle \varphi (x)=\log _{b}x}$ или ${\displaystyle \varphi (x)=x^{\alpha },\alpha \to 0}$ — среднее геометрическое.

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал,^[1] что любая средняя величина ${\displaystyle M(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ имеет вид ${\displaystyle (*)}$, если она обладает свойствами:

• непрерывности,
• монотонности по каждому ${\displaystyle x_{i}}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$
• симметричности (среднее не меняется при перестановке аргументов),
• среднее от набора равных чисел равно их значению,
• замена значений всех чисел любой подгруппы в наборе ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ на значение среднего для этой подгруппы не меняет значение среднего всего набора.

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.^[2][3]

Для непрерывно распределённой величины ${\displaystyle f(x)}$ среднее Колмогорова на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$:

${\displaystyle \qquad M_{[a;b]}(f(x))=\varphi ^{-1}\left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi (f(x))dx\right).}$

• Прикладная статистика
• Эконометрика