Среднее геометрическое взвешенное

Среднее геометрическое взвешенное — разновидность среднего значения, обобщение среднего геометрического. Для набора неотрицательных вещественных чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ с вещественными весами ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$, такими что ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\neq 0}$, определяется как^[1]

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right)}$.

Приведённые формулы имеют смысл для любых значений весов, кроме случаев, когда некоторые ${\displaystyle x_{i}=0}$ и соответствующие веса ${\displaystyle w_{i}\leq 0}$. Поэтому, как правило, полагают, что все числа ${\displaystyle x_{i}>0}$. Также обычно рассматриваются неотрицательные веса.

Если веса ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ нормированы к единице (то есть их сумма равна единице), то среднее геометрическое взвешенное принимает более простой вид:

${\displaystyle {\bar {x}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\exp \sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}}$.

• Среднее арифметическое взвешенное логарифмов некоторых чисел равно логарифму среднего геометрического взвешенного этих чисел с теми же весами.
• Если все веса ${\displaystyle w_{i}}$ (${\displaystyle i=1,2,...,n}$) равны между собой, то среднее геометрическое взвешенное становится обычным средним геометрическим.

Пусть дано дискретное распределение вероятностей ${\displaystyle P=\{p_{i}|\,i=1,2,...,N\}}$. Обозначим через ${\displaystyle {\overline {N}}}$ среднее геометрическое взвешенное от величин ${\displaystyle 1/p_{i}}$ с весами ${\displaystyle p_{i}}$, т.е.

${\displaystyle {\overline {N}}=\prod _{i=1}^{N}{(1/p_{i})}^{p_{i}}}$.

Тогда энтропию Шеннона распределения ${\displaystyle P}$ можно записать в виде

${\displaystyle H(P)=\log {\overline {N}}=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}}$.

Величина ${\displaystyle {\overline {N}}}$ интерпретируется как эффективное количество состояний системы.

У этой статьи по математике есть несколько проблем, помогите их исправить: Эта статья слишком короткая. Пожалуйста, дополните её ещё хотя бы несколькими предложениями и уберите это сообщение. Если статья останется недописанной, она может быть выставлена к удалению. Для указания на продолжающуюся работу над статьёй используйте шаблон {{subst:Редактирую}}. Администраторам и подводящим итоги: эта пометка оставлена 2009-11-16. Просьба очень короткие заготовки статей ранее чем через два дня после создания не удалять. (16 ноября 2009) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.