Степенная ассоциативность

Степенная ассоциативность — ослабленная форма ассоциативности, используемая в общей алгебре.

Алгебраическая система с заданным умножением (например, магма, квазигруппа, почтикольцо, алгебра над кольцом) называется степенно-ассоциативной, если её подсистема, порождаемая любым элементом, ассоциативна. Это значит, что если элемент ${\displaystyle x}$ умножается на себя несколько раз, то не важно, в какой последовательности производится умножение, например, ${\displaystyle x(x(xx))=(x(xx))x=(xx)(xx)}$. Это более сильное условие, чем, например, ${\displaystyle (xx)x=x(xx)}$ для любого ${\displaystyle x}$, но более слабое, чем ассоциативность.

Другой вариант ослабления ассоциативности — альтернативность; при некоторых дополнительных условиях она сильнее степенной ассоциативности (например, умножение в алгебре седенионов степенно-ассоциативно, но не альтернативно, тогда как умножение в алгебре октонионов обладает обоими свойствами), но в общем случае это не так.

Наименование связано с тем, что для степенно-ассоциативной мультипликативной операции ${\displaystyle \circ }$ можно ввести нотацию возведения в степень:

${\displaystyle x^{1}=x}$, ${\displaystyle x^{n+1}=x^{n}\circ x}$

без уточнения правил группировки вхождений элемента.

• Schafer R. D. An introduction to non-associative algebras (англ.). — Dover, 1995. — P. 128–148. — ISBN 0-486-68813-5.