Тензор электромагнитного поля

Электродинамика
Электричество · Магнетизм
Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал
Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Магнитная индукция
Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле
Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс
Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток
См. также: Портал:Физика

Тензор электромагнитного поля — антисимметричный дважды ковариантный тензор, являющийся обобщением напряжённости электрического и индукции магнитного поля для произвольных преобразований координат. Он используется для инвариантной формулировки уравнений электродинамики, в частности, с его помощью можно легко обобщить электродинамику на случай наличия гравитационного поля.

Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле

${\displaystyle \mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}.}$

Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

${\displaystyle \mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.}$

Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная

${\displaystyle F=\mathbf {d} A.}$

Отсюда также очевидна его инвариантность.

• ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ — антисимметричный тензор 2-го ранга, имеет 6 независимых компонент.
• Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля^[1]:

${\displaystyle \ F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2(B^{2}-E^{2})={\text{inv}},}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \sigma \rho }F_{\mu \nu }F_{\sigma \rho }=-4\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)={\text{inv}}.}$

Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как

${\displaystyle F_{\mu \nu }=(\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).}$

Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}},}$

что обозначается как

${\displaystyle F^{\mu \nu }=(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).}$

Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае линейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0, 2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{x}&=E_{x}',&E_{y}&={\frac {E_{y}'+{\frac {V}{c}}B_{z}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},&E_{z}&={\frac {E_{z}'-{\frac {V}{c}}B_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},\\B_{x}&=B_{x}',&B_{y}&={\frac {B_{y}'-{\frac {V}{c}}E_{z}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},&B_{z}&={\frac {B_{z}'+{\frac {V}{c}}E_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}.\end{aligned}}}$

Непосредственно из определения следует, что

${\displaystyle \mathbf {d} F=0.}$

В компонентах это выражение принимает вид

${\displaystyle \varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma }{\frac {\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}={\frac {\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial F_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}+{\frac {\partial F_{\nu \mu }}{\partial x^{\rho }}}=0,}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma }}$ — символ Леви-Чивиты для 4-мерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла:

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {B} =0,}$

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Вторая пара уравнений Максвелла выражается (в Гауссовой СГС) через тензор электромагнитного поля и 4-ток как

${\displaystyle \partial _{\nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {4\pi }{c}}j^{\mu },}$

где ${\displaystyle j^{\mu }}$ — вектор 4-тока.

Также можно записать их через звёздочку Ходжа:

${\displaystyle d*F={\frac {4\pi }{c}}J.}$

Сила Лоренца (и, соответственно, дифференциальное уравнение для движения заряда в четырёхмерной форме) выражается через вектор 4-скорости частицы и заряд ${\displaystyle e}$ по формуле:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mu }=mc{\dfrac {du^{\mu }}{ds}}={\dfrac {e}{c}}F^{\mu \nu }u_{\nu }.}$

Пусть в заданной системе отсчёта используются координаты ${\displaystyle x^{0}=ct,x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z}$ и их дифференциалы ${\displaystyle dx^{0},dx^{1}=dx,dx^{2}=dy,dx^{3}=dz}$. Тогда в них можно записать:

• Электрическое поле ${\displaystyle \mathbf {E} =E_{x}dx+E_{y}dy+E_{z}dz=d\varphi }$
• Магнитное поле ${\displaystyle \mathbf {B} =B_{x}dy\wedge dz+B_{y}dz\wedge dx+B_{z}dx\wedge dy=d(A_{1}dx+A_{2}dy+A_{3}dz)=dA}$
• Электромагнитное поле ${\displaystyle F=dt\wedge \mathbf {E} +\mathbf {B} =dt\wedge d\varphi +dA=d(A-\varphi dt)}$
• Первое уравнение Максвелла

${\displaystyle dF=0}$

• Второе уравнение Максвелла

${\displaystyle d(*F)={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} }$

• Первый инвариант э/м поля

${\displaystyle *((*F)\wedge F)=F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2(B^{2}-E^{2})}$

• Второй инвариант э/м поля

${\displaystyle *(F\wedge F)={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \sigma \rho }F_{\mu \nu }F_{\sigma \rho }=-4\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)}$

• Электромагнитный тензор энергии-импульса

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.