Теорема Вильсона

Теорема Вильсона — теорема теории чисел, которая утверждает, что

Если $p$ — простое число, то число $(p-1)!+1$ делится на $p$ .
Обратно: если $(p-1)!+1$ делится на $p$ , то $p$ — простое число или 1.

Эта теорема, в основном, имеет теоретическое значение, поскольку факториал $(p-1)!$ вычислить довольно трудно. Проще вычислить $a^{p-1}$ , поэтому элементарные тесты, определяющие, является ли число простым, основаны на теореме Ферма, а не на теореме Вильсона. Например, наибольшее простое число, найденное с использованием теоремы Вильсона, скорее всего — 1099511628401, и даже с оптимизированным подходом к расчёту $p!$ потребуется около суток вычислений на процессорах SPARC, а числа с десятками тысяч цифр проходят тест на простоту с использованием теоремы Ферма меньше чем за час. Но, в отличие от малой теоремы Ферма, теорема Вильсона является одновременно необходимым и достаточным условием для простоты.

История

Эта теорема впервые была сформулирована Ибн аль-Хайсамом около 1000 г.н.э,^[1] и в 1770 году Варинг сформулировал эту теорему в своём сочинении «Meditationes Algebraicae», опубликованном в Кембридже, где он привёл эту теорему без доказательства. По его словам, теорема принадлежит его ученику Вильсону^[англ.]. Доказательство теоремы он опубликовал только в третьем издании своего Meditationes в 1782 году. Первое доказательство теоремы Вильсона было дано в 1771 году Лагранжем^[2]. Наконец, Эйлер в «Opusc. Analyt», Т. 1, р. 329 дал доказательство, Гаусс обобщил теорему Вильсона на случай составного модуля. Имеются данные о том, что Лейбниц знал о результате ещё столетием раньше, но никогда не публиковал его.

Пример

В таблице посчитаны значения $(p-1)!$ для p от 2 до 37, а также остаток от деления $(p-1)!$ на p (остаток от деления m на p обозначается как m mod p). Зелёным цветом выделены простые числа.

Таблица остатков по модулю n
$p$	$(p-1)!$	$(p-1)!{\bmod {p}}$
2	1	1
3	2	2
4	6	2
5	24	4
6	120	0
7	720	6
8	5040	0
9	40 320	0
10	362 880	0
11	3 628 800	10
12	39 916 800	0
13	479 001 600	12
14	6 227 020 800	0
15	87 178 291 200	0
16	1 307 674 368 000	0
17	20 922 789 888 000	16
18	355 687 428 096 000	0
19	6 402 373 705 728 000	18
20	121 645 100 408 832 000	0
21	2 432 902 008 176 640 000	0
22	51 090 942 171 709 440 000	0
23	1 124 000 727 777 607 700 000	22
24	25 852 016 738 884 980 000 000	0
25	620 448 401 733 239 400 000 000	0
26	15 511 210 043 330 986 000 000 000	0
27	403 291 461 126 605 650 000 000 000	0
28	10 888 869 450 418 352 000 000 000 000	0
29	304 888 344 611 713 870 000 000 000 000	28
30	8 841 761 993 739 702 000 000 000 000 000	0
31	265 252 859 812 191 070 000 000 000 000 000	30
32	8 222 838 654 177 922 000 000 000 000 000 000	0
33	263 130 836 933 693 500 000 000 000 000 000 000	0
34	8 683 317 618 811 886 000 000 000 000 000 000 000	0
35	295 232 799 039 604 160 000 000 000 000 000 000 000	0
36	10 333 147 966 386 145 000 000 000 000 000 000 000 000	0
37	371 993 326 789 901 250 000 000 000 000 000 000 000 000	36

Доказательство

Достаточность

Пусть p — простое.

Способ 1

Рассмотрим $(p-1)!$ . Множество ненулевых классов вычетов по простому модулю p по умножению $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ является группой, и тогда $(p-1)!$ - это произведение всех элементов группы $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ . Поскольку $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ - группа, то для каждого её элемента $a$ существует единственный обратный элемент $a^{-1}:aa^{-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ . Соответствие $a\to a^{-1}$ разбивает группу на классы: если $a=a^{-1}$ (что равносильно $a^{2}=1$ , то есть $a\in \{1,-1\}$ , поскольку у уравнения второй степени может быть не более двух решений), то класс содержит один элемент $a$ , в противном случае класс состоит из двух элементов - $\{a,a^{-1}\}$ . Значит, если класс содержит один элемент $a$ , то произведение всех его элементов равно $a$ , а если класс содержит 2 элемента, то произведение всех его элементов равно 1. Теперь в произведении $(p-1)!$ сгруппируем элементы по классам, все произведения по 2-элементным классам просто равны 1:

(p-1)!\equiv \prod \limits _{a^{2}=1}a\cdot \prod \limits _{a^{2}\neq 1}a\equiv \prod \limits _{a^{2}=1}a\equiv 1\cdot (-1)\equiv -1{\pmod {p}}.

■

Способ 2

Группа $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ циклична, т. е. существует элемент $g$ такой, что для всякого элемента $a$ существует $k$ такое, что $a=g^{k}$ . Поскольку $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ имеет $p-1$ элемент, то $k$ пробегает значения от 0 до $p-1$ , когда $a$ пробегает всю группу вычетов. Тогда

(p-1)!\equiv g^{1}g^{2}\ldots g^{p-1}\equiv g^{1+2+\ldots +(p-1)}=g^{{\frac {p-1}{2}}p}\equiv (-1)^{p}\equiv -1{\pmod {p}}.

■

Способ 3

$\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ - поле, поэтому в нем имеет место теорема Лагранжа, т. е. многочлен степени $n$ имеет не более $n$ корней. Рассмотрим многочлены $f(x)=(x-1)\ldots (x-(p-1))$ и $g(x)=x^{p-1}-1$ . Оба многочлена имеют корни $1,2,\ldots ,p-1$ (для $g(x)$ это получается по малой теореме Ферма), степени многочленов равны $p-1$ , старшие коэффициенты одинаковы. Тогда многочлен $h(x)=f(x)-g(x)$ имеет как минимум те же $p-1$ корней, но его степень не более $p-2$ . Значит по теореме Безу $h(x)$ тождественно равен нулю, т. е. для всех $x$ будет $f(x)=g(x)$ , в частности $f(0)=g(0)$ , что равносильно $(-1)^{p-1}(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}$ . Получаем утверждение теоремы для $p>2$ , т. к. $p-1$ четно и значит $(-1)^{p-1}=1$ .■

Необходимость

Если $p$ составное и $p\neq 4$ , то $(p-1)!\equiv 0{\pmod {p}}$ , а при $p=4$ получаем $(4-1)!\equiv 2{\pmod {4}}$ .

Геометрическое доказательство достаточности

Пусть p — простое число. Перенумеруем вершины правильного p-угольника в порядке обхода контура: 1, 2, 3, ..., p. Если соединим их диагоналями последовательно через одну, потом через две, через три и т. д., то кроме правильного многоугольника 123..., получим ещё (p − 2) многоугольников 135..., 147..., 159... и т. д. Эти (p − 1) многоугольников попарно тождественны, так как при соединении вершин через k и через (p − k − 2) получаем тождественные многоугольники. Число различных правильных многоугольников, полученных этим путём, равно $(p-1)/2$ ;
Если соединим вершины в каком-либо другом порядке, например в порядке 13245..., то получим неправильный многоугольник; повёртывая этот многоугольник так, чтобы номера его вершин заменялись следующими по порядку числами (число p заменяется при этом единицей), получим p неправильных многоугольников. В вышеуказанном примере это будут многоугольники 13245..., 24356..., 35467..., ..., 2134... Если таким путём образуем все возможные неправильные многоугольники, то число их будет кратно p, но, как и в случае правильных многоугольников, они по два тождественны; именно две последовательности вершин, прямая и обратная, дают один и тот же многоугольник;
Если в последовательности вершин 123... сделать все возможные перестановки (p − 1) вершин 23..., то получим все возможные (правильные и неправильные) многоугольники; их число будет равно $1\cdot 2\cdot 3\cdots (p-1)=(p-1)!'$ ; они опять будут попарно тождественны, так что действительное их число $(p-1)!/2$ ;
Сопоставляя результаты из пунктов 1 и 3, видим, что число неправильных многоугольников будет равно: $1/2(p-1)!-1/2(p-1)=1/2((p-1)!+1-p)$ . Из пункта 2, это число должно делиться на p; следовательно (p − 1)! + 1 кратно p.:■

Применение

Используем теорему Вильсона

1\cdot 2\cdots (p-1)\equiv -1{\pmod {p}}.

Для нечётного простого p = 2m + 1, получаем

1\cdot (p-1)\cdot 2\cdot (p-2)\cdots m\cdot (p-m)\equiv 1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)\cdots m\cdot (-m)\equiv -1{\pmod {p}}.

В результате

\prod _{j=1}^{m}j^{2}\equiv (-1)^{m+1}{\pmod {p}}.

Мы можем использовать этот факт для доказательства известного результата: для любого простого p, такого что p ≡ 1 (mod 4) число (−1) является квадратом (квадратичный вычет) по модулю p. Действительно, пусть p = 4k + 1 для некоторого натурального k. Тогда m = 2k, следовательно

{\biggl (}\prod _{j=1}^{2k}\ j{\biggr )}^{2}=\prod _{j=1}^{2k}j^{2}\equiv (-1)^{2k+1}=-1{\pmod {p}}.

Теорема Вильсона используется для генерирования простых чисел, но она слишком медленная для практического применения.

Обобщение

Используя в качестве образца теорему Эйлера, попытаемся обобщить теорему Вильсона на случай p = n, где n — произвольное натуральное число. Простая замена (p − 1)! на произведение n₁n₂…n_k всех чисел, меньших n и взаимно простых с n, не проходит: в случае n = 8 это произведение равно 1 × 3 × 5 × 7 = 105, а 106 на 8 не делится. Но оказывается, что или n₁n₂…n_k + 1, или n₁n₂…n_k − 1 обязательно делится на n.

Рассмотрим множество E_n чисел, меньших n и взаимно простых с n. Под произведением двух элементов этого множества ab, будем понимать остаток от деления обычного произведения ab на n. Ясно, что если a, b принадлежит E_n, то ab принадлежит E_n. Множество E_n относительно операции умножения является группой. В отличие от случая, когда n — простое, группа E_n может содержать элементы, не равные 1 и (n − 1) такие, что их квадрат равен 1: например если n = 8, то 3 × 3 = 1, 5 × 5 = 1, 7 × 7 = 1. Поэтому в общем случае произведение всех элементов из E_n не равно (n − 1). Покажем, что тогда оно равно 1.

Назовем элемент a группы E_n особым, если aa = 1. В этом случае элемент n − a — тоже особый. Следовательно, группа E_n содержит чётное число особых элементов: (a, n − a) — множество таких элементов, и никакой элемент не может быть парой сам для себя. Пусть n₁, n₂, …, n_k — все элементы группы E_n, то есть полный набор чисел, меньших n и взаимно простых с n. Множество элементов, не являющихся особыми, разбивается на пары взаимно обратных, поэтому произведение таких элементов равно 1. С другой стороны, произведение особых элементов, составляющих пару (a, n − a), равно n − 1. Поскольку (n − 1)(n − 1) = 1, то произведение всех особых элементов равно 1 или n − 1, в зависимости от того, чётным или нечётным является число пар вида (a, n − a).■

Впервые теорема была доказана и обобщена Гауссом, при любом n > 2 для произведения всех натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n, имеет место сравнение:

\prod _{k=1 \atop (k,n)=1}^{n}\!\!k\equiv {\begin{cases}-1{\pmod {n}},&n=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\,;\\\;\;\,1{\pmod {n}},&n\neq 4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\,,\end{cases}}

где $p$ — нечётное простое число, $\alpha$ — натуральный показатель.

Позже было найдено ещё одно формальное обобщение теоремы Вильсона (В.Виноград):

$(p-m)!*(m-1)!\equiv (-1)^{m}{\pmod {p}}$

При $m=1$ получается теорема Вильсона.

При $m=\left({\frac {p+1}{2}}\right)$ получается $\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}+(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)}\equiv 0{\pmod {p}}$ , т.е.

$\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}$ , если $p\equiv 1{\pmod {4}}$

и

$\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}-1\equiv 0{\pmod {p}}$ , если $p\equiv 3{\pmod {4}}$

См. также

Примечания

↑ Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham (англ.) — биография в архиве MacTutor.
↑ Joseph Louis Lagrange, «Demonstration d’un théorème nouveau concernant les nombres premiers» Архивная копия от 11 мая 2022 на Wayback Machine (Proof of a new theorem concerning prime numbers), Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres (Berlin), vol. 2, pages 125—137 (1771)