Теория ожидаемой полезности

В экономической науке, теории игр, теории принятия решений теория ожидаемой полезности — альтернатива математическому ожиданию, формула, которая может использоваться рациональным игроком при принятии решений.

Рациональный игрок при выборе решения пытается максимизировать некоторую величину (благо); кажется естественным в качестве такой величины использовать математическое ожидание блага, появляющегося в результате избранного решения. Однако опыт показывает, что в реальной жизни многие участники лотерей выбирают решение с меньшим математическим ожиданием, но и с меньшим риском. Например, поставленные перед выбором получить тысячу рублей с вероятностью 0,2 % (математическое ожидание — 2 рубля) или получить один рубль с вероятностью 100 % (математическое ожидание — 1 рубль), многие люди предпочтут гарантированную выплату, несмотря на её меньшее математическое ожидание. Для описания такого поведения и была придумана формула ожидаемой полезности.

В 1947 году вышло второе издание книги Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение», где впервые была изложена теория ожидаемой полезности. Новая теория возникла как дополнение к теории игр. В вводной главе книги, рассказывающей о применении теории игр в экономике, авторы кратко излагают основные положения экономической теории и предлагают новый метод для оценки полезности благ — именно здесь и была изложена аксиоматика теории ожидаемой полезности^[1].

В 1948 году математик Леонард Сэвидж и экономист Милтон Фридмен разработали теорию отношения к риску. Они поделили людей на два типа: склонных к риску (любителей лотерей, азартных игр, рискованных инвестиций) и испытывающих неприятие к риску. Для склонных к риску возможность сыграть честную в лотерею оценивается выше, чем её достоверный эквивалент. Те же, кто испытывает неприятие к риску, наоборот ниже оценивают возможность сыграть в лотерею^[1].

Поведение рационального игрока в теории ожидаемой полезности основывается на четырёх аксиомах:

1. Аксиома полноты. Для любых исходов ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ должно выполняться соотношение ${\displaystyle A>B}$, ${\displaystyle B>A}$ или ${\displaystyle A=B}$. То есть, при выборе между А и B игрок должен или предпочитать вариант А, или предпочитать вариант B, или ему должно быть всё равно.
2. Аксиома транзитивности. Если ${\displaystyle A>B}$ и ${\displaystyle B>C}$, то ${\displaystyle A>C}$. То есть, если игроку A кажется лучше, чем B, а B — лучше, чем C, то для него A будет лучше, чем C.
3. Аксиома независимости. Предположим, что ${\displaystyle A>B}$ и вероятность ${\displaystyle p\in (0;1]}$, тогда для любого C ${\displaystyle pA+(1-p)C>pB+(1-p)C}$. То есть, если для игрока A лучше, чем B, то он предпочтёт замену B на А (с той же вероятностью p), независимо от третьей альтернативы C. Из четырёх аксиом эта — наиболее спорная.
4. Аксиома непрерывности. Предположим, что ${\displaystyle A>B>C}$, тогда ${\displaystyle B}$ можно представить в виде ${\displaystyle pA+(1-p)C}$, где ${\displaystyle p\in (0;1]}$. То есть, если игроку вариант A нравится больше, чем B, а B — больше, чем C, то существует такая вероятность p, что игроку будет всё равно, получит ли он B гарантированно или положится на случай, который предоставит ему либо более полезный, чем B, вариант A с негарантированной вероятностью p, либо менее полезный C. В применении к примеру из начала этой статьи, при некоторой вероятности p игроку будет всё равно, получить ли ему гарантированную выплату суммы B (1 рубль) или сыграть в лотерею, в которой он может выиграть А (1000 рублей) с вероятностью p, но может и ничего не выиграть (C = 0 рублей).

В предположении, что аксиомы выполняются, а благо аддитивное, предпочтения рационального игрока будут определяться сравнительно простой формулой.

Функционал риска является линейным, таким образом полезность фон Неймана — Моргенштерна для ${\displaystyle n}$ благ можно представить в виде ${\displaystyle U=\sum _{i=1}^{n}p_{i}U(x_{i})}$, где ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1}$

Здесь ${\displaystyle x_{i}}$ — это i-й результат, а ${\displaystyle U(x_{i})}$ — его полезность.

• Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение». — М.: «Наука», 1970. — 707 с.

• Теория неожидаемой полезности
• Теория перспектив
• Теория субъективной ожидаемой полезности

В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (11 декабря 2021)