Шестая проблема Гильберта

Шестая проблема Гильберта — одна из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его докладе^[1]^[2] на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Эта проблема посвящена вопросу аксиоматизации теоретической физики. Проблему можно считать частично решённой или некорректно поставленной в зависимости от интерпретации первоначальной формулировки Гильберта.^[3].

Проблема в формулировке Гильберта

Шестую проблему Гильберт формулировал следующим образом (перевод с английского издания^[4]):

6. Математическая трактовка аксиом физики. Исследования основ геометрии наталкивают на проблему: таким же образом, с помощью аксиом, трактовать те физические науки, в которых уже сегодня математика играет важную роль; на первом месте стоят теория вероятностей и механика.

С дальнейшим пояснением:

Что касается аксиом теории вероятностей, то мне кажется желательным, чтобы их логическое исследование сопровождалось строгим и удовлетворительным развитием метода средних значений в математической физике и, в частности, в кинетической теории газов. ... Работа Больцмана о принципах механики выдвигает проблему математического развития ограничивающих процессов, которые там просто указаны, которые ведут от атомистического взгляда к законам движения сплошных сред.

Сам Гильберт считал важнейшими два вопроса.

Аксиоматизацию теории вероятностей, которая является фундаментом статистической физики.
Строгую теорию предельных процессов «которые ведут от атомистической точки зрения к законам движения континуума».

В 1933 году Колмогоров на базе теории меры построил аксиоматику теории вероятностей, которая сегодня является общепринятой.

В 1990—2000 годах несколькими группами математиков были получены важные результаты и по второму вопросу^[5]^[6]^[7]

Современное состояние проблемы

В настоящее время наиболее общими аксиоматически построенными физическими теориями являются общая теория относительности, которая описывает гравитационное взаимодействие и квантовая механика^[8] со стандартной моделью, которые описывают три остальных взаимодействия. Но поскольку квантовой теории гравитации пока не существует, эти теории нельзя объединить. В этом смысле шестая проблема Гильберта не решена.^[9]

Примечания

↑ David Hilbert. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (нем.). — Текст доклада, прочитанного Гильбертом 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков в Париже. Дата обращения: 27 августа 2009. Архивировано из оригинала 17 июля 2009 года.
↑ Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — С. 36—37. — 240 с. — 10 700 экз. Архивировано 17 октября 2011 года.
↑ Corry L. David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905) (англ.) // Arch. Hist. Exact Sci. — 51 (1997). — No. 2. — P. 83—198. — doi:10.1007/BF00375141.
↑ Hilbert, David. Mathematical Problems (англ.) // Bulletin of the American Mathematical Society : journal. — 1902. — Vol. 8, no. 10. — P. 437—479. — doi:10.1090/S0002-9904-1902-00923-3. Архивировано 6 июля 2018 года.
↑ Saint-Raymond L. Hydrodynamic limits of the Boltzmann equation (англ.) // Lecture Notes in Mathematics. — Vol. 1971. — Berlin: Springer-Verlag, 2009. — doi:10.1007/978-3-540-92847-8.
↑ Slemrod M. From Boltzmann to Euler: Hilbert’s 6th problem revisited (англ.) // Comput. Math. Appl. — 65 (2013). — No. 10. — P. 1497—1501. — MR 3061719. — doi:10.1016/j.camwa.2012.08.016.
↑ Gorban A. N., Karlin I. Hilbert’s 6th Problem: exact and approximate hydrodynamic manifolds for kinetic equations (англ.) (Архивная копия от 30 декабря 2013 на Wayback Machine) // Bull. Amer. Math. Soc. — 51 (2014). — no. 2. — 186—246. — doi:10.1090/S0273-0979-2013-01439-3.
↑ Наиболее удачную математическую модель для квантовой механики построил фон Нейман на основе теории гильбертовых пространств
↑ Theme issue Hilbert's sixth problem. Phil. Trans. R. Soc. A. 376 (2118). 2018. doi:10.1098/rsta/376/2118.