Континуум-гипотеза

Континуум-гипотеза
Краткое имя или название	CH, HC и HC
Названо в честь	континуум
Изучается в	теория множеств
Первооткрыватель или изобретатель	Георг Кантор
Дата открытия (изобретения)	1877
Определяющая формула	${\displaystyle \aleph _{0}\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\Rightarrow \kappa =\aleph _{0}\lor \kappa =2^{\aleph _{0}}}$
Обозначение в формуле	${\displaystyle \aleph _{0}}$, ${\displaystyle \kappa }$, ${\displaystyle \lor }$ и ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
Кем решена	Курт Гёдель и Пол Коэн

Конти́нуум-гипо́теза (проблема континуума, первая проблема Гильберта) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет. В частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных чисел всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие либо между элементами этого множества и множеством целых чисел, либо между элементами этого множества и множеством всех действительных чисел.

Если принять аксиому выбора, то континуум-гипотеза равносильна тому, что ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$.

Первые попытки доказательства этого утверждения средствами наивной теории множеств не увенчались успехом, в дальнейшем была показана невозможность доказать или опровергнуть гипотезу в аксиоматике Цермело — Френкеля (как с аксиомой выбора, так и без неё).

Континуум-гипотеза однозначно доказывается в системе Цермело — Френкеля с аксиомой детерминированности (ZF+AD).^[1] При этом утверждение ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$ в ней неверно; более того, мощность континуума и ${\displaystyle \aleph _{1}}$ в ней несравнимы.^[2]

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга^[англ.] доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC^[3]. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причём оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.

В предположении отрицания континуум-гипотезы ${\displaystyle \mathrm {ZFC+\neg CH} }$ имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов ${\displaystyle \alpha }$ может выполняться равенство ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{\alpha }}$? Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году теорема Истона^[англ.].

Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:

• Прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четвёрки чисел ${\displaystyle a,b,c,d}$ не выполняется условие ${\displaystyle a+b=c+d}$^[4].
• Плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ может быть полностью покрыта счётным семейством множеств, каждое из которых имеет вид ${\displaystyle y=f(x)}$ (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или ${\displaystyle x=f(y)}$ (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой)^[5].
• Пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям ${\displaystyle Ox}$, ${\displaystyle Oy}$ и ${\displaystyle Oz}$, соответственно, лишь в конечном числе точек (каждому множеству соответствует своя ось)^[6].
• Пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка ${\displaystyle P}$, что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через ${\displaystyle P}$, лишь в конечном числе точек^[7].

Обобщённая континуум-гипотеза (GCH) утверждает, что для любого бесконечного кардинала ${\displaystyle \kappa }$ не существует кардинала между ${\displaystyle \kappa }$ и ${\displaystyle 2^{\kappa }}$. Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 году и Шпеккер в 1952 году, из неё следует аксиома выбора.^[8] GCH независима от CH как в ZF, так и в ZFC. GCH в ZF следует из аксиомы конструктивности.

Алеф-гипотезой (AH) называется утверждение, что для любого алефа ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ выполнено ${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$. Данное утверждение эквивалентно GCH в ZFC, поэтому очень часто именно его называют обобщённой континуум гипотезой. В ZF обобщённая континуум гипотеза в точности эквивалентна AC+AH.^[9]

В ZFC обобщённая континуум-гипотеза (а значит и алеф-гипотеза) эквивалентна утверждению, что в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество ${\displaystyle S}$, найдётся подмножество, равномощное булеану ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$^[10].

Специальной алеф-гипотезой (AH(0)) называют утверждение ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$. Это утверждение эквивалентно обычной континуум-гипотезе в ZFC, из-за чего очень часто континуум-гипотезу формулируют именно так. Однако в ZF они неэквивалентны: AH(0) независима от CH в ZF. По этим причинам в ZF часто ошибочно подразумевают под континуум-гипотезой именно специальную алеф-гипотезу. AH(0) влечёт CH. В ZF+AD континуум-гипотеза выполняется, но специальная алеф-гипотеза неверна.

• Аксиома Мартина

• Катин Ю. Е. Из истории проблемы континуума // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1970. — Вып. 9. — С. 248—261.
• Sierpinski W. L'hypothèse généralisée du continu et l'axiome du choix // Fundamenta Mathematicae. — 1947. — Вып. 34. — С. 1—5.
• Rubin, H. A new form of the generalized continuum hypothesis // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1959. — Вып. 65. — С. 282—284.
• Манин Ю. И. Проблема континуума // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения.». — 1975. — № 5. — С. 5—72. — ISSN 0202-747X.
• Фёдор Пахомов. Аксиома детерминированности  (рус.) (2019). Дата обращения: 11 марта 2023.
• Thomas Jech. The Axiom of Choice (англ.). — North-Holland Publishing Company, 1973. — 202 p.