Максвелове једначине

Електромагнетизам
Електрицитет Магнетизам
Електростатика Електрично наелектрисање Статички електрицитет Електрично поље Проводник Изолатор Трибоелектрицитет Електростатичко пражњење Индукција Кулонов закон Гаусов закон Електрични флукс / потенцијална енергија Електрични диполни момент Поларизациона густина
Магнетостатика Амперов закон Магнетно поље Магнетизација Магнетни флукс Био—Саваров закон Магнетни диполни моменат Гаусов закон магнетизма
Магнетодинамика Магнетно коло Магнетизација Магнетна струја
Електродинамика Лоренцова сила Електромагнетска индукција Фарадејев закон Ленцов закон Струја помака Магнетни потенцијал Максвелове једначине Електромагнетно поље Електромагнетна радијација Максвелов тензор Поинтингов вектор Лијенар—Вихертов потенцијал Јефименкове једначине Вртложне струје Лондонове једначине Математички опис електромагнетног поља
Електрична мрежа Електрична струја Електрични потенцијал Напон Отпор Омов закон Серијско коло Паралелно коло Једносмерна струја Наизменична струја Наелектрисана струја Неутрална струја Електромоторна сила Електрични капацитет Самоиндукција Импеданса Резонантне шупљине Таласовод
Коваријантна формулација Електромагнетни тензор (стресно-енергетски тенсор) Четвороток Четворовектор потенцијала
Научници Ампер Кулон Фарадеј Карл Фридрих Гаус Хевисајд Хенри Херц Лоренц Максвел Тесла Волта Вебер Ерстед
п р у

Максвелове једначине су основне једначине електромагнетизма. Назив су добиле по шкотском физичару Џејмсу Максвелу који је 1864. године објавио први пут рад са једначинама које објашњавају електромагнетске појаве. Овиме је објашњено јединство електричног и магнетног поља и њихова узрочно-последична повезаност. Неке од ових једначина су биле познате и пре овог рада, али их је Максвел први објединио и допунио својим открићима. Поједине једначине су познате и под називима Гаусов закон, Гаусов закон магнетизма, Фарадејев закон и Амперов закон (са Максвеловом исправком). Овај скуп једначина описује електрично и магнетно поље у простору и њихову зависност од густине наелектрисања и електричних струја. Неки пут се овом скупу придружи и Лоренцова једначина. Ове једначине описују свет електромагнетних интеракција у макроскопском свету и зову их једначинама класичног електромагнетизма.

За разумевање следећих једначина потребно је познавати основе векторске анализе. Максвелове се једначине могу приказати у диференцијалном и интегралном облику. Еквиваленција између ових облика заснива се на Стоксовој и Гаус-Остроградски теоремама. Такође постоји и четвородимензионални облик који се користи у теорији релативности и квантној електродинамици.

Сажети приказ Максвелових једначина у СИ јединицама

диференцијални облик	повезујућа теорема	интегрални облик
Гаусов закон: извор електричног поља је електрични набој.	Гаусов	Електрични ток кроз затворену плочу једнак је укупном електричном набоју у њеној унутрашњости.
${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\int _{V}{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\mathrm {d} V}$
Магнетно поље нема извора (не постоје магнетски монополи).	Гаусов	Магнетни ток кроз било коју затворену површину једнак је нули.
${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0}$
Фарадајев закон индукције: свака промена магнетног поља ствара електрично поље.	Стоксов	Интеграл вектора електричног поља по затвореној кривој једнак је негативној промени по времену магнетног тока обухваћеног том кривом.
${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle \oint _{\partial A}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{A}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$
Проширени Амперов закон: око проводника којим тече електрична струја индукује се магнетно поље, али и свако промењиво електрично поље ће индуковати магнетно поље.	Стоксов	Интеграл вектора јачине магнетног поља по затвореној кривој једнак је збиру струје и временске промене електричног тока обухваћених том кривом.
${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle \oint _{\partial A}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\int _{A}\mu _{0}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{A}\mu _{0}\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

У горњим једначинама кориштени су симболи СИ мерних јединица :

Симбол	Значење	SI јединице мере
${\displaystyle \mathbf {E} }$	електрично поље	волт по метру или, њутн по кулону
${\displaystyle \mathbf {H} }$	магнетско поље	ампер по метру
${\displaystyle \mathbf {D} }$	електрична индукција	кулон по квадратном метру
${\displaystyle \mathbf {B} }$	магнетска индукција	тесла, или, вебер по квадратном метру
${\displaystyle \ \rho \ }$	густина наелектрисања	кулон по кубном метру
${\displaystyle \mathbf {J} }$	густина електричне струје	ампер по квадратном метру
${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {A} }$	одсечак површине по којој се интеграли	квадратни метар
${\displaystyle \mathrm {d} V\ }$	део простора обухваћеног затвореном површином S	кубни метар
${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {l} }$	део контуре која окружује површину S	метар
${\displaystyle \nabla \cdot }$	оператор дивергенције	по метру
${\displaystyle \nabla \times }$	ротор оператор	по метру

У табели су наведене основне мерне јединице, али често се те физичке величине изражавају и у другим јединицама. Други закон, закон магнетског флукса, наводи чињеницу да магнетских монопола у природи нема. Постоје само диполи а једини извор магнетног поља је електрична струја и променљиво електрично поље. Фарадејев закон показује, да је променљиво (нестатичко) магнетно поље (B) узрок настанка електричног поља.

Прва једначина говори да је електрични набој извор (или понор) електричног поља. Укупни електрични ток кроз затворену површину пропорционалан је количини електричног набоја који се налази унутар запремине те површине. Ако унутар те затворене површине нема електричног набоја (или је количина позитивног једнака количини негативног електричног набоја), укупни електрични ток кроз ту затворену површину је нула. То не значи да у тој запремини уопште нема електричног поља, већ само да укупни ток ишчезава. Дакле, ако нема електричног набоја у тој посматраној запремини, колико силница електричног поља улази кроз површину која описује запремину, толико силница негде и излази из те исте затворене површине.

Друга Максвелова једначина слична је првој (у ситуацији у којој не постоји набој), али описује магнетно поље. Ова једначина изриче да не постоји „магнетни набој” (магнетни монопол), то јест не постоји извор магнетног поља, из којега би произлазио магнетни ток различит од нуле. У свакој тачки простора, количина силница магнетног поља која улази у ту тачку једнака је количини силница које излазе из те тачке, силнице магнетног поља немају извора (или понора). Стога укупни магнетни ток кроз затворену површину увек ишчезава. То вреди и за изворе магнетног поља, стога је сваки извор магнетног поља барем дипол.

Максвелове једначине описују понашање електричног и магнетног поља свугде у простору, ако су познати сви извори, то јест набоји и струје. У опису макроскопских објеката такав приступ није могућ из два разлога. Прво, број наелектрисаних честица у атомима и нуклеарним језгрима врло је велик. Други је разлог да са макроскопске тачке гледања, сви детаљи у понашању поља и набоја на атомским и молекуларним димензијама нису релевантни. Оно што је битно, то је просечна вредност поља и извора у запремини која је велика у поређењу са једним атомом или молекулом. Овакве просечне вредности називају се макроскопска поља и макроскопски извори. У овом случају Максвелове једначине попримају облик:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} ={\rho _{slob.}}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}={\mathbf {J} _{slob.}}}$

где је:

${\displaystyle \mathbf {D} \ }$ - поље електричног помака,

${\displaystyle \mathbf {H} \ }$ - магнетизирајуће поље,

${\displaystyle {\rho _{slob.}}\ }$ - густина слободног електричног набоја (укупна густина електричног набоја минус густина везаних електричних набоја),

${\displaystyle {\mathbf {J} _{slob.}}\ }$ - густина слободне електричне струје (укупна густина електричне струје минус густина везаних електричних струја).

Величине ${\displaystyle \mathbf {D} \ }$ i ${\displaystyle \mathbf {H} \ }$ није једноставно одредити, јер је у њима садржана целокупна сложеност интеракције поља и средства (медија, то јест материјала у којем се поље налази). Могуће је да ове величине зависе од претходног стања средства (хистерезис), такође је могуће да су нелинеарне и просторно анизотропне. Ове једначине за поља у средству нису толико универзалне као почетно наведене једначине. Ипак, Ј. К. Максвел их је на сличан начин првобитно формулисао. Везе између ${\displaystyle \mathbf {E} \ }$ i ${\displaystyle \mathbf {D} \ }$ te između ${\displaystyle \mathbf {B} \ }$ i ${\displaystyle \mathbf {H} \ }$ зову се конститутивне релације.

У најједноставнијем случају претпоставља се, да су електрична и магнетска својства средства хомогена и изотропна, те да се поља не мењају интензивно у времену. У стварности то вреди за диелектричне и парамагнетске материјале. Тада спољашње електрично поље ствара поларизацију ${\displaystyle \mathbf {P} \ }$, која је линеарно пропорционална електричном пољу, док магнетно поље ствара магнетизацију ${\displaystyle \mathbf {M} \ }$ пропорционалну магнетном пољу, те вреди:

${\displaystyle \mathbf {P} \ =\chi _{e}\cdot \epsilon _{0}\cdot \mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {M} \ =\chi _{m}\cdot \mathbf {H} }$

Тада је:

${\displaystyle \mathbf {D} \ =\epsilon _{0}\cdot \mathbf {E} +\mathbf {P} =\epsilon _{0}\cdot (1+\chi _{e})\cdot \mathbf {E} =\epsilon \cdot \mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}\cdot (\mathbf {H} +\mathbf {M} )=\mu _{0}\cdot (1+\chi _{m})\cdot \mathbf {H} =\mu \cdot \mathbf {H} }$

Гаусов закон описује однос међу статичким електричним пољем и наелектрисања које ствара то поље.

• Лоренцова сила
• Био-Саваров закон
• Кулонов закон

• Silagadze, Z. K. (2001). „Feynman's derivation of Maxwell equations and extra dimensions”. Bibcode:2001hep.ph....6235S. arXiv:abs/hep-ph/0106235  Проверите вредност параметра |arxiv= (помоћ). 

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Maxwell equations”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• maxwells-equations.com — An intuitive tutorial of Maxwell's equations.
• Mathematical aspects of Maxwell's equation are discussed on the Dispersive PDE Wiki.
• Electromagnetism (ch. 11), B. Crowell, Fullerton College
• Lecture series: Relativity and electromagnetism, R. Fitzpatrick, University of Texas at Austin
• Electromagnetic waves from Maxwell's equations on Project PHYSNET.
• MIT Video Lecture Series (36 × 50 minute lectures) (in .mp4 format) – Electricity and Magnetism Taught by Professor Walter Lewin.
• Nature Milestones: Photons – Milestone 2 (1861) Maxwell's equations