Ојлеров производ

У теорији бројева, Ојлеров производ је развој Дирихлеовог реда у бесконачан производ индексиран простим бројевима. Оригинални такав производ дао је Леонард Ојлер за суму свих позитивних целих бројева подигнутих на одређени степен. Овај ред и његов наставак на целу комплексну раван касније су постали познати као Риманова зета-функција.[14][1]

Уопштено, ако је a ограничена мултипликативна функција, онда је Дирихлеов ред

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

једнак

${\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }P(p,s)\quad {\text{за }}\operatorname {Re} (s)>1.}$

где се производ узима преко простих бројева p, а P(p, s) је сума

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a(p^{k})}{p^{ks}}}=1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+{\frac {a(p^{3})}{p^{3s}}}+\cdots }$

У ствари, ако ово посматрамо као формалне генераторске функције, постојање таквог формалног развоја Ојлеровог производа је нужан и довољан услов да a(n) буде мултипликативно: ово тачно каже да је a(n) производ од a(p^k) кад год се n факторише као производ степена p^k различитих простих бројева p.[14]

Важан посебан случај је онај у коме је a(n) потпуно мултипликативна функција, тако да је P(p, s) геометријски ред. Тада је

${\displaystyle P(p,s)={\frac {1}{1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}}},}$

као што је случај за Риманову зета-функцију, где је a(n) = 1, и уопштеније за Дирихлеове карактере.[14]

У пракси, сви важни случајеви су такви да су бесконачни ред и бесконачни производ апсолутно конвергентни у некој области

${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>C,}$

то јест, у некој десној полуравни у комплексним бројевима. Ово већ даје неке информације, јер бесконачни производ, да би конвергирао, мора дати ненулту вредност; стога функција дата бесконачним редом није нула у таквој полуравни.[14]

У теорији модуларних форми типично је имати Ојлерове производе са квадратним полиномима у имениоцу. Општа Ленглендсова филозофија укључује упоредиво објашњење везе између полинома степена m и теорије репрезентација за GL_m.

Следећи примери ће користити нотацију ${\displaystyle \mathbb {P} }$ за скуп свих простих бројева, то јест:

${\displaystyle \mathbb {P} =\{p\in \mathbb {N} \,|\,p{\text{ је прост}}\}.}$

Ојлеров производ везан за Риманову зета-функцију ζ(s), такође користећи суму геометријског реда, јесте[2][4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)&=\prod _{p\ \in \ \mathbb {P} }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{ks}}}\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s).\end{aligned}}}$

док је за Лијувилову функцију λ(n) = (−1)^ω(n), он

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.}$

Користећи њихове реципроке, два Ојлерова производа за Мебијусову функцију μ(n) су[2][11]

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$

и

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}.}$

Узимањем односа ова два производа добија се

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1+{\frac {1}{p^{s}}}}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}\right)={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}.}$

Пошто за парне вредности s Риманова зета-функција ζ(s) има аналитички израз у облику рационалног умношка од π^s, онда за парне експоненте овај бесконачни производ даје рационалан број. На пример, пошто је ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, и ζ(8) = π⁸/9450, тада је

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}\right)&={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {10}{8}}\cdot {\frac {26}{24}}\cdot {\frac {50}{48}}\cdot {\frac {122}{120}}\cdots &={\frac {\zeta (2)^{2}}{\zeta (4)}}&={\frac {5}{2}},\\[6pt]\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{4}+1}{p^{4}-1}}\right)&={\frac {17}{15}}\cdot {\frac {82}{80}}\cdot {\frac {626}{624}}\cdot {\frac {2402}{2400}}\cdots &={\frac {\zeta (4)^{2}}{\zeta (8)}}&={\frac {7}{6}},\end{aligned}}}$

и тако даље, при чему је први резултат познат од Рамануџана. Ова породица бесконачних производа је такође еквивалентна са

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {2}{p^{s}}}+{\frac {2}{p^{2s}}}+\cdots \right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}},}$

где ω(n) броји број различитих простих фактора од n, а 2^ω(n) је број бесквадратних делитеља. Ако је χ(n) Дирихлеов карактер кондуктора N, тако да је χ потпуно мултипликативна и χ(n) зависи само од n mod N, и χ(n) = 0 ако n није узајамно прост са N, онда

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }{\frac {1}{1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

Овде је згодно изоставити просте бројеве p који деле кондуктор N из производа.[14]

У својим свескама, Рамануџан је генерализовао Ојлеров производ за зета-функцију као

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(x-{\frac {1}{p^{s}}}\right)\approx {\frac {1}{\operatorname {Li} _{s}(x)}}}$

за s > 1 где је Li_s(x) полилогаритам. За x = 1 горњи производ је тачно 1/ζ(s).

Многе познате константе имају развој у Ојлеров производ.

Лајбницова формула за π

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

може се тумачити као Дирихлеов ред користећи (јединствени) Дирихлеов карактер модуло 4, и конвертовати у Ојлеров производ суперпартикуларних односа (разломака где се бројилац и именилац разликују за 1):

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,}$

где је сваки бројилац прост број, а сваки именилац најближи вишекратник броја 4.^[1]

Остали Ојлерови производи за познате константе укључују:

• Харди-Литлвудова константа двојних простих бројева:

   :${\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=0.660161...}$

• Ландау-Рамануџанова константа:

   :${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}&=0.764223...\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=0.764223...\end{aligned}}}$

• Муратина константа (секвенца A065485 у OEIS):

   :${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=2.826419...}$

• Јака безбрижна константа ×ζ(2)²  A065472:

   :${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{\left(p+1\right)^{2}}}\right)=0.775883...}$

• Артинова константа  A005596:

   :${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.373955...}$

• Ландауова тотијент константа  A082695:

   :${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.943596...}$

• Безбрижна константа ×ζ(2)  A065463:

   :${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p+1)}}\right)=0.704442...}$
   и њен реципрок  A065489:
   :${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}+p-1}}\right)=1.419562...}$

• Фелер-Торнијеова константа  A065493:

   :${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\prod _{p}\left(1-{\frac {2}{p^{2}}}\right)=0.661317...}$

• Константа квадратног броја класа  A065465:

   :${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}(p+1)}}\right)=0.881513...}$

• Константа суматорног тотијента  A065483:

   :${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784...}$

• Сарнакова константа  A065476:

   :${\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {p+2}{p^{3}}}\right)=0.723648...}$

• Безбрижна константа  A065464:

   :${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {2p-1}{p^{3}}}\right)=0.428249...}$

• Јака безбрижна константа  A065473:

   :${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3p-2}{p^{3}}}\right)=0.286747...}$

• Стивенсова константа  A065478:

   :${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {p}{p^{3}-1}}\right)=0.575959...}$

• Барбанова константа  A175640:

   :${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {3p^{2}-1}{p(p+1)\left(p^{2}-1\right)}}\right)=2.596536...}$

• Танигучијева константа  A175639:

   :${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3}{p^{3}}}+{\frac {2}{p^{4}}}+{\frac {1}{p^{5}}}-{\frac {1}{p^{6}}}\right)=0.678234...}$

• Хит-Браун-Морозова константа  A118228:

   :${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{7}\left(1+{\frac {7p+1}{p^{2}}}\right)=0.0013176...}$

• G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (Веома приступачан енглески превод Ојлеровог мемоара о овом "Најнеобичнијем закону бројева" појављује се почевши од стране 91)
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001  (Пружа уводну дискусију о Ојлеровом производу у контексту класичне теорије бројева.)
• G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 (Поглавље 17 даје даље примере.)
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X
• G. Niklasch, Some number theoretical constants: 1000-digit values"

• Weisstein, Eric W. „Euler Product”. MathWorld. 
• Niklasch, G. (23. 8. 2002). „Some number-theoretical constants”. Архивирано из оригинала 12. 6. 2006. г. CS1 одржавање: Формат датума (веза)