Тополошки простори су математичке структуре које омогућавају формалну дефиницију појмова као што су конвергенција, повезаност и непрекидност. Они се јављају у практично свим гранама модерне математике. Грана математике која проучава саме тополошке просторе се назива топологија.[1][2][3]
унија свих колекција скупова из је такође скуп у .
пресек сваке коначне колекције скупова из је такође у .
Колекција се назива топологијом над X. Елементи скупа X се обично називају тачкама, мада могу бити произвољни математички објекти. Тополошки простор у коме су тачке представљене неким функцијама, назива се функционални или функцијски простор.
Скупови у су отворен скупови, а њихови комплементи у X су затворени скупови. Произвољни подскуп од X може бити отворен, затворен, и отворен и затворен истовремено или нити отворен, нити затворен.
Покривач скупа X је скуп подскупова у X такав да њихова унија даје цео скуп X. Покривач скупа је отворен, ако се састоји од отворених скупова.[11]
Околина тачке x је сваки скуп који садржи отворен скуп у којем се налази x. Систем околине на x се састоји од свих околина од x. Топологију може да одреди скуп аксиома које се тичу свих система околина.
Четири примера и два контрапримера топологија над скупом од три тачке, {1, 2, 3}. Доњи леви пример није топологија јер недостаје {2,3}, унија {2} и {3}; доњи десни пример није топологија јер недостаје {2} пресек {1,2} и {2,3}.
Специјални тополошки простори у зависности од топологије :
Тривијална топологија је топологија коју чине само произвољан скуп X и колекција = {, X} која се састоји од само два обавезна подскупа који морају да је чине по дефиницији тополошког простора, од празног и целог скупа.
Дискретна топологија је топологија која се састоји од произвољног скупа X и колекције = P(X), која је највећи могући подскуп партитивног скупа од X, тј. овде је топологија цео партитивни скуп од X.
Код бесконачних скупова, када је нпр. X = и колекција је једнака унији свих коначних подскупова целих бројева и целог скупа , овако формирани уређени пар није тополошки простор, јер није топологија, пошто постоје бесконачни скупови елемената из Х који се не налазе у .
Еквивалентне дефиниције
Осим наведене дефиниције, еквивалентни тополошки простор се може дефинисати и преко затворених скупова:
Тополошки простор је уређени пар скупа X и колекције подскупова од X који задовољавају следеће аксиоме:
Празан скуп и X су у .
Пресек сваке колекције скупова из је такође у .
унија сваког пара скупова из је такође у .
Еквивалентност дефиниција тополошког простора преко отворених и затворених скупова се добија преко де Морганових закона, када аксиоме које дефинишу отворене скупове постају аксиоме које дефинишу затворене скупове:
Над истим скупом може постојати више топологија тако да граде различите тополошке просторе.
Топологија је грубља (мања, слабија) од , односно, топологија је финија (већа, јача) од топологије ако важи да је сваки скуп из топологије истовремено садржан у топологији . Овакво поређење топологија се записује: > .
Доказ који се ослања само на постојање одређених отворених скупова ће уједно важити и на финијој топологији, и слично, доказ који се ослања само на то да одређени скупови нису отворени ће важити и на свакој грубљој топологији.
Хомеоморфизам је бијекција која је непрекидна и чији је и инверз такође непрекидан. За два простора се каже да су хомеоморфна ако постоји хомеоморфизам између њих. Са гледишта топологије, хомеоморфни простори су у суштини идентични.
^Schubert 1968, p. 13 harvnb грешка: no target: CITEREFSchubert1968 (help)
^Sutherland, W. A. (1975). Introduction to metric and topological spaces. Oxford [England]: Clarendon Press. ISBN0-19-853155-9. OCLC1679102.
^Coxeter, H.S.M. (1973) [1948]. Regular Polytopes (3rd изд.). New York: Dover. „"Schläfli ... discovered them before 1853 -- a time when Cayley, Grassman and Möbius were the only other people who had ever conceived of the possibility of geometry in more than three dimensions."”
Armstrong, M. A.; Основна топологија (Basic Topology), Springer; прво издање (1. мај, 1997). Armstrong, M. A. (мај 1997). Basic Topology. Springer. ISBN978-0-387-90839-7.CS1 одржавање: Формат датума (веза).
Bredon, Glen E., Топологија и геометрија (Topology and Geometry) (Текстови из математике, постдипломске студије), Springer; (17. октобар1997). Bredon, Glen E. (24. 6. 1993). Topology and Geometry (1st изд.). Springer. ISBN978-0-387-97926-7.CS1 одржавање: Формат датума (веза).
Fulton, William, Алгебарска топологија (Algebraic Topology), (Текстови из математике, постдипломске студије), Springer; прво издање (5. септембар, 1997). Fulton, William (5. 9. 1997). Algebraic Topology: A First Course. Springer. ISBN978-0-387-94327-5.CS1 одржавање: Формат датума (веза).
Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; прво издање (1. јун, 1968). Lipschutz, Seymour (1965). Schaum's Outline of General Topology. McGraw Hill Professional. ISBN978-0-07-037988-6..
Munkres, James; Топологија (Topology), Prentice Hall; друго издање (28. децембар, 1999). Munkres, James R. (2000). Topology. Prentice Hall, Incorporated. ISBN978-0-13-181629-9..
Runde, Volker; Укус топологије (универзитетски текст)A Taste of Topology (Universitext), Springer; прво издање (6. јул, 2005). Runde, Volker (7. 12. 2007). A Taste of Topology. Springer. ISBN978-0-387-25790-7.CS1 одржавање: Формат датума (веза).
Lawvere, F. William (децембар 1973). „Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano. 43 (1): 135—166. S2CID1845177. doi:10.1007/BF02924844.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
Smyth, M. (1987), „Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces”, Ур.: Main, M.; Melton, A.; Mislove, M.; Schmidt, D., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, Lecture Notes in Computer Science, 298, Springer-Verlag, стр. 236—253, doi:10.1007/3-540-19020-1_12