Први од ова четири услова у ствари следи из остала три, јер:
2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0.
Исправније је рећи да је ово својство метричког простора, али је у многим уџбеницима укључено у дефиницију.
Неке дефиниције захтевају да M буде непразан скуп.
Метрички простори као тополошки простори
Посматрање метричког простора као тополошког простора је толико конзистентно да се ради готово о делу дефиниције.
Око било које тачке -{x} у метричком простору M дефинишемо отворену куглу полупречника r (>0) око x као скуп
B(x; r) = {y in M : d(x,y) < r}.
Ове отворене кугле генеришу топологију на M, што га чини тополошким простором. Експлицитно, подскуп од M се назива отвореним ако је унија (коначно или бесконачно много) отворених кугли. Комплемент отвореног скупа се назива затвореним.
Како су метрички простори тополошки простори, јавља се појам непрекидне функције између метричких простора. Ова дефиниција је еквивалентна уобичајеној епсилон-делта дефиницији непрекидности (која се не односи на топологију), и такође се може директно дефинисати помоћу лимеса низова.
Дискретна метрика, где је d(x,y)=1 за све x различите од y и d(x,y)=0 у супротном, је прост али важан пример, и може се применити на све непразне скупове. Ово такође показује да се са сваким непразним скупом може повезати метрички простор.
Левенштајново растојање, (едит растојање) је мера различитости између две нискеu и v. Растојање је минимални број брисања, уметања и замене карактера, неопходних да би се ниска u трансформисала у ниску v.
Ако је M повезана Риманова многострукост, онда можемо да претровимо M у метрички простор дефинисањем раздаљине између две тачке као инфимум дужина путања (непрекидно диференцијабилних кривих) које их повезују.
Ако је Gнеусмерен повезан граф, тада скуп чворова V из G може да се претвори у метрички простор дефинисањем d(x, y) као дужине најкраћег пута који повезује чворове x и y.
Ако је дата инјективна функцијаf из било ког скупа A у метрички простор (X,d), d(f(x), f(y)) дефинише метрику на A.
Скуп свих n са mматрица над коначним пољем је метрички простор у односу на ранг дистанцу d(X,Y) = rang(Y-X).
^Reisel, Robert B. (1982). Elementary Theory of Metric Spaces: A Course in Constructing Mathematical Proofs (Universitext) (на језику: енглески) (1st изд.). ISBN978-0-387-90706-2.
^Kaplansky, Irving (1. 5. 2001). Set Theory and Metric Spaces (на језику: енглески) (2nd изд.). AMS Chelsea Publishing; American Mathematical Society. ISBN978-0-8218-2694-2.
Kaplansky, Irving (1. 5. 2001). Set Theory and Metric Spaces (на језику: енглески) (2nd изд.). AMS Chelsea Publishing; American Mathematical Society. ISBN978-0-8218-2694-2.
Reisel, Robert B. (1982). Elementary Theory of Metric Spaces: A Course in Constructing Mathematical Proofs (Universitext) (на језику: енглески) (1st изд.). ISBN978-0-387-90706-2.
Lawvere, F. William (децембар 1973). „Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano. 43 (1): 135—166. S2CID1845177. doi:10.1007/BF02924844.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
Smyth, M. (1987), „Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces”, Ур.: Main, M.; Melton, A.; Mislove, M.; Schmidt, D., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, Lecture Notes in Computer Science, 298, Springer-Verlag, стр. 236—253, doi:10.1007/3-540-19020-1_12