இடைவெளி (கணிதம்)

கணிதத்தில் ஒரு (மெய்யெண்) இடைவெளி ((real) interval) என்பது, தனது உறுப்புகளான இரு மெய்யெண்களுக்கு இடைப்பட்ட எந்தவொரு மெய்யெண்ணும் அதன் மற்றொரு உறுப்பாகவே அமைகின்ற பண்புடைய மெய்யெண்களின் கணம் ஆகும்.

சில எடுத்துக்காட்டுக்கள்:

• 0 ≤ x ≤ 1 என்னும் கட்டுப்பாட்டுக்குட்பட்ட அனைத்து x எண்களின் கணம் ஓர் இடைவெளி. இவ்விடைவெளி 0, 1 மற்றும் இவ்விரு எண்களுக்கிடையே அமையும் அனைத்து மெய்யெண்களையும் உள்ளடக்கியது.

• அனைத்து மெய்யெண்களின் கணம் ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ஓர் இடைவெளி
• அனைத்து எதிர் மெய்யெண்களின் கணம் ஓர் இடைவெளி.
• வெற்றுக்கணம் ஓர் இடை32 noவெளி.

a, b என்ற இரு எண்களுக்கிடையுள்ள எண்களின் (அவ்விரு எண்கள் உட்பட) இடைவெளியின் குறியீடு:

${\displaystyle [a,b]}$

a, b இரண்டும் இடைவெளியின் முனைப் புள்ளிகள் (ஓரப் புள்ளிகள்) எனப்படும்.

ஏதாவதொரு முனைப்புள்ளி நீங்கிய இடைவெளியைக் குறிப்பதற்கு, அந்த முனையிலுள்ள சதுர அடைப்புக்குறிக்குப் பதில் பிறை அடைப்புக்குறி பயன்படுத்தப்படுகிறது:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x<b\},\\{}[a,b)={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x<b\},\\{}(a,b]={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x\leq b\},\\{}[a,b]={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}}$

(a, a), [a, a), (a, a] ஆகிய இடைவெளிகள் வெற்றுக்கணத்தைக் குறிக்கின்றன; [a, a] இடைவெளி a எண்ணை மட்டும் கொண்டிருக்கும். a > b எனில் மேலே தரப்பட்டுள்ள நான்கு இடைவெளிகளுமே வெற்றுக் கணத்தைக் குறிக்கும்.

இடைவெளியின் இருவகையான குறியீடுகளும் கணிதத்தில் வேறுசில இடங்களில் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடுகளுடன் ஒத்ததாக அமைகின்றன.

எடுத்துக்காட்டாக,

${\displaystyle (a,b)}$

இக்குறியீடு, கணக்கோட்பாட்டில் வரிசைச் சோடிகளைக் குறிக்கிறது; பகுமுறை வடிவவியலில் ஒரு புள்ளியின் ஆயதொலைவுகளைக் குறிக்கிறது; ஒரு திசையனைக் குறிக்கிறது; மேலும் ஒரு சிக்கலெண்ணையும் குறிக்கிறது.

${\displaystyle [a,b]}$ என்பது கணினி அறிவியலில் மிகச்சில சமயங்களில் வரிசைச்சோடியைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

(a, b) இடைவெளியின் நிரப்பியைக் குறிப்பதற்கு சில கணித எழுத்தாளர்கள் ${\displaystyle ]a,b[}$ என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறார்கள். அதாவது, இது a மற்றும் அதைவிடச் சிறிய மெய்யெண்களையும், b மற்றும் அதைவிடப் பெரிய மெய்யெண்களையும் கொண்ட இடைவெளி என்பதாகும்.

இடைவெளியின் இருவிதமானக் குறியீடுகளிலும், ஒரு முனையில் வரம்பு கிடையாது என்பதைக் குறிக்க முடிவிலியைப் பயன்படுத்தலாம். அதாவது ${\displaystyle a=-\infty }$ அல்லது ${\displaystyle b=+\infty }$ (அல்லது இரண்டையுமே) பயன்படுத்தலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக,

(−∞, 0) இடைவெளி குறை மெய்யெண்கள் கணத்தியும்;

(0, +∞) இடைவெளி நேர் மெய்யெண்களின் கணத்தையும்;

(−∞, +∞) இடைவெளி அனைத்து மெய்யெண்களின் கணத்தையும் குறிக்கின்றன.

a , b என்பன இரு முழு எண்கள் எனில் அவற்றுக்கு இடையேயுள்ள முழு எண்களின் (அவை இரண்டும் உட்பட) இடைவெளியானது, [a .. b] அல்லது {a .. b}  அல்லது a .. b என சில இடங்களில் குறிக்கப்படுகிறது.

கீழ் அல்லது மேல் முனைப்புள்ளியை முடிவுறு எண்ணாகக் கொண்ட முழுஎண் இடைவெளி எப்பொழுதும் அம்முனைப்புள்ளியையும் உள்ளடக்கியதாக இருக்கும். எனவே முனைப்புள்ளிகள் சேர்க்கப்படவில்லை எனபதை எழுத வேண்டிய முறை:

a .. b − 1 , a + 1 .. b , அல்லது a + 1 .. b − 1.

[a .. b) அல்லது [a .. b[ என்னும் குறியீடுகள் முழுஎண் இடைவெளிகளுக்கு அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

முனைப்புள்ளிகளை உள்ளடக்காத இடைவெளி திறந்த இடைவெளி எனப்படும். இந்த இடைவெளியைக் குறிப்பதற்குப் பிறை அடைப்புக்குறிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு:

திறந்த இடைவெளி (0,1), 0 ஐ விட பெரிய எண்களையும் 1 ஐ விடச் சிறிய எண்களையும் கொண்டது.

முனைப்புள்ளிகளை உள்ளடக்கிய இடைவெளி மூடிய இடைவெளி எனப்படும். இந்த இடைவெளியைக் குறிப்பதற்குச் சதுர அடைப்புக்குறிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு:

மூடிய இடைவெளி [0,1], 0 மற்றும் 0 ஐ விட பெரிய எண்களையும், 1 மற்றும் 1 ஐ விடச் சிறிய எண்களையும் கொண்டது.

ஒரேயொரு மெய்யெண் மட்டும் கொண்டுள்ள ஓருறுப்புக் கணம் சிதைந்த இடைவெளி எனப்படும். சில கணித எழுத்தாளர்கள், வெற்றுக்கணத்தையும் இந்த வரையறையில் சேர்த்துக் கொள்வர்.

வெற்றாகவோ அல்லது சிதைந்ததாகவோ இல்லாத ஒரு மெய்யெண் இடைவெளி, தகு இடைவெளி எனப்படும். இந்த இடைவெளி, முடிவுறா எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.

ஓர் இடைவெளியின் எல்லா உறுப்புகளையும் விடச் சிறியதான ஒரு மெய்யெண் இருக்குமாயின் அந்த இடைவெளி இடது-வரம்புடைய இடைவெளி (left-bounded) என்றும், மாறாக எல்லா உறுப்புகளையும் விடப் பெரியதான ஒரு மெய்யெண் இருக்குமாயின் அந்த இடைவெளி வலது-வரம்புடைய இடைவெளி (right-bounded) என்றும் அழைக்கப்படும்.

ஓர் இடைவெளி இடது வரம்புடைய இடைவெளியாகவும், வலது-வரம்புடைய இடைவெளியாகவும் இருந்தால் அது வரம்புடைய இடைவெளி (bounded) எனப்படும். இல்லையெனில் அது வரம்பில்லாத இடைவெளி எனப்படும். பொதுவாக, வரம்புடைய இடைவெளிகள் முடிவுறு இடைவெளிகள் எனவும் அழைக்கப்படும்.

வரம்புடைய இடைவெளிகளின் விட்டங்கள் (முனைப்புள்ளிகளின் வித்தியாசத்தின் தனி மதிப்பு) முடிவுறு மதிப்புகளாக இருக்கும். இந்த மதிப்பு, அந்த இடைவெளியின் நீளம் அல்லது அகலம் அல்லது அளவை எனப்படும்.

வரம்பில்லா இடைவெளிகளின் நீளம் +∞; வெற்று இடைவெளியின் நீளம் 0 அல்லது வரையறுக்காததாகக் கொள்ளப்படும்..

a  , b ஐ முனைப்புள்ளிகளாக உடைய வரம்புடைய இடைவெளியின் மையம் (a + b)/2; அதன் ஆரம் |a − b|/2. வரம்பில்லா இடைவெளிகளுக்கும் வெற்று இடைவெளிகளுக்கும் மையமோ ஆரமோ வரையறுக்கப்படவில்லை.

கீழே தரப்பட்டுள்ளவாறு மெய்யெண் இடைவெளிகளை பதினோரு வகைகளாகப் பிரிக்கலாம்.

a , b மெய்யெண்கள்; ${\displaystyle a<b}$:

வெற்று இடைவெளி: ${\displaystyle [b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\{\}=\emptyset }$

சிதைந்த இடைவெளி: ${\displaystyle [a,a]=\{a\}}$

தகு மற்றும் வரம்புடைய இடைவெளி:

திறந்த இடைவெளி: ${\displaystyle (a,b)=\{x\,|\,a<x<b\}}$

மூடிய இடைவெளி: ${\displaystyle [a,b]=\{x\,|\,a\leq x\leq b\}}$

இடது-மூடிய, வலது-திறந்த இடைவெளி: ${\displaystyle [a,b)=\{x\,|\,a\,\leq x<b\}}$

இடது-திறந்த, வலது-மூடிய: ${\displaystyle (a,b]=\{x\,|\,a<x\leq b\}}$

இடது-வரம்புடைய மற்றும் வலது-வரம்பில்லா இடைவெளி:

இடது-திறந்த இடைவெளி: ${\displaystyle (a,\infty )=\{x\,|\,x>a\}}$

இடது-மூடிய இடைவெளி: ${\displaystyle [a,\infty )=\{x\,|\,x\geq a\}}$

இடது-வரம்பில்லாத மற்றும் வலது வரம்புடைய இடைவெளி:

வலது-திறந்த இடைவெளி: ${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\,|\,x<b\}}$

வலது-மூடிய இடைவெளி: ${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\,|\,x\leq b\}}$

இருமுனைகளிலும் வரம்பில்லாத இடைவெளி: ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )=\mathbb {R} }$

சில சூழ்நிலைகளில் இடைவெளிகளை நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோட்டின் உட்கணங்களாக வரயறுக்கலாம். −∞, +∞ இரண்டையும் சேர்த்து விரிவுபடுத்தப்பட்ட மெய்யெண்கோடு நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண்கோடு எனப்படுகிறது.

[−∞, b]  , [−∞, b)  , [a, +∞]  , (a, +∞]

ஆகிய குறியீடுகள் இவ்விளக்கத்தால் பொருளுள்ளவையாகவும் வெவ்வேறானவையாகவும் இருக்கும். குறிப்பாக,

• (−∞, +∞)

, சாதாரண மெய்யெண் கோட்டையும்

• [−∞, +∞]

,நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோட்டையும் குறிக்கும்.

இடைவெளிகளை நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோட்டின் உட்கணங்களாகக் கருதுவதால் மேலேயுள்ள வரையறைகளிலும் பெயர்களிலும் குழப்பங்கள் ஏற்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக (−∞, +∞)  = ${\displaystyle \mathbb {R} }$ என்ற இடைவெளி சாதாரண மெய்யெண்கோட்டில் மூடிய இடைவெளியாகவும், நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண்கோட்டில் திறந்த இடைவெளியாகவும் இருக்கும்.

• ஓர் இடைவெளிக்கு, தொடர்ச்சியான சார்பினால் கிடைக்கக்கூடிய எதிருருவும் ஒரு இடைவெளியாகவே அமையும்.
• இடைவெளிகள் ${\displaystyle \mathbb {R} }$ இன் குவிவுக் கணங்களாகும்.
• எத்தனை இடைவெளிகளை எடுத்துக்கொண்டாலும் அவற்றின் வெட்டு ஓர் இடைவெளியாகும்;

இரு இடைவெளிகளின் வெட்டு வெற்றுக்கணமாக இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அவற்றின் ஒன்றிப்பு ஓர் இடைவெளியாக இருக்கும்.

அதாவது, ஒரு இடைவெளியின் திறந்த முனை மற்றொரு இடைவெளியின் மூடிய முனையாக இருக்க வேண்டும்.

${\displaystyle (a,b)\cup [b,c]=(a,c]}$.

• இடைவெளி ${\displaystyle I}$இன் ஓர் உறுப்பு x அவ்விடைவெளியை மூன்று பொது உறுப்புகள் இல்லாத இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கும்:
• ${\displaystyle I_{1}}$ = x ஐ விடச் சிறியதான உறுப்புகள் கொண்ட இடைவெளி
• ${\displaystyle I_{2}=[x,x]=\{x\}}$ இடைவெளி
• ${\displaystyle I_{3}}$ = x ஐ விடப் பெரியதான உறுப்புகள் கொண்ட இடைவெளி

 x, ${\displaystyle I}$ இன் உட்புறத்தில் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இடைவெளிகள் ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{3}}$இரண்டும் வெற்றற்றவையாக இருக்க முடியும்.

${\displaystyle n}$-பரிமாண இடைவெளி என்பது ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ இன் ஓர் உட்கணமாகும்.

இவ்விடைவெளி, ${\displaystyle n}$ ஆய அச்சுக்கள் ஒவ்வொன்றின் மீதமையும் ${\displaystyle I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$ இடைவெளிகளின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனாக இருக்கும்.

${\displaystyle n=2}$ எனில் இந்த இரு பரிமாண இடைவெளி, ஆய அச்சுக்களுக்கு இணையான பக்கங்களைக் கொண்ட செவ்வகம். :${\displaystyle n=3}$ எனில் இந்த முப்பரிமாண இடைவெளி, ஆய அச்சுக்களை பக்கங்களாகக் கொண்ட செவ்வகப் பெட்டி.

சிக்கலெண் தளத்தின் பகுதிகளாக சிக்கலெண்களின் இடைவெளிகளை வரையறுக்கலாம். இவை செவ்வகங்களாகவோ வட்டத் தகடுகளாகவோ இருக்கும்.^[1]

• T. Sunaga, [https://web.archive.org/web/20120309164347/http://www.cs.utep.edu/interval-comp/sunaga.pdf பரணிடப்பட்டது 2012-03-09 at the வந்தவழி இயந்திரம் "Theory of interval algebra and its application to numerical analysis"], In: Research Association of Applied Geometry (RAAG) Memoirs, Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Tokyo, Japan, 1958, Vol. 2, pp. 29–46 (547-564); reprinted in Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009, Vol. 26, No. 2-3, pp. 126–143.

• A Lucid Interval by Brian Hayes: An American Scientist article provides an introduction.
• [https://web.archive.org/web/20100208214225/http://id.mind.net/~zona/mmts/miscellaneousMath/intervalNotation/intervalNotation.html பரணிடப்பட்டது 2010-02-08 at the வந்தவழி இயந்திரம் Interval Notation Basics]
• [https://web.archive.org/web/20060302095039/http://www.cs.utep.edu/interval-comp/main.html பரணிடப்பட்டது 2006-03-02 at the வந்தவழி இயந்திரம் Interval computations website]
• [https://web.archive.org/web/20070203144604/http://www.cs.utep.edu/interval-comp/icompwww.html பரணிடப்பட்டது 2007-02-03 at the வந்தவழி இயந்திரம் Interval computations research centers]
• Interval Notation by George Beck, Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W., "Interval", MathWorld.