பகுமுறை வடிவவியல்

பகுமுறை வடிவவியல் (Analytic geometry அல்லது analytical geometry) "நவீன மேம்பட்ட" மற்றும் "மரபு சார்ந்த அடிப்படையான" என இருவிதமாக அமைந்துள்ளது. இக்கட்டுரை மரபு சார்ந்த அடிப்படையான பகுமுறை வடிவவியலையே தருகிறது. பகுமுறை வடிவவியல் ஆள்கூற்று வடிவவியல் (coordinate geometry) அல்லது கார்ட்டீசியன் வடிவவியல் (Cartesian geometry) எனவும் அழைக்கப்படும். பகுமுறை வடிவவியலானது வடிவவியலின் கருத்துருக்களை ஆள்கூற்று முறைமை, இயற்கணிதக் கொள்கைகள் மற்றும் பகுவியலைப் பயன்படுத்தி விளக்க முற்படுகிறது.

யூக்ளிடியன் வடிவவியல் சில வடிவவியல் கருத்துக்களை அடிப்படையாக எடுத்துக் கொண்டு, மற்றக் கருத்துக்களை அடிக்கோள்கள் மற்றும் தேற்றகள் மூலமாக ஊகிக்கும் முறையில் உண்மையென நிறுவ முற்படுகிறது. ஆனால் பகுமுறை வடிவவியல் யூக்ளிடியன் வடிவவியலில் இருந்து மாறுபட்டுள்ளது. பகுமுறை வடிவவியல் பரவலாக இயற்பியலிலும் பொறியியலிலும் பயன்பாடு கொண்டுள்ளது. இயற்கணித வடிவவியல், வகையீட்டு வடிவவியல், தனிநிலை வடிவவியல் மற்றும் கணிப்பிய வடிவவியல் போன்ற பெரும்பாலான வடிவவியலின் நவீன கிளைப்பிரிவுகளுக்கு அடிப்படையாகவும் பகுமுறை வடிவவியல் விளங்குகிறது.

வழக்கமாக கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையானது தளங்கள், கோடுகள், சதுரங்கள், வட்டங்கள், கோளங்கள்... போன்ற இருபரிமாண மற்றும் முப்பரிமாண வடிவங்களுக்குச் சமன்பாடுகள் காணப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதில் இருபரிமாண மற்றும் முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் தளங்கள் வடிவவியல் ரீதியாக அறியப்படுகிறது.

பள்ளிப்பாடப் புத்தகங்களில் தரப்பட்டுளதுபோல பகுமுறை வடிவவியலுக்கு எளிதான விளக்கத்தைத் தரலாம்: பகுமுறை வடிவவியலானது, வடிவவியல் வடிவங்களை எண்முறையில் வரையறுக்கவும் குறிப்பிடவும் பயன்படுகிறது. மேலும் இந்த எண்முறையின வரையறை மற்றும் குறிப்பீடுகளைக் கொண்டு அந்த வடிவங்களைப் பற்றிய எண்முறையின விவரங்களை அறிந்து கொள்ளவும் பயன்படுகிறது. இந்த விவரம் ஒரு திசையன் அல்லது ஒரு வடிவவியல் வடிவமாக அமையலாம்.

பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர் மேனெக்ம்ஸ் (Menaechmus) கணக்குகளையும் தேற்றங்களையும் தீர்ப்பதற்குப் பயன்படுத்திய முறை ஆள்கூறுகளைப் பயன்படுத்தும் முறையைப் போன்று அமைந்துள்ளது. ஆள்கூறுகள் பயன்பாட்டுக்கும் இம்முறைக்கும் இடையேயுள்ள நெருங்கிய ஒற்றுமை இவர்தான் பகுமுறை வடிவவியலிலை அறிமுகப்படுத்தியவராக இருக்க வேண்டும் என்ற எண்ணைத்தினைத் தோற்றுவிப்பதாகவும் உள்ளது.^[1]

பெர்காவின் அப்பலோனியஸ் கையாண்ட கணக்குகள், ஒரு பரிமாண பகுமுறை வடிவவியலை ஒத்துள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, அவர் கையாண்ட ஒரு கோட்டின் மீது மற்ற புள்ளிகளோடு குறிப்பிட்ட விகிதத்தில் அமையும் புள்ளிகளைக் காணும் கணக்கினைக் கொள்ளலாம்.^[2] அப்பலோனியஸ் தனது படைப்பான Conics இல் பகுமுறை வடிவவியலைப் போலுள்ள ஒரு முறையைப் பயன்படுத்தியுள்ளார். இது டெக்கார்ட் அறிமுகப்படுத்திய பகுமுறை வடிவவியலுக்கு, 1800 ஆண்டுகளுக்கு முந்தைய முன்னோடியாக அமைந்துள்ளது. அப்போலோனியஸ் ஆதாரக் கோடுகளாக எடுத்துக்கொண்ட ஒரு விட்டம் மற்றும் தொடுகோடு இரண்டும் நாம் தற்போது பயன்படுத்தும் ஆள்கூற்று அச்சுகளுகளை ஒத்துள்ளன. தொடுபுள்ளியிலிருந்து விட்டத்தின் போக்கில் அளக்கப்படும் தூரம் கிடைமட்டத்தூரத்தையும் அச்சுக்கும் வளைவரைக்கும் இடைப்பட்ட, தொடுகோட்டுக்கு இணையாக அமையும் பகுதி நிலைக்குத்துத் தூரத்தையும் ஒத்துள்ளன. இவர் மேலும் கண்டறிந்த இந்த கிடைமட்டத் தூரத்திற்கும் நிலைக்குத்து தூரத்திற்கும் இடையேயுள்ள தொடர்புகள் வளைவரைகளின் சமன்பாடுகளின் முன்னோடியாக அமைகின்றன. அப்பலோனியசின் முறைகள் பின்னால் நெறிமுறைப்படுத்தப்பட்ட பகுமுறை வடிவவியலுக்கு மிகவும் நெருக்கமானதாக ஒத்து அமைந்தாலும் அவர் எதிர் மதிப்பு அளவுகளை (negative magnitudes) கருத்தில் எடுத்துக் கொள்ளாததால் அவர் பயன்படுத்திய முறை முழுமையான பகுமுறை வடிவவியலாக அமையவில்லை.^[3]

11 நூற்றாண்டின் பாரசீகக் கணிதவியலாளர் உமர் கயாம், வடிவவியலுக்கும் இயற்கணிதத்திற்கும் இடையே ஒரு நெருங்கிய தொடர்புள்ளதைக் கண்டறிந்தார். அவ்வழியில் தனது செயற்பாடுகளை அமைத்து அவர் கண்டுபிடித்த முப்படியச் சமன்பாடுகளுக்கான வடிவவியல் தீர்வுகள், எண் இயற்கணிதத்திற்கும் வடிவவியலுக்குமிடையே உள்ள தூரத்தைக் குறைத்தது.^[4][5] எனினும் பகுமுறை வடிவவியலுக்கான முறையான அடித்தளமிட்டது டெக்கார்ட்ட் தான்.^[4]

வழக்கமாக பகுமுறை வடிவவியல் டெக்கார்ட்டால் உருவாக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது.^[4][6][7] டெக்கார்ட் தனது La Geometrie (வடிவவியல்) கட்டுரையில் பகுமுறை வடிவவியல் முறைகளைப் பற்றிய விவரங்களை மேம்படத் தந்துள்ளார். Discourse on the Method for Rightly Directing One's Reason and Searching for Truth in the Sciences (பொதுவாக அழைக்கப்படும் பெயர்:Discourse on Method) என்ற படைப்புடன் சேர்ந்த இணைப்பாக 1637 இல் வெளியான மூன்று கட்டுரைகளில் இதுவும் ஒன்று. இது பிரெஞ்சு மொழியில் வெளியிடப்பட்டிருந்தது. ஆரம்பத்தில் சரியான வரவேற்பைப் பெறவில்லை. 1649 இல் லத்தீனில் வான் ஸ்கூட்டன் என்பவரின் விளக்கங்களுடனும் விமரிசனங்களுடன் வெளியான பின்னர் டெக்கார்ட்டின் படைப்புக்கு அங்கீகாரம் கிடைத்தது.^[8]

பகுமுறை வடிவவியலின் மேம்பாட்டில் கணிதவியலாளர் பெர்மாவின் பங்கும் குறிப்பிடத்தக்கது. இவர் உயிரோடு இருந்த போது அறியப்படாமல் இருந்தாலும்,டெக்கார்ட்டின் Discourse on Method வெளியிடப்படுவதற்கு முன்பாக இவரது Ad locos planos et solidos isagoge (Introduction to Plane and Solid Loci)[ இன் கையெழுத்துப் பிரதி 1637 இல் பாரிசு நகரில் புழக்கத்தில் இருந்தது.^[9] தெளிவாகவும் பிறரால் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டதுமான இந்தப் படைப்பே பகுமுறை வடிவவியல் உருவாவதற்கு அடிகோலியது. பெர்மா ஓர் இயற்கணிதச் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொண்டு அச்சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் வளைவரையை விளக்கினார்; ஆனால் டெக்கார்ட் ஒரு வளைவரையை எடுத்துக்கொண்டு அவற்றுக்குரிய இயற்கணிதச் சமன்பாட்டை அவ்வளைவரையின் பல பண்புகளில் ஒன்றாகத் தந்துள்ளார். இதுவே பெர்மா மற்றும் டெக்கார்ட்டஸ் இருவரின் அணுகுமுறைகளிலும் இருந்த அடிப்படை வேறுபாடாகும்.^[8] டெக்கார்ட்டின் இந்த அணுகு முறையால் அவர் மிகவும் சிக்கலான சமன்பாடுகளையும் உயர் படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகளையும் எதிர்கொள்ள வேண்டியிருந்தது.

பகுமுறை வடிவவியலில் யூக்ளிய தளத்திற்கு ஒரு ஆள்கூற்று முறைமை தரப்படுகிறது. இதன்படி அத்தளத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் அதன் ஆள்கூறுகள் அல்லது அச்சுதூரங்கள் அல்லது ஆயதொலைவுகள் எனப்படும் ஒரு சோடி மெய்யெண்கள் தரப்படுகின்றன. ஆள்கூற்று முறைமைகளிலேயே அதிகமாக வழக்கத்தில் உள்ள முறைமை கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை ஆகும். கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில் ஒரு புள்ளியின் கிடைமட்ட நிலையைக் குறிக்கும் x அச்சுதூரம் அல்லது ஆய தொலைவும் அதன் நிலைக்குத்து நிலையைக் குறிக்கும் y அச்சுத் தூரம் அல்லது ஆய தொலைவும் தரப்படுகின்றன. இந்த இரு அச்சுதூரங்களும் (x, y) என்ற வரிசைச் சோடியால் தரப்படுகின்றன. இம்முறைமையை முப்பரிமாணத்தில் யூக்ளிடிய தளத்திற்கு நீட்டிக்கலாம். யூக்ளிடிய தளத்தில் ஒவ்வொரு புள்ளியும் (x, y, z) என்ற வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்று மெய்யெண்களால் குறிக்கப்படுகின்றன.

பிற ஆள்கூற்று முறைமைகள்:

• போலார் ஆயதொலைவுகள்
• உருளை ஆயதொலைவுகள்
• கோள ஆயதொலைவுகள்

பகுமுறை வடிவவியலில் ஆள்கூறுகளில் அமைந்த ஒரு சமன்பாடு அத்தளத்தின் ஒரு உட்கணத்தைக் குறிக்கும். அந்த உட்கணம் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு y = x என்பது x-ஆள்கூறு மற்றும் y-ஆள்கூறு இரண்டும் சமமாக உள்ள புள்ளிகளின் கணத்தைக் குறிக்கும். இப்புள்ளிகள் அனைத்தும் ஒரு நேர்கோட்டின் மீது அமையும். அக்கோட்டின் சமன்பாடு y = x ஆகும். பொதுவாக x மற்றும் y இல் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகள் கோடுகளையும், இருபடிச் சமன்பாடுகள் கூம்பு வெட்டுகளையும் மற்றும் மேலும் சிக்கலான சமன்பாடுகள் சிக்கலான வளைவரைகளையும் குறிக்கும்.

வழக்கமாக, ஒரு சமன்பாடு ஒரு தளத்தில் அமைந்த ஒரு வளைவரையைக் குறிக்கிறது. இதற்கு விதிவிலக்காக அமையும் சிற்சில எடுத்துக்காட்டுகளும் உள்ளன. x = x என்ற சமன்பாடு முழுத் தளத்தையும் x² + y² = 0 என்ற சமன்பாடு (0, 0) என்ற புள்ளியை மட்டுமே குறிக்கின்றன.

முப்பரிமாணத்தில் ஒரு சமன்பாடு ஒரு பரப்பைக் குறிக்கும். ஒரு வளைவரையானது இரு பரப்புகளின் வெட்டுப்பகுதியாக அமையும். சமன்பாடு x² + y² = r², அலகு ஆரமுள்ள வட்டத்தைக் குறிக்கும்.

பகுமுறை வடிவவியலில் தொலைவு மற்றும் கோணம் போன்ற வடிவவியல் அடிப்படைக் கருத்துருக்கள் வாய்ப்பாடுகள் மூலம் வரையறுக்கப்படுகின்றன. இவ்வாய்ப்பாடுகள் யூக்ளிடிய வடிவவியலோடு ஒத்தவாறு வடிவமைக்கப்ப்ட்டுள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு:

கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்றுகளைப் பயன்படுத்தி தளத்தில் அமையும் இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம்:

புள்ளிகள்: (x₁, y₁) மற்றும் (x₂, y₂)

தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},\!}$ இது பித்தகோரசின் தேற்ற முடிவைப் போன்று அமையும்.

இதேபோல் ஒரு கோடானது ஒரு கிடைமட்டத்தோடு உண்டாக்கும் கோணம்:

வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle \theta =\arctan(m)\!}$

இங்கு m நேர்கோட்டின் சாய்வு.

பகுமுறை வடிவவியலில் ஒரு கோட்டின் பகுதியை வாய்ப்பாட்டின் மூலம் தரலாம்.

ஒரு கோட்டுத் துண்டைக் குறிப்பிட்ட விகிதத்தில் பிரிக்கும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகள்:

எடுத்துக்கொண்ட கோட்டின் ஒரு துண்டின் இரு முனைகள்: (c,d) மற்றும் (e,f)

பிரிக்கப்படும் விகிதம்: m:n

பிரிக்கும் புள்ளி S இன் ஆள்கூறுகளின் வாய்ப்பாடு:

S(a,b) = (nc+me/m+n, nd+mf/m+n)

இப்பகுதியில் xy-தளம் மட்டுமே எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டாலும் உயர்பரிமாணங்களுக்கும் இக்கருத்தினை நீட்டிக்கலாம். இரு வடிவவியல் பொருட்கள் P(x,y) மற்றும் Q(x,y) இரண்டின் வெட்டுப்பகுதி என்பது இரண்டுக்கும் பொதுவான அனைத்துப் புள்ளிகளைக் கொண்டதாகும்.

எடுத்துக்காட்டு:

• P, ஆரம் 1 அலகும் மையம் (0,0) உடைய வட்டம்:

P = {(x,y) | x²+y²=1}

• Q ஆரம் 1 அலகும் மையம் (1,0) உடைய வட்டம்:

Q = {(x,y) | (x-1)²+y²=1}.

இவ்விரண்டின் வெட்டுப்பகுதி என்பது இவ்விரண்டு சமன்பாடுகளையும் மெய்ப்படுத்தும் புள்ளிகள் அடங்கிய கணமாகும்.

புள்ளி (0,0) இரு சமன்பாடுகளையும் மெய்ப்படுத்துமா எனக் காணலாம்:

Q இல் (0,0) என (x,y) -க்குப் பதில் பிரதியிட:

(0-1)²+0²=1 அல்லது (-1)²=1 இது மெய்யாகும். எனவே (0,0), Q குறிப்பிடும் வட்டத்தின் மீது அமையும் ஓர் புள்ளி.

P இல் (0,0) என (x,y) -க்குப் பதில் பிரதியிட:

(0)²+0²=1

0=1 இது மெய்யல்ல. எனவே (0,0), P வட்டத்தின் மீது அமையும் புள்ளி அல்ல.

ஆகவே (0,0), இவ்விரண்டு வட்டங்களுக்கும் பொதுவான புள்ளி அல்ல, அது வட்டங்களின் வெட்டுப்பகுதியில் அமையாது.

P மற்றும் Q இரண்டின் வெட்டுப்பகுதியை அவற்றின் சமன்பாடுகளை ஒருங்கே தீர்ப்பதன் மூலம் காணலாம்:

x²+y² = 1

(x-1)²+y² = 1

இவ்விரு சமன்பாடுகளையும் பிரதியிடல் முறை மற்றும் நீக்கல் முறை என இருமுறைகளில் தீர்க்கலாம்.

பிரதியிடல் முறை:

முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து y இன் மதிப்பை x மூலமாக கண்டுபிடித்துக் கொண்டு அந்த மதிப்பை இரண்டாவது சமன்பாட்டிலுள்ள y இல் பிரதியிட வேண்டும்:

முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து:

x²+y² = 1

y²=1-x²

இதனை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் பிரதியிட:

(x-1)²+(1-x²)=1

x² -2x +1 +1 -x² =1

-2x = -1

x=½

இந்த x இன் மதிப்பை இரண்டில் ஏதாவதொரு மூலச்சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு y இன் மதிப்பைக் காணலாம்.:

½²+y² = 1

y² = ¾

${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}}$

எனவே வெட்டுப்பகுதியில் அமையும் புள்ளிகள்:

${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;\mathrm {and} \;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right)}$

நீக்கல் முறை:

ஒரு சமன்பாட்டின் மடங்கினை மற்றொரு சமன்பாட்டுடன் கூட்டியோ அல்லது கழித்தோ ஏதாவது ஒரு மாறியை நீக்க வேண்டும்.

இந்த எடுத்துக்காட்டில் முதல் சமன்பாட்டை இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்க:

(x-1)²-x²=0

முதல் சமன்பாட்டின் y² உறுப்பு இரண்டாவது சமன்பாட்டின் y² உறுப்பிலிருந்து கழிக்கப்பட்டு y உறுப்பே இல்லாமல் நீக்கப்பட்டு விட்டது.

இதன் பிறகு மீதமுள்ள சமன்பாட்டிலிருந்து x இன் மதிப்பு காண வேண்டும்:

x² -2x +1 +1 -x² =1

-2x = -1

x=½

இந்த மதிப்பை இரண்டில் ஏதேனும் ஒரு சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு y இன் மதிப்பைக் காணலாம்:

½²+y² = 1

y² = ¾

${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}}$

எனவே இரண்டு வட்டங்களும் வெட்டும் புள்ளிகள்:

${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;\mathrm {and} \;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right)}$

கூம்பு வெட்டுகளுக்கு நான்கு வெட்டுப்புள்ளிகள் வரை அமையலாம்.

வெட்டுக்களில் முக்கியமானவையாகக் கருதப்படுபவை ஒரு வடிவவியல் பொருள் x மற்றும் y அச்சுக்களோடு உண்டாக்கும் வெட்டுப்பகுதிகளாகும். இவை முறையே x -வெட்டுத்துண்டு மற்றும் y -வெட்டுத்துண்டு என அழைக்கப்படுகின்றன.

வடிவவியல் பொருளுக்கும் y-அச்சுக்கும் உள்ள வெட்டுப்பகுதி y-வெட்டுத்துண்டு எனப்படும்.

வடிவவியல் பொருளுக்கும் x-அச்சுக்கும் உள்ள வெட்டுப்பகுதி x-வெட்டுத்துண்டு எனப்படும்.

நேர்கோடு y=mx+b இல், b என்பது கோடு y அச்சை சந்திக்கும் புள்ளியைத் தரும். சந்தர்ப்பத்தைப் பொறுத்து b அல்லது (0,b) y-வெட்டுத்துண்டு எனப்படும்.

பகுமுறை வடிவவியலின் முக்கிய கருப்பொருள்கள்:

• திசையன் வெளி
• தளத்தின் வரையறை
• தொலைவு கணக்குகள்
• புள்ளிப் பெருக்கம்-இரு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் காணல்
• குறுக்குப் பெருக்கம்-இரு திசையன்களுக்குச் செங்குத்தான திசையன் காணல்
• கணங்களின் வெட்டு-கணக்குகள்
• கூம்பு வெட்டுகள்

மேலே தரப்பட்டுள்ளவற்றில் பெரும்பாலானவை நேரியல் இயற்கணிதத்தைக் கொண்டவை.

• Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd Ed.), Reading: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1

• Coordinate Geometry topics with interactive animations