கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன்

கணிதத்தில் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் அல்லது கார்டீசியன் பெருக்கற்பலன் (cartesian product) என்பது இரு கணங்களின் நேர்ப்பெருக்கலாகும். பிரெஞ்ச் மெய்யியலாளரும் கணிதவியலாளருமான ரெனே டேக்கார்ட் உருவாக்கிய பகுமுறை வடிவவியலில் இருந்து தோன்றியதால் அவர் நினைவாக இக்கருத்தாக்கத்திற்குக் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் எனப் பெயரிடப்பட்டள்ளது.^[1]

கணம் ${\displaystyle A}$ மற்றும் கணம் ${\displaystyle B}$ என்ற இருகணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலின் குறியீடு ${\displaystyle A\times B}$ ஆகும். இந்தக் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலானது வரிசைச் சோடிகளாலான (வரிசை இருமங்கள்) கணமாக அமையும். இக்கணத்திலுள்ள வரிசைச் சோடிகளின் முதல் உறுப்பு ${\displaystyle A}$ கணத்தின் உறுப்பாகவும் இரண்டாவது உறுப்பு ${\displaystyle B}$ கணத்தின் உறுப்பாகவும் அமையும்.

a ∈ A, b ∈ B எனில் கணக் கட்டமைப்பு முறையில் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் கீழுள்ளவாறு அமையும்:

${\displaystyle A\times B=\{\,(a,b)\mid a\in A\ {\mbox{ and }}\ b\in B\,\}.}$^[2]

• வழக்கமாக விளையாடும் சீட்டுக்கட்டில் (ஜோக்கர் நீங்கலாக)

13உறுப்புகள் கொண்ட தரவரிசை கணம்: {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}

நான்கு உறுப்புகள் கொண்ட சீட்டுத்தொகுதி கணம்: {♠, ♥, ♦, ♣}

இவற்றின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் 52 (13x4) வரிசைச்சோடிகள் கொண்ட கணமாகும்:

{(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)}

கணங்களின் வரிசையை மாற்றி கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் காண:

{(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

இருவிதமாக காணப்பட்ட கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன்கள் ஒவ்வொன்றும் 52 உறுப்புகள் கொண்டிருக்கும். எனவே அவை சமான கணங்களாகும். ஆனால் அக்கணங்களின் உறுப்புகள் சமம் அல்ல. ஒரு வரிசைச்சோடியில் உறுப்புகளின் வரிசை மாறினால் அது வேறொரு வரிசைச்சோடியாகி விடும். (A, ♠) ,(♠, A) இரண்டும் சமமல்ல. ஆனால் ஒரு கணத்திலுள்ள உறுப்புகளை எப்படி வேண்டுமானாலும் வரிசையை மாற்றி எழுதலாம்.

${\displaystyle \{{\text{1,2,3}}\}}$ = ${\displaystyle \{{\text{2,1,3}}\}}$ = ${\displaystyle \{{\text{3,1,2}}\}}$ = ${\displaystyle \{{\text{1,3,2}}\}}$ =${\displaystyle \{{\text{2,3,1}}\}}$ = ${\displaystyle \{{\text{3,2,1}}\}}$

• கணம் X = x அச்சின் மீதமையும் புள்ளிகள்; கணம் Y = y அச்சின் மீதமையும் புள்ளிகள் எனில்:

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y)|x\in X\ {\text{and}}\ y\in Y\}.}$ அதாவது x-y தளம் முழுவதையும் குறிக்கும்.^[2]

இரு முடிவுறுகணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலை ஒரு அட்டவணை மூலமாகவும் குறிக்கலாம். ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளை அட்டவணையின் தலைப்பு நிரையிலும் (row) இன்னொரு கணத்தின் உறுப்புகளை அட்டவணையின் தலைப்பு நிரலிலும் (column) எழுதினால் அட்டவணையின் உட்கட்டங்களில் அமையும் வரிசைச்சோடிகள் அவ்விருகணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் கணத்தின் உறுப்புகளாக அமையும்.

${\displaystyle A}$ = ${\displaystyle \{{\text{a,b}}\}}$

${\displaystyle B}$ = ${\displaystyle \{{\text{1,2,3}}\}}$

${\displaystyle A\times B}$

${\displaystyle B\times A}$

${\displaystyle A,B,C}$, மற்றும் ${\displaystyle D}$ ஆகியவை நான்கு கணங்கள் என்க.

• வெவ்வேறு இருகணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலுக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு கிடையாது. ஆனால் இருகணங்களில் ஒன்று வெற்று கணமாகவோ அல்லது இரு கணங்களும் சமகணங்களாகவோ இருந்தால் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலுக்கு பரிமாற்றுப் பண்பு உண்டு.

${\displaystyle A\times B\neq B\times A}$

எடுத்துக்காட்டாக,

${\displaystyle \{{\text{1,2}}\}}$x ${\displaystyle \{{\text{3,4}}\}}$= ${\displaystyle \{{\text{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}}\}}$

${\displaystyle \{{\text{3,4}}\}}$x ${\displaystyle \{{\text{1,2}}\}}$= ${\displaystyle \{{\text{(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}}\}}$

இவ்விரு கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் கணங்களும் சமமானவையல்ல.

• ${\displaystyle A\times \emptyset =\emptyset \times A=\emptyset }$
• G,T என்பவை இரு சமகணங்கள் எனில் (G=T)

${\displaystyle G\times T=T\times G}$

• கார்ட்டிசியன் பெருக்கலுக்குக் சேர்ப்புப் பண்பு கிடையாது.

${\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}$

மேலும் கணங்களின் வெட்டு, ஒன்றிப்புச் செயல்களைப் பொறுத்து பின்வரும் பண்புகள் உண்மையாகும்.

${\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}$

${\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)}$

${\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}$

${\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C).}$

கார்ட்டீசியன் பெருக்கலை இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட கணங்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.

இரண்டு கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் வரிசைச்சோடிகளைக் கொண்டிருப்பது போல மூன்று கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் மும்மைகளை உறுப்புகளாகக் கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle A}$ = ${\displaystyle \{{\text{1, 2 , 3}}\}}$

${\displaystyle B}$ = ${\displaystyle \{{\text{a, b}}\}}$

${\displaystyle C}$ = ${\displaystyle \{{\alpha ,\beta }\}}$ எனில்,

${\displaystyle (A\times B)\times C}$ =${\displaystyle {\{(1,a,\alpha ),(1,b,\alpha ),(2,a,\alpha ),(2,b,\alpha ),(3,a,\alpha ),(3,b,\alpha )(1,,a,\beta ),(1,b,\beta ),(2,a,\beta ),(2,b,\beta ),(3,a,\beta ),(3,b,\beta )\}}}$

4 கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் நான்மைகளை உறுப்புகளாகக் கொண்டிருக்கும். பொதுவாக X₁, ..., X_n என்ற n கணங்களின் கார்ட்டிசியன் பெருக்கல்:

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in X_{i}\}}$

இது ஒரு n உறுப்புகள் கொண்ட n-டப்பிள்களின் (tuples) கணமாகும். டப்பிள்கள் உட்பொதிவுள்ள வரிசைச்சோடிகளாக வரையறுக்கப்படும்போது மேற்கண்ட கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனை

${\displaystyle (X_{1}\times \cdots \times X_{(}n-1)),\times X_{n}}$ என எழுதலாம்.

${\displaystyle X}$ கணத்தின் கார்ட்டீசியன் வர்க்கம் அல்லது இருமை கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் (cartesian square or binary cartesiyan product):

${\displaystyle X^{2}=X\times X}$ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு: R என்பது மெய்யெண்களின் கணம், x , y மெய்யெண்கள் எனில், இருபரிமாண மெய்யெண் தளம் R² ஒரு கார்ட்டீசியன் வர்க்கமாகும்.

R² = R × R = அனைத்து (x, y) புள்ளிகள்.

கார்ட்டீசியன் அடுக்கு

${\displaystyle X}$ கணத்தின் கார்ட்டீசியன் அடுக்கினைப் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்.

${\displaystyle X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} _{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{i}\in X\ {\text{for all}}\ 1\leq i\leq n\}.}$

எடுத்துக்காட்டு: R -மெய்யெண்கள் கணத்தின் கார்ட்டீசியன் அடுக்கு:

R³ = R × R × R

பொதுவாக, Rⁿ = R × R × R × ...n தடவைகள்.

${\displaystyle X}$ கணத்தின் கார்ட்டீசியன் n அடுக்கானது, n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணத்திலிருந்து, ${\displaystyle X}$ கணத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட சார்புகளின் வெளிக்குச் சம அமைவியம் உள்ளதாக அமையும். கார்ட்டீசியன் சுழிய அடுக்கான ${\displaystyle X^{0}}$, வெற்றுச் சார்பினை (empty function) மட்டும் கொண்ட ஓருறுப்பு கணமாகும்.

எந்தவொரு முறையுமில்லாமல் தேர்வு செய்யப்படும் முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான கணங்களுக்கும் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலை வரையறுக்கலாம். I என்பது குறியீட்டெண்கணம். ${\displaystyle X}$ = {X_i | i ∈ I} என்பது I கணத்தால் குறியிடப்பட்ட கணங்களின் தொகுதி எனில் அக்கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.

${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\{f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ |\ (\forall i)(f(i)\in X_{i})\},}$

அதாவது இக்கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனானது, குறியீட்டெண் கணத்திலிருந்து ${\displaystyle X}$ கணத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட சார்புகளின் கணமாக அமையும். ஒரு குறிப்பிட குறியீட்டெண் i ன் சார்புரு, X_i  ன் ஒரு உறுப்பாக இருக்கும்.

பல கணங்களை ஒருங்கே பெருக்கும்போது சில நூலாசிரியர்கள்,^[3] X₁, X₂, X₃, …, என்ற n கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலைச் சுருக்கமாக ×X_i எனக் குறிப்பிடுகின்றனர்.