எண்முக எண்

கணிதத்தில் எண்முக எண் (octahedral number) என்பது எண்முகி வடிவில் நெருக்கமாக அடுக்கப்பட்டப் பந்துகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் ஒரு வடிவ எண்.

n -ஆம் எண்முக எண் காணும் வாய்ப்பாடு:^[1]

${\displaystyle O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}.}$

முதல் எண்கோண எண்கள் சில:

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891 (OEIS-இல் வரிசை A005900)

.

எண்முக எண்களைப் பிறப்பிக்கும் சார்பு:

${\displaystyle {\frac {z(z+1)^{2}}{(z-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}z^{n}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .}$

1850 -ல் சர் ஃபிரெடிரிக் பொல்லாக், ஒவ்வொரு எண்ணும் அதிகபட்சம் 7 எண்முக எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக அமையும் என்ற அனுமானக்கூற்றைத் தந்துள்ளார்.^[2]

வேதியியலில், எண்முகக் கொத்துக்களில் உள்ள அணுக்களின் எண்ணிக்கையை விளக்குவதற்கு பயன்படும் எண்முக எண்கள், மாய எண்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன.^[3][4]

எண்முக வடிவ பந்து-அடுக்கை இரு பிரிவாக நடுப்புறத்தில் சதுர குறுக்கு வெட்டு மூலம் பிரித்தால் இரு சதுர பிரமிடுகள் கிடைக்கும். இவ்விரண்டு சதுரப்பிரமிடுகளும் ஒன்றின்கீழ் மற்றொன்று தலைகீழாக அமைந்த தோற்றத்தில் இருக்கும். எனவே ஒரு எண்முக எண், இரு அடுத்தடுத்த சதுர பிரமிடு எண்களின் கூடுதலாக இருக்கும்.^[1]

n -ஆம் எண்முக எண் - ${\displaystyle O_{n}}$,

n -ஆம் சதுர பிரமிடு எண் - ${\displaystyle P_{n}}$,

n -1 -ஆம் சதுர பிரமிடு எண் - ${\displaystyle P_{n-1}}$ எனில்

${\displaystyle O_{n}=P_{n-1}+P_{n}.}$

n -ஆம் எண்முக எண் - ${\displaystyle O_{n}}$,

n -ஆம் நான்முக எண் - ${\displaystyle T_{n}}$ எனில்

${\displaystyle O_{n}+4T_{n-1}=T_{2n-1}.}$

${\displaystyle O_{n}=T_{n}+2T_{n-1}+T_{n-2}.}$

ஒரு எண்முகியின் எதிர்ப்பக்கங்களுடன் இரு நான்முகிகளைச் சேர்த்தால் ஒரு சாய்சதுரத்திண்மம் கிடைக்கும்.^[5] ஒரு சாய்சதுரத் திண்மத்துக்குள் நெருக்கமாக அடுக்கப்பட்ட பந்துகளின் மொத்த எண்ணிக்கை ஒரு கன எண்ணாக இருக்கும். அதாவது,

${\displaystyle O_{n}+2T_{n-1}=n^{3}.}$

இரு அடுத்தடுத்த எண்முக எண்களின் வித்தியாசம் ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்ணாக இருக்கும்:^[1]

${\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.}$

மையப்படுத்தப்பட்ட எண்முக எண் என்பது இரு அடுத்தடுத்த எண்கோண எண்களின் கூடுதலாகும்.

முதல் மையப்படுத்தப்பட்ட எண்கோண எண்கள் சில:

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625, ... (OEIS-இல் வரிசை A001845)

மையப்படுத்தப்பட்ட எண்கோண எண்ணிற்கான வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle O_{n}+O_{n-1}={\frac {(2n+1)(2n^{2}+2n+3)}{3}}.}$

• Weisstein, Eric W., "Octahedral Number", MathWorld.