கெப்லர் முக்கோணம்

வடிவவியலில் கெப்லர் முக்கோணம் (Kepler triangle) என்பது ஒரு சிறப்பு வகையான செங்கோண முக்கோணமாகும். இம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்கள் பெருக்குத் தொடரில் அமைகின்றன. கெப்லர் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதங்கள், ${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}}$ -தங்க விகிதத்துடன் தொடர்புடையது.

இப்பக்க நீளங்கள் பின்வருமாறு தரப்படுகின்றன:

${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$, அல்லது தோராயமாக, 1 : 1.272 : 1.618.^[1] பக்க நீளங்களின் வர்க்கங்கள் தங்க விகிதத்தைப் பொதுவிகிதமாகக் கொண்ட பெருக்குத் தொடராக அமைகின்றன.

ஜெர்மானிய கணிதவியலாளர் மற்றும் வானவியலாளரான யோகான்னசு கெப்லர்தான் (1571–1630) முதன்முதலில் சில செங்கோண முக்கோணங்களின் சிறிய பக்கத்திற்கும் செம்பக்கத்திற்குமான விகிதம் தங்க விகிதத்திற்குச் சமமாக உள்ளதைக் கண்டறிந்தார்.^[2] எனவே இத்தகைய செங்கோண முக்கோணங்கள் கெப்லர் முக்கோணங்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன. கெப்லர் முக்கோணத்தில் பித்தாகரசு தேற்றம் மற்றும் தங்க விகிதம் ஆகிய இரண்டு முக்கிய கணிதவியல் கருத்துருக்களும் இணைந்து காணப்படுகின்றன. இந்த உண்மையால் ஈர்க்கப்பட்ட கெப்லர், இதனைப் பின்வருமாறு கூறுகிறார்:

வடிவவியலில் இரண்டு மாபெரும் பொக்கிஷங்கள் உள்ளன: ஒன்று பித்தாகரசின் தேற்றம்; மற்றொன்று ஒரு கோட்டினை இடை மற்றும் இறுதி விகிதமாகப் பிரித்தல். முதலாவதை ஒரு தங்க நிறையாகக் கொண்டால் பின்னது ஒரு விலைமதிப்பற்ற ஆபரணமாகும்.^[3]

— யோகான்னசு கெப்லர்

சில ஆதாரங்கள் தோராயமாக கெப்லர் முக்கோணத்தின் அளவுகளுக்குச் சமமான அளவுகளை உடையதொரு முக்கோணம் கீசாவின் பெரும்பிரமிடில் காணப்படுகிறதென கூறுகின்றன.^[4][5]

தங்க விகிதத்தை வரையறுக்கும் இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையான ${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$ -ஐ

${\displaystyle (\varphi )^{2}=({\sqrt {\varphi }})^{2}+(1)^{2}.}$ என பித்தாகரசு தேற்றத்தின் முடிவின் வடிவில் மாற்றி எழுத, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$ மற்றும் ${\displaystyle \varphi \,}$ பக்க அளவுகளுடைய முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் என்பது தெளிவாகிறது.

தரப்பட்ட இரு நேர்ம மெய்யெண்கள் a , b ஆகியவற்றின் கூட்டுச்சராசரி, பெருக்கல் சராசரி மற்றும் இசைச் சராசரிகளைப் பக்கங்களாகக் கொண்ட முக்கோணம் ஒரு கெப்லர் முக்கோணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக இருக்க முடியும்.^[6]

கவராயம் மற்றும் அளவுகோல் கொண்டு ஒரு கெப்லரின் முக்கோணம் வரைவதற்கு முதலில் ஒரு தங்க செவ்வகத்தை வரைந்து பின் அதிலிருந்து கெப்ளர் முக்கோணம் வரையலாம்:

1. சாதாரண சதுரம் ஒன்று வரைக.
2. சதுரத்தின் ஒரு பக்கத்தின் நடுப்புள்ளியிலிருந்து எதிர்முனைக்கு ஒரு கோடு வரைக.
3. இக்கோட்டுத்துண்டினை ஆரமாகக் கொண்டு வரையப்படும் வில்லானது செவ்வகத்தின் உயரத்தைத் தீர்மானிக்கிறது.
4. தங்க செவ்வகத்தை முழுமையாக வரைக.
5. தங்க செவ்வகத்தின் நீளமான பக்கத்தைக் கொண்டு வரையப்படும் வில் செவ்வகத்தின் எதிர்ப்பக்கத்தை வெட்டுமிடம் கெப்லர் முக்கோணத்தின் செம்பக்கத்தைத் தீர்மானிக்கிறது.

${\displaystyle a,a{\sqrt {\varphi }},a\varphi ,}$ பக்கங்கள் கொண்ட ஒரு கெப்லரின் முக்கோணத்தை எடுத்துக் கொள்க.

• இம்முக்கோணத்தைச் சுற்றி வரையப்பட்ட வட்டம்;
• முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களில் இடைப்பட்ட அளவுடைய பக்க அளவை பக்கமாகக் கொண்டு வரையப்பட்ட சதுரம்.
• சதுரத்தின் சுற்றளவு (${\displaystyle 4a{\sqrt {\varphi }}}$) மற்றும் வட்டத்தின் சுற்றளவு (${\displaystyle a\pi \varphi }$) இரண்டும் 0.1% -க்கும் குறைவான பிழையளவில் ஒன்றுபடும்.

இதுவே கணிதவியல் ஒன்றுபடல், ${\displaystyle \pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}}$ ஆகும். ஆனால் சதுரம் மற்றும் வட்டத்தின் சுற்றளவுகள் மிகச்சரியாக சமமாக இருக்க முடியாது. அதாவது ${\displaystyle \pi }$ ஒரு விஞ்சிய எண் என்பதால் ${\displaystyle \pi \neq 4/{\sqrt {\varphi }}}$

சில ஆதாரங்களின்படி^[5][7], எகிப்திய பிரமிடுகளில் கெப்லர் முக்கோண வடிவங்கள் காணப்படுவதாகக் கருதப்படுகிறது. ஆனால் பண்டைய எகிப்தியர்கள், ${\displaystyle \pi }$ மற்றும் தங்க விகிதம் ${\displaystyle \phi }$ இவற்றினைக் கொண்ட கணிதவியல் ஒன்றுபடுதலைப் பற்றி அறிந்திருக்காமல் இருந்திருக்கலாம்.