தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை

இயற்கணிதத்தில், தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை (monic polynomial) என்பது தலைக்கெழு 1 ஆகவுள்ள ஒருமாறியிலமைந்ததொரு பல்லுறுப்புக்கோவையாகும்.

ஒருமாறியிலமைந்த தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவையின் வடிவம்:

${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}$

ஒருமாறியிலமைந்த ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உறுப்புகள், மிகஉயர்ந்த படிகொண்ட உறுப்பில் தொடங்கி மிகக்குறைந்த படி கொண்ட உறுப்புவரை இறங்குவரிசையிலோ, அல்லது மிகக்குறைந்த படிகொண்ட உறுப்பில் தொடங்கி மிகஉயர்ந்த படி கொண்ட உறுப்புவரை ஏறுவரிசையிலோ எழுதப்படுவது வழமையாகும்.

ஒருமாறியிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் பொதுவடிவம்:

${\displaystyle c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},}$

இதிலுள்ள c_n (≠ 0), c_n−1, ..., c₂, c₁ , c₀ ஆகியவை மாறிலிகள். இவை பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன.

c_nxⁿ - பல்லுறுப்புக்கோவையின் ’’தலை உறுப்பு’’ அல்லது ’’முன்னிலை உறுப்பு’’ (leading term) எனவும், அதன் கெழு c_n தலைக்கெழு அல்லது முன்னிலைக் கெழு (leading coefficient) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. இந்த தலைக்கெழுவின் மதிப்பு 1 ஆக இருக்கும்பொழுது, அந்தப் பல்லுறுப்புக்கோவையானது தலையொற்றை பல்லுறுப்புகோவை எனப்படுகிறது.

இரு தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனும் ஒரு ஒற்றைத் தலைக்கெழு பல்லுறுப்புக்கோவையாகவே இருக்கும். எனவே தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒரு பெருக்கல் அரைக்குலமாகும். மாறிலிச் சார்பு 1 ம் ஒரு தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவையாகும் என்பதால் இந்த அரைக்குலமானது, ஒரு ஒற்றைக் குலமாகவும் இருக்கும்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கெழுக்களின் கணம் ஒரு களமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற பல்லுறுப்புக்கோவை p க்கும் ஒரேயொரு தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை q இருக்கும். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டை அதன் தலையுறுப்பின் கெழுவால் வகுத்தால் அதன் தலையொற்றை வடிவம் கிடைக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு: இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு

${\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}$ (${\displaystyle a\neq 0}$)

இதன் தலைக்கெழுவான ${\displaystyle a}$ ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் தலையொற்றை வடிவம்:

${\displaystyle \ x^{2}+px+q=0}$,  p = b/a  ;  q = c/a.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சமன்பாட்டின் (p(x) = 0) தீர்வுகளை அதன் தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் (q(x) = 0) மூலம் பெறமுடியும்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}$

தலையொற்றை வடிவிற்கு மாற்ற

${\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0.}$

இருபடி வாய்ப்பாட்டின்படி தீர்வு:

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right),}$ ${\displaystyle p={\frac {3}{2}};q={\frac {1}{2}}}$

பொதுவாக தலையொற்றை வடிவம் என்பது ஒருமாறியிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்குத்தான் அளிக்கப்படுகிறது. எனினும் பன்மாறி பல்லுறுப்புக்கோவைகளை அதன் பன்மாறிகளில் ஏதாவது ஒரு மாறியிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவை வடிவில் மாற்றியெழுதுவதன் மூலம் அதன் தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவையைக் காணலாம். ஆனால் அத்தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்கள் ஏனைய மாறிகளின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக அமைந்திருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle \ p(x,y)=2xy^{2}+x^{2}-y^{2}+3x+5y-8}$ என்ற இருமாறியிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவையை x என்ற ஒரு மாறியிலமைந்த தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவையாகப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

${\displaystyle p(x,y)=1\cdot x^{2}+(2y^{2}+3)\cdot x+(-y^{2}+5y-8)}$; இதன் கெழுக்கள் y இல் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருப்பதைக் காணலாம்.

• Pinter, Charles C. (2010) [Unabridged republication of the 1990 second edition of the work originally published in 1982 by the McGraw–Hill Publishing Company]. A Book of Abstract Algebra. Dover. ISBN 978-0486474175.
• Weisstein, Eric W. "Monic Polynomial." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/MonicPolynomial.html