இருபடிச் சமன்பாடு

கணிதத்தில், இருபடிச் சமன்பாடு (Quadratic equation) என்பது ஒரு இருபடிப் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகும். இதன் பொது வடிவம்:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,}$

இங்கு ${\displaystyle x\,}$ ஒரு மாறி. a, b, மற்றும் c மாறிலிகள். மேலும் a ≠ 0. ஏனெனில் a = 0 -ஆக இருந்தால் இச்சமன்பாடு, ஒருபடிச் சமன்பாடாகிவிடும்.

மாறிலிகள் a, b, மற்றும் c, முறையே இருபடிக் கெழு, ஒருபடிக் கெழு மற்றும் மாறியைச் சாரா உறுப்பு எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. "quadratic" என்ற வார்த்தை சதுரத்தைக் குறிக்கும் இலத்தீன் மொழிச் சொல்லான quadratus, என்பதிலிருந்து பிறந்ததாகும். இருபடிச் சமன்பாட்டைக் காரணிப்படுத்துதல், வர்க்க நிரப்பி முறை, வரைபடம், நியூட்டன் முறை மற்றும் இருபடி வாய்ப்பாடு ஆகிய வழிகளில் தீர்க்கலாம்.

மெய்யெண் மற்றும் சிக்கலெண் கெழுக்களைக் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு மூலங்களென அழைக்கப்படும் இரு தீர்வுகள் உண்டு. இவ்விரண்டு தீர்வுகளும் வெவ்வேறானவையாக இல்லாமல் இருக்கலாம். மேலும் அவையிரண்டும் மெய்யெண்களாகவோ அல்லது மெய்யெண்களாக இல்லாமலோ இருக்கலாம்.

மூலங்களைக் காணும் இருபடி வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

இங்கு "±" குறியீடானது,

${\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

இரண்டுமே சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் என்பதைக் காட்டுகிறது.

மேலுள்ள வாய்ப்பாட்டில் வர்க்க மூலக் குறியீட்டுக்குள் உள்ள கோவை, இருபடிச் சமன்பாட்டின் தன்மைகாட்டி எனப்படுகிறது. தன்மைகாட்டியின் குறியீடு, கிரேக்க மொழியின் பெரியஎழுத்தான டெல்ட்டா ஆகும். இந்த எழுத்து, கிரேக்க மொழிச் சொல்லான Διακρίνουσα, (டயக்கிரினோசா) -ன் முதலெழுத்தாகும்.

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.\,}$

மெய்யெண்களைக் கெழுக்களாகக் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு, ஒன்று அல்லது வெவ்வேறான இரண்டு மெய் மூலங்கள் அல்லது இரண்டு சிக்கலெண் மூலங்கள் இருக்கலாம். மூலங்களின் தன்மையை, தன்மை காட்டி தீர்மானிக்கிறது.

• தன்மை காட்டி நேர்மமாக இருந்தால், இரண்டு வெவ்வேறான மெய்யெண் மூலங்கள் உண்டு.

${\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$

முழு எண் கெழுக்கள் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாடுகளின் தன்மை காட்டி முழு வர்க்கமாக இருக்கும்போது, மூலங்கள் விகிதமுறு எண்களாகவும் முழு வர்க்கமில்லையெனில் விகிதமுறா மூலங்களாகவும் (${\displaystyle {a+b{\sqrt {c}} \over d}}$) இருக்கும்.

• தன்மைகாட்டி பூச்சியமெனில், ஒரேயொரு மெய்யெண் மூலம் மட்டும் உண்டு.

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.\,\!}$

• தன்மைகாட்டி எதிர்மம் எனில், மூலங்கள் மெய்யெண்கள் அல்ல. அவை, ஒன்றுக்கொன்று இணைஎண்களாக அமையும் வெவ்வேறான இரு சிக்கலெண்களாகும்.

${\displaystyle {\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},\quad {\text{and}}\quad {\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},}$

இங்கு i என்பது கற்பனை அலகாகும்.

எனவே தன்மைகாட்டி பூச்சியமாக இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே மூலங்கள் வெவ்வேறானவையாக இருக்கும். மேலும் தன்மைகாட்டி நேர்மமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே மூலங்கள் மெய்யெண்களாக இருக்கும்.

இருபடிச் சமன்பாட்டைக் கெழு a -ஆல் வகுத்தால் எளிமையாக்கப்பட்ட தலையொற்றை வடிவம் கிடைக்கும்.

${\displaystyle x^{2}+px+q=\,0{\text{,}}}$

இங்கு p = ^b⁄_a மற்றும் q = ^c⁄_a. இந்த வடிவ மாற்றம் சமன்பாட்டின் மூலங்களையும் தன்மைகாட்டியையும் எளிமையாக்குகிறது.

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right)}$

${\displaystyle \Delta =p^{2}-4q\,{\text{.}}}$

கிமு 2000 காலத்திலேயே பாபிலோனிய கணிதவியலாளர்கள் பின்வரும் வடிவிலான ஒருங்கமை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறையைக் கண்டறிந்திருக்கின்றனர்.

${\displaystyle x+y=p,\ \ xy=q\ }$

இச்சமன்பாடு,

${\displaystyle \ x^{2}+q=px}$ என்ற சமன்பாடுக்குச் சமானமானதாகும்.^[1]

முதல் வடிவில் உள்ள இரு சமன்பாடுகளைப் பின்வருமாறு தீர்க்கலாம்:

1.    ${\displaystyle {\frac {x+y}{2}}}$ காண்க.
2.    ${\displaystyle \left({\frac {x+y}{2}}\right)^{2}}$ காண்க.
3.    ${\displaystyle \left({\frac {x+y}{2}}\right)^{2}-xy}$ காண்க.
4.    ${\displaystyle {\sqrt {\left({\frac {x+y}{2}}\right)^{2}-xy}}={\frac {x-y}{2}}}$      (இங்கு x ≥ y என எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது) காண்க.
5. சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (4) லிருந்து x மற்றும் y -ன் மதிப்புகளைக் காணலாம்.^[2]

இக்கருத்து, மூன்றாவது ஊர் Ur III வம்ச காலத்திலேயே இருந்ததற்கான ஆதாரங்கள் உள்ளன.^[3]

சுமார் கிமு 8 -ம் நூற்றாண்டில் பழங்கால இந்தியாவில் சுல்ப சூத்திரங்களில் ax² = c மற்றும் ax² + bx = c என்ற வடிவில் அமைந்த இருபடிச் சமன்பாடுகள் வடிவவியல் முறையில் ஆராயப்பட்டுள்ளன. கிமு 400 லிருந்து பாபிலோனிய கணிதவியலாளர்களும் கிமு 200 லிருந்து சீன கணிதவியலாளர்களும் நேர்ம மூலங்களுடைய இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க வர்க்க நிரப்பி முறையைப் பயன்படுத்தியிருக்கிறார்கள். ஆனால் தீர்க்கும் வழிமுறையைப் பொதுமையான வாய்ப்பாடாக உருவாக்கவில்லை.^{[சான்று தேவை]}

கிமு 300 -களில் கிரேக்க கணிதவியலாளர் யூக்ளிட், இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு மேலும் பொருத்தமான வடிவவியல் முறையைத் தந்துள்ளார். கணிதவியலாளர்கள் பித்தாகரசும் யூக்ளிடும் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு தனித்த வடிவவியல் முறையில் பொது வழிமுறையைக் கண்டுபிடித்துள்ளனர்.^[4] கிரேக்க கணிதவியலாளர் டயோஃபாண்டசு தனது படைப்பான அரித்மெட்டிக்கா -வில் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் வழிமுறையைத் தந்துள்ளார். ஆனால் அந்த முறையில், சமன்பாட்டிற்கு இரு நேர்ம மூலங்கள் இருந்தாலும் ஒரேயொரு மூலத்தை மட்டுமே காணமுடிந்தது.^[5]

கிமு 628 -ல் இந்திய கணிதவியலாளர் பிரம்மகுப்தர்,

${\displaystyle \ ax^{2}+bx=c\,}$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் முதல் வெளிப்படைத் தீர்வுகளைப் பின்வருமாறு அளித்துள்ளார்:(ஆனாலும் அது முழுமையாக பொது வழிமுறையாக இல்லை.)

இக்குறிப்பு,

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}.}$ என்பதற்கு சமானமானதாகும்.

இருபடிச் சமன்பாடுகளையும் இருபடி தேரா சமன்பாடுகளையும் (ax/c = y என்ற மூலவடிவம் கொண்டவை). தீர்ப்பதற்கான இயற்கணித வாய்ப்பாடு, கிபி ஏழாம் நூற்றாண்டில் இந்தியாவில் எழுதப்பட்ட பக்‌ஷாலி கையெழுத்துப் பிரதியில் உள்ளது.

பிரம்மகுப்தாவின் எண்ணக் கருத்துக்களால் ஊக்கமடைந்த 9 ஆம் நூற்றாண்டு பாரசீக கணிதவியலாளர் முகம்மத் இபின் மூசா அல் குவாரிஸ்மி, நேர்மத் தீர்வுகளைக் காணும் வாய்ப்பாடுகளின் தொகுப்பினை உருவாக்கினார்.^[4] வடிவவியல் நிறுவல்களைத் தரும்போது ஒவ்வொரு இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கும் ஒன்று அல்லது இரண்டு எண்மதிப்புகளைத் தீர்வுகளாக ஏற்றுக்கொள்வதன் மூலம் அல் குவாரிஸ்மி, பொது இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு முழுமையான தீர்வு காணும் வழிமுறையில் மேலும் கொஞ்சம் முன்னேறியுள்ளார்.^[6] மேலும் அவர் வர்க்க நிரப்பி முறையையும் விளக்கியுள்ளார்.^[7] அவரது சமகாலத்து மத்திய ஆசிய கணிதவியலாளர் இபுன் டர்க் நிரூபித்த, தன்மைகாட்டி நேர்ம எண்ணாக இருக்க வேண்டிய உண்மையை அவர் அங்கீகரித்தார். வடிவவியல் வரைபடங்கள்மூலம் இபுன் டர்க், தன்மைகாட்டி எதிர்மமாக இருந்தால் அந்த இருபடிச் சமன்பாட்டிற்குத் தீர்வுகள் கிடையாது என்பதை நிறுவியுள்ளார்.^[8] அல்-குவாரிஸ்மி, இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு எதிர்ம தீர்வுகளை ஒத்துக் கொள்ளவில்லை. ஆனால் அவரைத் தொடர்ந்து பின்னாளில் வந்த இஸ்லாமிய கணிதவியலாளர்கள் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் எதிர்மத் தீர்வுகளையும் ^[9] விகிதமுறா எண் தீர்வுகளையும் ஏற்றுக் கொண்டனர்.^[10] முதன்முதலில் விகிதமுறா எண்களை(பெரும்பாலும் வர்க்க மூலம், முப்படி மூலம், நான்காம்படி மூலம் போன்ற வடிவில் இருக்கும்) இருபடிச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளாகவோ அல்லது சமன்பாடுகளில் உள்ள கெழுக்களாகவோ ஏற்றுக் கொண்டது, 10-ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த எகிப்திய கணிதவியலாளர் அபு காமில் ஷுஜா இபுன் அஸ்லாம் ஆகும்.^[11]

12ம் நூற்றாண்டில் ஸ்பெயின் நாட்டு யூத கணிதவியலாளர் ஆபிரகாம் ஹாநாசி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் முழுத்தீர்வும் கொண்ட முதல் ஆங்கிலப் புத்தகத்தை எழுதினார்.^[12] அவரது தீர்வுகள் பெரும்பாலும் அல்-குவாரிஸ்மியின் கருத்துக்களின் அடிப்படையில் அமைந்திருந்தன.^[13] மாறி 'x' -ன் கெழுக்கள் எதிர்மக் குறிகொண்டதாக உள்ள இருபடிச் சமன்பாடுகள், யாங் ஹூய் என்ற சீன கணிதவியலாளரது (கிபி 1238-1298) கருத்துக்களில் முதன் முதலாவதாக அறிமுகமானாலும் அவர் அதனைக் கணிதவியலாளர் லியூ யீ -க்கு உரித்தானதாக்குகிறார்.

1545 -ல் ஜெரோலாமோ கார்டானோ, இருபடிச் சமன்பாடுகள் சம்பந்தப்பட்ட படைப்புகளைத் தொகுத்தளித்துள்ளார். 1594-ல் சைமன் ஸ்டீவன், அனைத்து வகைக்களுக்குமான இருபடி வாய்ப்பாடுகளையும் கண்டறிந்தார்.^[14] 1637 -ல் ரெனே டேக்கார்ட் இன்று நாம் காணும் இருபடி வாய்ப்பாடு அடங்கிய லா ஜியோமெட்ரி என்ற புத்தகத்தை வெளியிட்டார்.^[4] நவீன கணித இலக்கியத்தில் முதன் முதலாக இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொதுத்தீர்வு 1896-ல் ஹென்றி ஹீட்டனின் ஆய்வுரையில்தான் வெளியானது.^[15]

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\,}$ என்ற இருபடிச் சார்பின் மூலங்கள்,

${\displaystyle f(x)=0.\,}$ என்றவாறு அமையும் x -ன் மதிப்புகள் என்பதால்

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,}$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள், இருபடிச் சார்பின் மூலங்களாகவும் அமையும்.

a, b மற்றும் c மெய்யெண்களாகவும் f -ன் ஆட்களம் மெய்யெண் கணமாகவும் இருந்தால் f -ன் மூலங்கள், f-ன் வரைபடமானது x-அச்சைச் சந்திக்கும் புள்ளிகளின் x-அச்சுதூரங்களாகும்.

இதிலிருந்து, தன்மைகாட்டி

• நேர்மமாக இருந்தால் வரைபடம் x அச்சை இருபுள்ளிகளிலும்
• பூச்சியமாக இருந்தால் ஒரு புள்ளியிலும் சந்திக்கும்.
• எதிர்மமாக இருந்தால் சந்திக்கவே சந்திக்காது.

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.\ }$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வாக r இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ${\displaystyle x-r\,}$ என்ற உறுப்பு, பல்லுறுப்புக்கோவை ${\displaystyle ax^{2}+bx+c,\ }$ -ன் காரணியாகும்.

எனவே,

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).}$

(${\displaystyle b^{2}=4ac}$) எனில் இருபடிச் சமன்பாட்டுக்கு ஒரேயொரு தனித்ததீர்வு மட்டுமே உண்டு. (அ-து தன்மைகாட்டி பூச்சியம்) இந்நிலையில் இருபடி பல்லுறுப்புக் கோவையைப் பின் உள்ளபடி காரணிப்படுத்தலாம்:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.\,\!}$

சில குறிப்பிட்ட உயர் அடுக்குச் சமன்பாடுகளை இருபடிச் சமன்பாட்டு வடிவிற்கு மாற்றித் தீர்வு காண முடியும்.

எடுத்துக்காட்டாகப் பின்வரும் 6 அடுக்குச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் முறை:

${\displaystyle x^{6}-4x^{3}+8=0\,}$

${\displaystyle (x^{3})^{2}-4(x^{3})+8=0\,,}$

${\displaystyle u=x^{3}.\,}$ என பதிலிட,

${\displaystyle u^{2}-4u+8=0,\,}$

இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க,

${\displaystyle u\,}$-விற்கு இரு தீர்வுகள் கிடைக்கும்.

${\displaystyle u=2\pm 2i\,.}$

ஃ ${\displaystyle x^{3}=2\pm 2i\,.}$ 2 + 2i -ன் மூன்று முப்படி மூலங்களைக் கண்டுபிடித்தால் அவற்றின் இணை எண்களாக (conjugates) 2 - 2i -ன் முப்படி மூலங்கள் மூன்றும் அமையும். ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த,

${\displaystyle x^{3}=2^{\tfrac {3}{2}}e^{{\tfrac {1}{4}}\pi i}=2^{\tfrac {3}{2}}e^{{\tfrac {8k+1}{4}}\pi i}\,}$

(ஏனெனில் e^2kπi = 1)

${\displaystyle x=2^{\tfrac {1}{2}}e^{{\tfrac {8k+1}{12}}\pi i}\,,~k=0,1,2\,.}$

மீண்டும் ஆயிலரின் வாய்ப்பாட்டையும் cos(π/12) = (√2 + √6) / 4, போன்ற முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளையும் பயன்படுத்தி சிக்கல் இணை எண்களையும் சேர்க்கக் கிடக்கும் தீர்வுகளின் முழுத் தொகுப்பு:

${\displaystyle x_{1,2}=-1\pm i,\,}$

${\displaystyle x_{3,4}={\frac {1+{\sqrt {3}}}{2}}\pm {\frac {1-{\sqrt {3}}}{2}}i\,}$

${\displaystyle x_{5,6}={\frac {1-{\sqrt {3}}}{2}}\pm {\frac {1+{\sqrt {3}}}{2}}i.\,}$

${\displaystyle x^{2}+2xh+h^{2}=(x+h)^{2}.\,\!}$ என்ற இயற்கணித வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி வர்க்க நிரப்பி முறையில் இருபடிச் வாய்ப்பாட்டைக் காணலாம்.^[16]

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!}$

இச்சமன்பாட்டை a -ஆல் வகுக்க, (a பூச்சியமல்லாததால் வகுத்தல் சாத்தியம்.)

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0,\,\!}$

அல்லது

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}.}$

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {1}{2}}{\frac {b}{a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {b}{a}}\right)^{2},\!}$

${\displaystyle x^{2}+2xh+h^{2}=(x+h)^{2}.\,\!}$, பயன்படுத்த:

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}.\,\!}$

வலதுபுறத்தில் பொதுவகுத்தியாக 4a² -ஐக் கொள்ள:

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}$

இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண:

${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}.}$

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}$

${\displaystyle a(x-x_{V})^{2}+y_{V}=0\,\!}$ என்ற சமன்பாடு, ஆதியிலிருந்து (x_V, y_V) புள்ளிக்கு நகர்த்தப்பட்ட

ax² என்ற பரவளையத்தைக் குறிக்கிறது.

இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்க:

${\displaystyle x=x_{V}\pm {\sqrt {-{\frac {y_{V}}{a}}}}.}$

வியட்டாவின் வாய்ப்பாட்டின்படி உச்சிப் புள்ளியின் அச்சுதூரங்கள்:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{V}&={\frac {-b}{2a}}\\y_{V}&=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}},\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

• x_V மற்றும் y_V மதிப்புகளைக் காணல்:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!}$

மற்றும்

${\displaystyle a(x-x_{V})^{2}+y_{V}=0\,\!.}$ என்ற இருசமன்பாடுகளைக் எடுத்துக் கொள்க.

இரண்டாவது சமன்பாட்டை

${\displaystyle ax^{2}+(-2ax_{V})x+(a{x_{V}}^{2}+y_{V})=0}$ என மாற்றிக் கொள்ள வேண்டும்.

இப்பொழுது இரு சமன்பாடுகளின் ஒத்த கெழுக்களை ஒப்பிட,

${\displaystyle b=-2ax_{V}\!}$

${\displaystyle c=a{x_{V}}^{2}+y_{V}\!,}$

இவற்றிலிருந்து x_V மற்றும் y_V -ன் மதிப்புகளைப் பெறலாம்.

இருபடி வாய்ப்பாட்டைக் காணும் மற்றொரு முறை லாக்ராஞ்சி கூறாக்கிகள் முறையாகும்.(Lagrange resolvents]) இது கால்வா கோட்பாட்டின் ஆரம்பப் பகுதியாகும்.^[17] இம்முறையானது, முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் நான்குபடி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் தீர்வு காணும் முறையைப் பொதுமைப்படுத்துகிறது. எனவே, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் அடுக்கு எத்தனையாக இருந்தாலும் அக்கோவையின் மூலங்களின் சமச்சீர் குலத்தின் வாயிலாக அம்மூலங்களைப் பற்றித் தெரிந்துகொள்ள வழிவகுக்கும் கால்வாகோட்பாட்டிற்கு இது ஆரம்பமாக அமைகிறது. மூலங்களின் சமச்சீர் குலம் கால்வா குலம் எனப்படும்.

இந்த அணுகுமுறை மூலச்சமன்பாட்டின் வடிவத்தை மாற்றி அமைப்பதை விட மூலங்களின் மேல் அதிக கவனம் கொண்டுள்ளது.

${\displaystyle x^{2}+px+q\!}$ என்ற தலையொற்றை இருபடிப் பல்லுறுப்புக்கோவையை எடுத்துக் கொள்க.

அதன் காரணிகள்,

${\displaystyle x^{2}+px+q=(x-\alpha )(x-\beta ).\!}$ எனக் கொள்க.

வலதுபுறத்தை விரித்தெழுத,

${\displaystyle x^{2}+px+q=x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta ,\!}$

இங்கு

${\displaystyle p=-(\alpha +\beta )\!}$

மற்றும்

${\displaystyle q=\alpha \beta .\!}$

பெருக்கலில் உறுப்புகளின் வரிசை அவசியமில்லாததால் α மற்றும் β இரண்டையும் அவற்றுக்குள்ளாக மாற்றுவதால் p மற்றும் q -ன் மதிப்புகள் மாறாது. p மற்றும் q இரண்டும் α , β -ல் அமைந்த சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எனப்படும். அவை அடிப்படை சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும். α, β -ல் அமைந்த எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் α + β மற்றும் αβ வாயிலாக எழுதலாம்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பகுப்பாய்தலுக்கும் தீர்ப்பதற்குமான கால்வா கோட்பாட்டின் அணுகுமுறை:

மூலங்களின் சமச்சீர் சார்புகளில் சமச்சீர்தன்மையை உடைத்து மூலங்களை மீளப்பெறமுடியக் கூடியவை எவை?

எனவே n படிகொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தீர்ப்பது என்பது, n எழுத்துக்களின் சமச்சீர் குலமான ${\displaystyle S_{n}.}$ -லுள்ள n உறுப்புகளை வரிசைமாற்றப்படுத்தும் வழிகளுடன் தொடர்புடையதாகும். இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையில் இரு உறுப்புகளை வரிசைமாற்றுவது என்பது அவற்றை ஒன்றுக்கொன்று மாற்றிக் கொள்வதாகும். எனவே இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தீர்ப்பது எளிதானது.

மூலங்கள் α , β காண:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=\alpha +\beta \\r_{2}&=\alpha -\beta .\\\end{aligned}}}$

இவை பல்லுறுப்புக்கோவையின் லெக்ரெஞ்சி கூறாக்கிகள் எனப்படும். மூலங்களின் வரிசை இதில் மிகவும் முக்கியம். இச்சமன்பாடுகளைத் தீர்த்து மூலங்களைப் பெறலாம்:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(r_{1}+r_{2}\right)\\\beta &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(r_{1}-r_{2}\right).\\\end{aligned}}}$

முன்பு இக்கூறாக்கிகள் இரண்டாம் வரிசை கொண்ட தனித்த வூரியே மாற்று என அழைக்கப்பட்டன.(discrete Fourier transform (DFT) of order 2)

இம்மாற்றின் அணி வடிவம்:

${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right),}$

இந்த அணியின் நேர்மாறு: ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1/2&1/2\\1/2&-1/2\end{smallmatrix}}\right).}$

${\displaystyle r_{1}=\alpha +\beta }$ α , β -ல் அமைந்த சமச்சீர் சார்பாகும். எனவே அதை p , q வாயிலாக எழுத முடியும்.

${\displaystyle r_{1}=-p,}$

${\displaystyle r_{2}=\alpha -\beta }$ இதில் α , β இரண்டையும் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றக் கிடைப்பது:

${\displaystyle -r_{2}=\beta -\alpha }$

ஃ ${\displaystyle r_{2}}$ சமச்சீர் சார்பு கிடையாது. எனவே மூலங்களின் சமச்சீர் சார்பாக அமையும் p , q வாயிலாக இதை எழுத முடியாது. எனினும் வரிசையை மாற்றுவதால் ${\displaystyle r_{2}}$ ல் ஏற்படும் மாற்றம் காரணி ${\displaystyle -1,}$ என்பதால்,

${\displaystyle \scriptstyle r_{2}^{2}=(\alpha -\beta )^{2}}$ என்பது மூலங்களின் சமச்சீர் சார்பாகும். இதை p , q வாயிலாக எழுதலாம்.

${\displaystyle (\alpha -\beta )^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta \!}$

${\displaystyle r_{2}^{2}=p^{2}-4q\!}$

வர்க்கமூலம் காண,

${\displaystyle r_{2}=\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\!}$.

நேர்ம வர்க்க மூலத்தைமட்டும் எடுத்துக்கொண்டால்,

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=-p\\r_{2}&={\sqrt {p^{2}-4q}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\\\beta &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\\\end{aligned}}}$

எனவே மூலங்கள்:

${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right)}$

இதுவே இருபடி வாய்ப்பாடு.

${\displaystyle \scriptstyle p={\tfrac {b}{a}},q={\tfrac {c}{a}}\!}$ என பதிலிட தலையொற்றை அல்லாத வழக்கமான வடிவம் கிடைக்கும்.

கூறாக்கிகளைப் பின்வருமாறு கருதலாம்.

${\displaystyle \scriptstyle {\frac {r_{1}}{2}}={\frac {-p}{2}}={\frac {-b}{2a}}\!}$: உச்சிப்புள்ளி.

${\displaystyle \scriptstyle r_{2}^{2}=p^{2}-4q\!}$: தலையொற்றைப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டி

இதே போன்று, ஆனால் மிகவும் சிக்கலான முறை மூலம் ஒரு முப்படிச் சமன்பாட்டையும் தீர்க்க முடியும். இதற்கு மூன்று கூறாக்கிகள் மற்றும் ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு தேவை(தீர்மானிக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை). அவ்விருபடிச் சமன்பாடு ${\displaystyle r_{2}}$ மற்றும் ${\displaystyle r_{3}}$ உடன் தொடர்புடையவை. இவ்விருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் முப்படிச் சமன்பாட்டை தீர்க்கலாம். இதே போன்று நாற்படிச் சமன்பாட்டின்(4 அடுக்குச் சமன்பாடு) தீர்மானிக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு முப்படிச் சமன்பாடு ஆகும். மேற்கூறிய முறைப்படி முப்படிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் நாற்படிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முடியும். எனினும், ஒரு ஐந்துபடிச் சமன்பாட்டை இதே முறையில் தீர்க்க இயலாது. ஏனெனில் அவ்வாறு தீர்ப்பதன் மூலம் அது எளிதில் தீர்க்க முடியாத ஒரு 24 அடுக்குப் பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தரும். பொதுவாக ஐந்துபடிச் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளை மூலங்களை மட்டுமே பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்த முடியாது.

சில சூழ்நிலைகளில் மூலங்களை மாற்று வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தலாம்.

${\displaystyle x={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {\Delta }}}}.}$

இந்த மாற்று வடிவத்தில் மாறிலி c ≠ 0 ஆக இருக்க வேண்டும்; c =0 எனில், இவ்வாய்பாடு பூஜ்ஜியத்தை ஒரு மூலமாக கொடுக்கும், ஆனால் எந்த இரண்டாவது, பூஜ்ஜியமில்லா மூலங்களை கொடுக்காது. மாறாக, ∓ -ன் இரண்டில் ஒன்று வரையறுக்கப்படாத மற்றும் தேறப்பெறாத 0 / 0 படிவத்தை உருவாக்கும். எனினும், a = 0 என்ற நிலையில் இவ்வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம்(இந்நிலையில் ஒரு மூலத்தைத் தனிப்பட்ட தீர்வு வாயிலாகவும் மற்றும் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப்பட்ட மற்றொரு மூலத்த்தையும் தரும்). இது சாதரண வடிவச் சமன்பாடு மூலம் கிடைக்காது. (அதற்குப் பதிலாக இரு முறையும் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப்பட்ட மூலமே கிடைக்கும்).

இரு முறைகளிலும் மூலங்கள் ஒன்றே. மாற்று வடிவம் மாற்று இயற்கணிதத்தின் ஒரு பொதுவான வடிவமாகும்.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}&{}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}\\&{}={\frac {b^{2}-(b^{2}-4ac)}{2a\left(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}}\\&{}={\frac {4ac}{2a\left(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}}\\&{}={\frac {2c}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}.\end{aligned}}}$

ஏதேனும் ஒரு மூலம் மற்றொரு மூலத்தை விட தனிப்பருமனில்(absolute magnitude) சிறியதாக இருப்பின், இம்மாற்றுச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எண் மதிப்பீடு முறையின் மூலம் துல்லியமான மூல மதிப்பினைக் காணலாம். இம்முறையில், b யின் மதிப்பு ${\displaystyle \scriptstyle \pm {\sqrt {x}}}$ -க்கு மிக அருகில் உள்ளது. மேலும் தொகுதியில் உள்ள கழித்தல் மூலம் முக்கியத்துவ இழப்பு ஏற்படுகிறது.

ஒரு கலவையான அணுகுமுறை வழியாக அனைத்து ரத்து பிரச்சினைகள் (ஒரே குறி உடைய எண்களின் கூட்டல் மட்டுமே), மற்றும் c = 0 என்ற இரண்டு பிரச்சினைகளை தவிர்க்கலாம்.

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b-\operatorname {sgn}(b)\,{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\\x_{2}&={\frac {2c}{-b-\operatorname {sgn}(b)\,{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {c}{ax_{1}}}.\end{aligned}}}$

இங்கு sgn என்பது sign சார்பைக் குறிக்கிறது

• Al-Dīnawarī, Abū Ḥanīfa. 820. Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala.
• Stillwell, John, Mathematics and Its History, Springer; 2nd edition (January 27, 2004). பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-95336-1.

• Weisstein, Eric W., "Quadratic equations", MathWorld.
• 101 uses of a quadratic equation பரணிடப்பட்டது 2007-11-10 at the வந்தவழி இயந்திரம்
• 101 uses of a quadratic equation: Part II பரணிடப்பட்டது 2007-10-22 at the வந்தவழி இயந்திரம்
• Step-by-step instructions on using the quadratic formula for any input பரணிடப்பட்டது 2012-04-19 at the வந்தவழி இயந்திரம்