முகம் (வடிவவியல்)

திண்ம வடிவவியலில் முகம் (face) என்பது ஒரு திண்மப்பொருளின் வரம்பின் ஒரு பகுதியாக அமைந்திருக்கும் தட்டையான மேற்பரப்பு ஆகும்.^[1] இத்தகைய முகங்களால் மட்டுமே அடைபெறும் முப்பரிமாணத் திண்மம், பன்முகியாகும்.

உயர்பரிமாண பல்பரப்புகளில் "முகம்" என்ற சொல்லானது அந்தப் பல்பரப்பின் வெவ்வேறு பரிமாணக் கூறுகளைக் (0-முகம், 1-முகம், 2-முகம், 3-முகம்.....) குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.^[2]

அடிப்படை வடிவவியலில் ஒரு பன்முகியின் வரம்பில் அமைந்துள்ள ஒரு பல்கோணம் அப்பன்முகியின் "முகம்" என அழைக்கப்படுகிறது.^{[note 1][2][3]} பன்முகியின் பல்கோண முகமானது அந்தப் "பன்முகியின் பக்கம்" எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

படத்தில் ஒரு கனசதுரத்தின் (பன்முகி) முகங்களாக ஆறு சதுரங்கள் (பல்கோணம்) இருப்பதைக் காணலாம்.

சிலசமயங்களில் ஒரு 4-பல்பரப்பின் இருபரிமான இயல்புகளைக் குறிக்கவும் இச்சொல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதன்படி ஒரு நாற்பரிமாணக் கனசதுரம் 24 முகங்கள் கொண்டது; அவை ஒவ்வொன்றும் அந்த நாற்பரிமாணக் கனசதுரத்தின் 8 கனசதுரச் சிற்றறைகளில் இரண்டைப் பகிர்ந்து கொண்டிருக்கும் (படத்தில் காணவும்).

ஒரு குவிவுப் பன்முகியின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை கீழுள்ள "ஆய்லர் பண்பை" நிறைவு செய்யும்:

${\displaystyle V-E+F=2,}$

இதில்,

• V - பன்முகியின் உச்சிகளின் எண்ணிக்கை
• E - பன்முகியின் விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை
• F - பன்முகியின் முகங்களின் எண்ணிக்கை

இச்சமன்பாடு "ஆய்லரின் பன்முகி வாய்பாடு" என அழைக்கப்படுகிறது^[4][5].

இச்சமன்பாட்டிலிருந்து ஒரு பன்முகியின் முகங்களின் எண்ணிக்கையானது, அதன் விளிம்புகளின் எண்ணிக்கையிலிருந்து உச்சிகளின் எண்ணிக்கையைக் கழித்துக் கிடைக்கும் எண்ணைவிட இரண்டு அதிகமாக இருக்கும் என அறியலாம்.

எடுத்துக்காட்டு: ஒரு கனசதுரத்தில்

V - உச்சிகளின் எண்ணிக்கை = 8

E - விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை = 12.

F - முகங்களின் எண்ணிக்கை = (12 - 8) + 2 = 6

உயர்பரிமாண வடிவவியலில், ஒரு பல்பரப்பின் முகங்கள் என்பது அந்தப் பல்பரப்பின் எல்லாப் பரிமாணக் கூறுகளையும் குறிக்கும்.^[2][6][7] k பரிமாணத்திலமைந்த முகமானது k-முகம் எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, முப்பரிமாணப் பன்முகிகளின் பல்கோண முகங்கள் இருபரிமாண வடிவங்கள். எனவே அவை பன்முகியின் 2-முகங்கள் எனப்படுகின்றன.

கணக் கோட்பாட்டில் ஒரு பல்பரப்பின் முகங்கள் அடங்கிய கணத்தில் அப்பல்பரப்பு ஒரு முகமாகவும், வெற்றுக் கணம் -1 பரிமாண முகமாகவும் சேர்க்கப்படுகின்றன. எந்தவொரு n-பல்பரப்புக்கும் (n-பரிமாணப் பல்பரப்பு) k இன் மதிப்பானது −1 ≤ k ≤ n என்றபடி இருக்கும்.

இவ்விளக்கத்தை கனசதுரம் மற்றும் 4-பல்பரப்பு ஆகியவற்றின் மூலம் புரிந்து கொள்ளலாம்.

• கனசதுரத்தில் முகங்களின் கணத்திலுள்ள உறுப்புகள்:
  • அக்கனசதுரம் (3-முகம்; கனசதுரத்தின் முப்பரிமாணக் கூறு)
  • கனசதுரத்தை அடைக்கும் 6 சதுரங்கள் (2-முகங்கள், கனசதுரத்தின் இருபரிமாணக் கூறுகள்)
  • கனசதுரத்தின் விளிம்புகள் (1-முகங்கள், கனசதுரத்தின் ஒருபரிமாணக் கூறுகள்),
  • கனசதுரத்தின் உச்சிகள் (0-முகங்கள், கனசதுரத்தின் 0-பரிமாணக் கூறுகள்)
  • வெற்றுக் கணம். (இதன் பரிமாணம் −1 என எடுத்துக்கொள்ளப் படுகிறது)

• 4-பல்பரப்பின் (நான்கு பரிமாண பல்பரப்பு) முகங்களின் கணத்திலுள்ள உறுப்புகள்:
  • அந்த 4-பல்பரப்பு (4-முகம்)
  • பல்பரப்பின் 3-பரிமாண பன்முகிச் சிற்றறைகள் (cells)
  • பல்பரப்பின் 2-பரிமாண பல்கோண வடிவ மேடுகள் (Ridges)
  • பல்பரப்பின் 1-பரிமாண விளிம்புகள் (கோட்டுத்துண்டுகள்)
  • பல்பரப்பின் 0-பரிமாண உச்சிகள் (புள்ளிகள்
  • வெற்றுக் கணம். (இதன் பரிமாணம் −1 என எடுத்துக்கொள்ளப் படுகிறது.)

உயர்பரிமாண வடிவவியலில் ஒரு n-பல்பரப்பின் (n-1)-முகங்கள் (பல்பரப்பின் பரிமாணத்தைவிட ஒரு பரிமாணம் குறைவான முகங்கள் அப்பல்பரப்பின் "முகப்புகள்" (facets) அல்லது (மீமுகங்கள்" (hyperfaces) என அழைக்கப்படுகின்றன.^[8][9] பல்பரப்பு அதன் மீமுகங்களால் அடைக்கப் படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு:

• ஒரு கோட்டுத்துண்டின் மீமுகங்கள் அதன் தொடக்க மற்றும் முடிவுப் புள்ளிகள் (0-முகங்கள்).
• ஒரு பல்கோணத்தின் மீமுகங்கள் அதன் விளிம்புகள் (1-முகங்கள்).
• ஒரு பன்முகியின் மீமுகங்கள் அதன் பல்கோண முகங்கள் (2-முகங்கள்).
• ஒரு 4-பல்பரப்பின் மீமுகங்கள் அதன் முப்பரிமானக் கூறுகளான சிற்றறைகள் (3-முகங்கள்)
• ஒரு 5-பல்பரப்பின் மீமுகங்கள் அதன் 4-முகங்கள்

ஒரு n-பல்பரப்பின் (n-2)-முகங்கள் (பல்பரப்பின் பரிமாணத்தைவிட இரண்டு பரிமாணம் குறைவான முகங்கள்) அப்பல்பரப்பின் "முகடுகள்" அல்லது மேடுகள்" (ridges) அல்லது உள்முகப்புகள் (subfacets) என அழைக்கப்படுகின்றன.^[10] ஒரு பல்பரப்பின் இரண்டே இரண்டு மீமுகங்களின் வரம்பாக மேடுகள் அமைகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு:

• இரு பரிமாணப் பல்கோணத்தின் மேடுகள் அதன் உச்சிகள் (0-முகங்கள்).
• முப்பரிமாணப் பன்முகியின் மேடுகள் அதன் விளிம்புகள் (1-முகங்கள்).
• 4-பல்பரப்பின் மேடுகள் அவற்றின் இருபரிமாண முகங்கள் (2-முகங்கள்)
• 5-பல்பரப்பின் மேடுகள் அதன் முப்பரிமாணச் சிற்றறைகள் (3-முகங்கள்).

ஒரு n-பல்பரப்பின் (n − 3)-முகங்கள் அதன் உச்சங்கள் அல்லது சிகரங்கள் (peaks) என அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு ஒழுங்கு பல்பரப்பின் சிகரமானது, அதன் முகப்புகளின் சுழற்சி அச்சுகளையும் மேடுகளையும் கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

• முப்பரிமாணப் பன்முகிக்கு அதன் உச்சிகள் (0-முகங்கள்) சிகரங்கள் ஆகும்.
• 4-பல்பரப்பின் சிகரங்கள் அதன் விளிம்புகளாகும் (1-முகங்கள்).
• 5-பரிமாணப் பல்பரப்பின் சிகரங்கள் அதன் முகங்களாகும் (2-முகங்கள்).

• Weisstein, Eric W., "Face", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Facet", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Side", MathWorld.