சார்புகளின் தொகுப்பு

கணிதத்தில் சார்புகளின் தொகுப்பு அல்லது சார்புகளின் இணைப்பு (composition of functions) என்பது ஒரு சார்பின் விளைவின் மீது மற்றொரு சார்பைப் பயன்படுத்துவதாகும். f: X → Y மற்றும் g: Y → Z என்ற இரு சார்புகளை எடுத்துக்கொண்டால், f சார்பின்படி உள்ளீடு x -ன் வெளியீடு f(x) -ஐ g சார்பின் உள்ளீடாக எடுத்துக்கொண்டு அதற்குரிய வெளியீட்டைக் கணக்கிடுவது இவ்விரு சார்புகளின் தொகுப்பாகும்.

தொகுப்புச் சார்பு g ∘ f: X → Z பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

${\displaystyle g\circ f(x)=g(f(x)),}$ ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {X} }$

சேர்ப்புப் பண்பு:

சார்புகளின் தொகுப்பு சேர்ப்புப் பண்புடையது.

f, g, மற்றும் h மூன்றும் தகுந்த ஆட்களம், இணையாட்களம் கொண்ட மூன்று சார்புகள் எனில்:

${\displaystyle g\circ (f\circ h)=(g\circ f)\circ h}$

அடைப்புக்குறிகளை இடம் மாற்றுவதால் எந்தவொரு பாதிப்பும் இராது என்பதால் இக்கூற்றை அடைப்புக்குறிகள் இல்லாமலும் எழுதலாம்.

பரிமாற்றுப் பண்பு:

${\displaystyle g\circ f=f\circ g}$ எனில் g மற்றும் f ஆகிய இரு சார்புகளும் பரிமாற்றத்தக்க சார்புகள்.

பொதுவாக, சார்புகளின் தொகுப்புக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு கிடையாது. சில குறிப்பிட்ட சார்புகள் மட்டுமே அதுவும் சில சிறப்புச் சூழ்நிலைகளில் மட்டுமே பரிமாற்றுப் பண்பு கொண்டிருக்கும்.

${\displaystyle x\geq 0}$ என்னும்போது மட்டுமே

${\displaystyle \left|x\right|+3=\left|x+3\right|\,}$ என்பது உண்மை.

t நேரத்தில் ஒரு வானூர்தி பறக்கும் உயரத்தைக் குறிக்கும் சார்பு h(t) மற்றும் x உயரத்தில் இருக்கக்கூடிய ஆக்ஸிஜனின் அளவைக் குறிக்கும் சார்பு c(x) எனில், இவ்விரண்டு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பு (c ∘ h)(t) , t நேரத்தில் அந்த வானூர்தியைச் சுற்றியுள்ள பகுதியின் ஆக்ஸிஜன் அளவைக் குறிக்கும்.

${\displaystyle Y\subseteq X}$ எனில் ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ சார்பை அதனுடனேயே தொகுக்கலாம்.

அவ்வாறு செய்யப்படும் தொகுப்புச் சார்பின் குறியீடு: ${\displaystyle f^{2}\,}$.

${\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)}$

${\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^{3}(x)}$

ஒரு சார்பை அச்சார்புடனேயே மீண்டும் மீண்டும் தொகுப்பு காண்பது சார்புத் தொடர்தல் எனப்படும்.

${\displaystyle f\circ f^{n}=f^{n}\circ f=f^{n+1},}$ ${\displaystyle n\,}$ இயல் எண்

• ${\displaystyle f^{0}=id_{D(f)}\,}$ (${\displaystyle f{\big )}}$ -ன் ஆட்களத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு).
• ${\displaystyle f\colon X\rightarrow X}$ நேர்மாற்றத்தக்கது மற்றும் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு ${\displaystyle (f^{-1}\,}$ எனில்:

${\displaystyle f^{-k}=f^{-1})^{k}\,}$ ${\displaystyle (k>0\,)}$

குறிப்பு: f -ன் மதிப்புகள் ஒரு வளையத்தில் அமையுமானால் f ⁿ என்பது சார்புத் தொடர்தலை மட்டுமில்லாது f, -ன் n மடங்கினையும் குறிக்கலாம்:

f ²(x) = f(x) · f(x).

எடுத்துக்காட்டு:

sin²(x) = sin(x) · sin(x).

இங்கும் எதிரெண் அடுக்குகள், குறிப்பாக −1, மடங்கைக் குறிக்காமல் நேர்மாறுச் சார்பைக் குறிக்கும்:

tan⁻¹ = arctan (≠ 1/tan).

• பெரும்பாலான கணிதவியலாளர்கள் g ∘ f என்பதற்குப் பதில் தொகுப்புக் குறி சிறுவட்டத்தை விட்டுவிட்டு gf எனக் குறிக்கின்றனர்.
• இருபதாம் நூற்றாண்டின் இடைக்காலத்தில் சில கணிதவியலாளர்கள், முதலில் சார்பு f ஐயும் அடுத்து சார்பு g -ஐயும் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதைச் சொல்வதற்கு "g ∘ f" எனக் குறித்தல் குழப்பத்தை ஏற்படுத்துகிறது என எண்ணி குறியீட்டை மாற்றுவதற்கு முற்பட்டனர். அவர்கள் "f(x)" என்பதற்குப் பதிலாக "xf"எனவும் மற்றும் "g(f(x))" என்பதற்குப் பதிலாக "(xf)g" எனவும் பயன்படுத்தினர்.

• "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.