Гіперболічний об'єм

В теорії вузлів гіперболічний об'єм гіперболічного зачеплення дорівнює об'єму доповнення зачеплення відносно його повної гіперболічної метрики. Об'єм обов'язково є скінченним дійсним числом. Гіперболічний об'єм негіперболічного вузла часто вважається нульовим. Згідно з теоремою Мостова про жорсткість об'єм є топологічним інваріантом зачеплення^[1]. Як інваріант зачеплення об'єм вперше вивчав Вільям Терстон у зв'язку з його гіпотезою геометризації^[2].

Існує лише скінченне число гіперболічних вузлів з однаковим об'ємом^[2]. Мутація гіперболічного вузла матиме той самий об'єм^[3], тому є можливість створити приклади з однаковим об'ємом. Більше того, існують довільно великі скінченні множини різних вузлів з однаковим об'ємом^[2]. На практиці гіперболічний об'єм дуже ефективний для розрізнення вузлів, що застосовується в перелічуванні вузлів^[en]. Комп'ютерна програма SnapPea^[en] Джеффрі Вікса^[en] обчислює гіперболічний об'єм зачеплення^[1].

Гіперболічний об'єм можна визначити для будь-якого гіперболічного 3-многовиду^[en]. Многовид Вікса^[en] має найменший можливий об'єм серед замкнених многовидів (многовид, на відміну від доповнення зачеплення, не має каспів) і його об'єм приблизно дорівнює 0,9427^[4].

Список

Вісімка = 2,029 883 2 (послідовність A091518 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
Вузол на три півоберти = 2,82 812
Стивідорний вузол = 3,16 396
Вузол 6₂^[en] = 4,40 083
Нескінченний вузол = 5,13 794
Пара Перко = 5,63 877
Вузол 6₃^[en] = 5,69 302

Примітки

↑ ^а ^б Adams, Hildebrand, Weeks, 1991, с. 1—56.
↑ ^а ^б ^в Wielenberg, 1981, с. 505—513.
↑ Ruberman, 1987, с. 189—215.
↑ Gabai, Meyerhoff, Milley, 2009, с. 1157—1215.

Література

David Gabai, Robert Meyerhoff, Peter Milley. Minimum volume cusped hyperbolic three-manifolds // Journal of the American Mathematical Society^[en]. — 2009. — Т. 22, вип. 4 (30 травня). — arXiv:0705.4325. — DOI:10.1090/S0894-0347-09-00639-0.
Colin Adams, Martin Hildebrand, Jeffrey Weeks. Hyperbolic invariants of knots and links. — Transactions of the American Mathematical Society, 1991. — Т. 326, вип. 1 (30 травня). — DOI:10.2307/2001854.
Daniel Ruberman. Mutation and volumes of knots in S³ // Inventiones Mathematicae. — 1987. — Т. 90, вип. 1 (30 травня). — DOI:10.1007/BF01389038.
Norbert J. Wielenberg. Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, N.Y., 1978). — Princeton, N. J., 1981. — Т. 97. — (Ann. of Math. Stud.)