Вісімка (теорія вузлів)

В теорії вузлів вісімка (чотириразовий вузол або вузол Лістинга) — це єдиний вузол з числом перетинів 4. Це найменше можливе число перетинів, за винятком тривіального вузла і трилисника. Вісімка є простим вузлом. Вперше розглянутий Лістингом у 1847 році.

Назва походить від побутового вузла вісімка на мотузці, кінці якої з'єднані.

Просте параметричне подання вузла «вісімка» задається множиною точок (x,y,z), для яких

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\cos {(3t)}\\y&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\sin {(3t)}\\z&=\sin {(4t)}\end{aligned}}}$

де t — дійсна змінна.

Вісімка є простим, альтернованим, раціональним^[en] вузлом з відповідним значенням 5/2. Він є також ахіральним вузлом. Вісімка є розшарованим^[en] вузлом. Це випливає з іншого, складнішого (але цікавішого) подання вузла:

1. Вузол є однорідною^[1] замкнутою косою (а саме, замиканням коси з 3 нитками σ₁σ₂⁻¹σ₁σ₂⁻¹), а теорема Джона Сталлінґса^[en] показує, що будь-яка однорідна коса є розшарованою.
2. Вузол є зачепленням у точці (0,0,0,0) — ізольованій критичній точці дійсного поліноміального відображення F: R⁴→R² так, що (згідно з теоремою Джона Мілнора) відображення Мілнора^[en] F є розшаруванням. Бернард Перон знайшов першу таку функцію F для цього вузла, а саме:

${\displaystyle F(x,y,z,t)=G(x,y,z^{2}-t^{2},2zt),}$

де

${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,z,t)=\ &(z(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+x(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2}),\\&\ tx{\sqrt {2}}+y(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2})).\end{aligned}}}$.

Вузол «вісімка» грав історично важливу роль (і продовжує її грати) в теорії 3-многовидів^[en] . Десь в середині 1970-х, Вільям Терстон показав, що вісімка є гіперболічним вузлом шляхом розкладання його доповнення на два ідеальних гіперболічних тетраедри (Роберт Райлі і Троельс Йорґенсен, працюючи незалежно один від одного, до цього показали, що вісімка є гіперболічної в іншому сенсі). Ця конструкція, нова на той час, привела його до багатьох сильних результатів і методів. Наприклад він зміг показати, що всі, окрім десяти, хірургій Дена^[en] на вузлі «вісімка» дають нехакенові^[ru], такі, що не допускають розшарування Зейферта нерозкладні^[en] 3-многовиди. Це був перший з таких результатів. Багато інших було відкрито шляхом узагальнення побудови Терстона для інших вузлів і зачеплень.

Вісімка є також гіперболічним вузлом з найменшим можливим об'ємом 2,02 988…, згідно з роботою Чо Чунь (Chun Cao) і Роберта Маєрхофа (Robert Meyerhoff). З цієї точки зору вісімку можна розглядати як найпростіший гіперболічний вузол. Доповнення вісімки є подвійним накриттям многовиду Ґізекінґа^[ru], який має найменший об'єм серед некомпактних гіперболічних 3-многовидів.

Вузол «вісімка» і мереживний вузол (−2,3,7)^[en] є двомя гіперболічними вузлами, для яких відомо більше шести особливих хірургій, хірургій Дена, які приводять до негіперболічних 3-многовиів. Вони мають 10 і 7 відповідно. Теорема Лекенбі (Lackenby) і Маєргофа, доведення якої спирається на гіпотезу про геометризацію і використання комп'ютерних обчислень, стверджує, що 10 є найбільшим можливим числом особливих хірургій для будь-яких гіперболічних вузлів. Однак досі не встановлено, чи є вісімка єдиним вузлом, на якому досягається межа 10. Добре відома гіпотеза стверджує, що нижня межа (за винятком двох згаданих вузлів) дорівнює 6.

Многочлен Александера вісімки дорівнює

${\displaystyle \Delta (t)=-t+3-t^{-1},\ }$

многочлен Конвея дорівнює

${\displaystyle \nabla (z)=1-z^{2},\ }$^[2]

а многочлен Джонса дорівнює

${\displaystyle V(q)=q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}.\ }$

Симетрія відносно ${\displaystyle q}$ і ${\displaystyle q^{-1}}$ у многочлені Джонса свідчить про ахіральність вісімки.

• Ian Agol. Bounds on exceptional Dehn filling // Geometry & Topology. — 2000. — Т. 4. — С. 431–449. MR1799796
• Chun Cao, Robert Meyerhoff. The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume // Inventiones Mathematicae. — 2001. — Т. 146, вип. 3. MR1869847
• Marc Lackenby. Word hyperbolic Dehn surgery // Inventiones Mathematicae. — 2000. — Т. 140, вип. 2. — С. 243–282. MR1756996
• The maximal number of exceptional Dehn surgeries. — arXiv:0808.1176.
• Robion Kirby. Problems in low-dimensional topology. (див задачу 1.77, за Кемероном Гордоном^[en], для окремих нахилів)
• William Thurston. The Geometry and Topology of Three-Manifolds. — Princeton University lecture notes (1978–1981).

• 4_1 [Архівовано 9 лютого 2006 у Wayback Machine.] Knot Atlas
• Weisstein, Eric W. Figure Eight Knot (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.