Дотичне розшарування

Дотичне розшарування гладкого многовиду ${\displaystyle M}$ — це векторне розшарування над ${\displaystyle M}$, шар якого в точці ${\displaystyle x\in M}$ є дотичним простором ${\displaystyle T_{x}M}$ в точці ${\displaystyle x}$. Дотичне розшарування зазвичай позначається ${\displaystyle TM}$.

Елемент тотального простору ${\displaystyle TM}$ — це пара ${\displaystyle (x,\;v)}$, де ${\displaystyle x\in M}$ і ${\displaystyle v\in T_{x}M}$. Дотичне розшарування має природну топологією (не топологією диз'юнктивного об'єднання) і гладку структуру, що перетворюють його на многовид. Розмірність ${\displaystyle TM}$ дорівнює подвоєній розмірності ${\displaystyle M}$.

Якщо ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle n}$-мірний многовид, то він має атласом карт ${\displaystyle (U_{\alpha },\;\varphi _{\alpha })}$, де ${\displaystyle U_{\alpha }}$ — відкрита підмножина ${\displaystyle M}$ і

${\displaystyle \varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}}$

— гомеоморфізм.

Ці локальні координати на ${\displaystyle U}$ породжують ізоморфізм між ${\displaystyle T_{x}M}$ і ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ для будь-якого ${\displaystyle x\in U}$. Можна визначити відображення

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{\alpha }\colon \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to \mathbb {R} ^{2n}}$

як

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{\alpha }(x,\;v^{i}\partial _{i})=(\varphi _{\alpha }(x),\;v^{1},\;\ldots ,\;v^{n}).}$

Ці відображення використовуються для визначення топології і гладкої структури на ${\displaystyle TM}$.

Підмножина ${\displaystyle A}$ з ${\displaystyle TM}$ відкрита тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{\alpha }(A\cap \pi ^{-1}(U_{\alpha }))}$ — відкрите в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ для будь-якого ${\displaystyle \alpha }$. Ці відображення — гомеоморфізми відкритих підмножин ${\displaystyle TM}$ і ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, тому вони утворюють карти гладкої структури на ${\displaystyle TM}$. Функції переходу на перетинах карт ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$ задаються матрицями Якобі відповідних перетворень координат, тому вони є гладкими відображеннями відкритих підмножин ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$.

Дотичне розшарування — окремий випадок більш загальної конструкції, званої векторним розшаруванням. Дотичне розшарування ${\displaystyle n}$-мірного многовиду ${\displaystyle M}$ можна визначити як векторне розшарування рангу ${\displaystyle n}$ над ${\displaystyle M}$, функції переходу для якого задаються якобіаном відповідних перетворень координат.

• Найпростіший приклад отримуємо для ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. У цьому випадку дотичне розшарування тривіально і ізоморфно проєкції ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{n}}$.
• Одинична окружність ${\displaystyle S^{1}}$. Її дотичне розшарування також тривіально і ізоморфно ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$. Геометрично, воно є циліндром нескінченної висоти (дивись картинку вгорі).
• Простий приклад нетривіального дотичного розшарування отримуємо на одиничній сфері ${\displaystyle S^{2}}$, це дотичне розшарування нетривіально внаслідок теореми про причісуванні їжака.
• На жаль зобразити можна тільки дотичні розшарування дійсної прямої ${\displaystyle R}$ і одиничної окружності ${\displaystyle S^{1}}$, які обидва є тривіальними. Для двовимірних многовидів дотичне розшарування — це 4-вимірний многовид, тому його складно уявити.

Векторне поле — це гладка векторна функція на многовиді ${\displaystyle M}$, значення якої в кожній точці — вектор, дотичний до ${\displaystyle M}$, тобто гладке відображення

${\displaystyle V\colon M\to TM}$

таке, що образ ${\displaystyle x}$, що позначається ${\displaystyle V_{x}}$, лежить у ${\displaystyle T_{x}M}$ — дотичному просторі в точці ${\displaystyle x}$. Мовою локально тривіальних розшарувань, таке відображення називається перетином. Векторне поле на ${\displaystyle M}$ — це перетин дотичного розшарування над ${\displaystyle M}$.

Множина всіх векторних полів над ${\displaystyle M}$ позначається ${\displaystyle \Gamma (TM)}$. Векторні поля можна складати поточечно:

${\displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}$

і множити на гладкі функції на ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x},}$,

отримуючи нові векторні поля. Множина всіх векторних полів ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ отримує при цьому структуру модуля над комутативною алгеброю гладких функцій на ${\displaystyle M}$ (позначається ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$).

Якщо ${\displaystyle f}$ є гладкою функцією, то операція диференціювання вздовж векторного поля ${\displaystyle X}$ дає нову гладку функцію ${\displaystyle Xf}$. Цей оператор диференціювання має такі властивості:

• Адитивність: ${\displaystyle X(f+h)=Xf+Xh}$
• Правило Лейбніца: ${\displaystyle X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot (Xh)}$

Векторне поле на многовиді можна також визначити як оператор, котрий володіє перерахованими вище властивостями.

Локальне векторне поле на ${\displaystyle M}$ — це локальний перетин дотичного розшарування. Локальне векторне поле визначається тільки на якійсь відкритій підмножині ${\displaystyle U}$ з ${\displaystyle M}$, при цьому в кожній точці з ${\displaystyle U}$ задається вектор з відповідного дотичного простору. Множина локальних векторних полів на ${\displaystyle M}$ утворює структуру, що називається пучком дійсних векторних просторів над ${\displaystyle M}$.

На кожному дотичному розшаруванні ${\displaystyle TM}$ можна визначити канонічне векторне поле. Якщо ${\displaystyle (x,\;y)}$ — локальні координати на ${\displaystyle TM}$, то векторне поле має вигляд

${\displaystyle V=\left.y^{i}{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}\right|_{(x,\;y)}.}$

${\displaystyle V}$ є відображенням ${\displaystyle V\colon TM\to TTM}$.

Існування такого векторного поля на ${\displaystyle TM}$ можна порівняти з існуванням канонічної 1-форми на кодотичному розшаруванні.

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — Москва : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 прим. — ISBN 5-354-00341-5.
• Васильев В. А. Введение в топологию. — Москва : ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. — New York : Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-95495-3.
• Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-42627-2.
• Todd Rowland Tangent Bundle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Tangent Bundle на PlanetMath.(англ.)