Локально тривіальне розшарування

Локально тривіальне розшарування — розшарування, яке локально має вигляд прямого добутку.

Нехай ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$ і ${\displaystyle F}$ є топологічними просторами. Сюр'єктивне відображення ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ називається локально тривіальним розшаруванням простору ${\displaystyle E}$ над базою ${\displaystyle B}$ з шаром ${\displaystyle F}$, якщо для всякої точки бази ${\displaystyle x\in B}$ існує окіл ${\displaystyle U\subset B}$, над яким розшарування є тривіальним. Останнє означає, що існує гомеоморфізм ${\displaystyle \phi \colon \pi ^{-1}(U)\to U\times F}$, такий що комутативна діаграма

Тут ${\displaystyle \mathrm {proj_{1}} :\,U\times F\to U}$ — проєкція добутку просторів на перший співмножник.

Простір ${\displaystyle E}$ також називається тотальним простором розшарування або розшарованим простором.

• Перетин розшарування — це відображення ${\displaystyle s:B\to E}$, таке що ${\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {id} _{B}}$. Взагалі кажучи, не кожне розшарування має перетин. Наприклад, нехай ${\displaystyle M}$ — многовид, а ${\displaystyle E\to M}$ підрозшарування векторів одиничної довжини в дотичному розшаруванні ${\displaystyle TM}$. Тоді перетин розшарування ${\displaystyle E}$ — це векторне поле без нулів на ${\displaystyle M}$. Теорема про причісуванні їжака показує, що на сфері такого поля не існує.
• Множина ${\displaystyle F_{x}=\pi ^{-1}\{x\}}$ називається шаром розшарування ${\displaystyle \pi }$ над точкою ${\displaystyle x\in B}$. Кожен шар гомеоморфний простору ${\displaystyle F}$, Тому простір ${\displaystyle F}$ називається загальним (або модельним) шаром розшарування ${\displaystyle \pi }$.
• Гомеоморфізм ${\displaystyle \varphi }$, що ототожнює обмеження розшарування ${\displaystyle \pi }$ над околом точки ${\displaystyle x}$ з деяким тривіальним розшаруванням, називається локальною тривіалізацією розшарування ${\displaystyle \pi }$ над околом точки ${\displaystyle x}$.
• Якщо ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ — покриття бази ${\displaystyle B}$ відкритими множинами, і ${\displaystyle \varphi _{\alpha }:\pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F}$ — відповідні їм відображення тривіалізації, тоді сімейство ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}}$ називається трівіалізуючим атласом розшарування ${\displaystyle \pi :E\to B}$.
• Припустимо локально тривіальне розшарування ${\displaystyle \pi :E\to B}$ забезпечено покриттям ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ бази ${\displaystyle B}$ з виділеною тривіалізацією ${\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\times F\to \pi ^{-1}(U_{\alpha })}$ і звуження будь-якого відображення звірення ${\displaystyle \phi _{\alpha }^{-1}\circ \phi _{\beta }}$ на шар належить деякій підгрупі ${\displaystyle G}$ групи всіх автоморфізмів ${\displaystyle F}$. Тоді ${\displaystyle \pi }$ називається локально тривіальним розшаруванням зі структурною групою ${\displaystyle G}$.

• Тривіальне розшарування, тобто проєкція ${\displaystyle B\times F\to B}$ на перший співмножник.
• Будь-яке накриття є локально тривіальним розшаруванням з дискретним шаром.
• Дотичне, кодотичне і тензорні розшарування над довільним многовидом локально тривіальні.
• Якщо на просторі ${\displaystyle E}$ задано неперервна вільна дія групи ${\displaystyle G}$, то природне відображення ${\displaystyle E\to E/G}$ є локально тривіальним розшаруванням. Розшарування такого типу називаються головними.
• Лист Мебіуса — простір нетривіального розшарування над колом.
• Розшарування Гопфа — це нетривіальне розшарування ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}=S^{3}/S^{1}}$. Воно не має перетинів, бо воно є головним розшаруванням зі структурною групою ${\displaystyle U(1)}$, А будь-яке головне розшарування, що допускає перетин, тривіально.
• Сконструювати розшарування можна, задавши довільно його базу (простір ${\displaystyle B}$), загальний шар (простір ${\displaystyle F}$) і відображення переходу (1-коцикл Чеха ${\displaystyle \{u_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\to \mathrm {Aut} \,F\}}$) для якого-небудь відкритого покриття простору ${\displaystyle B}$. Тоді простір ${\displaystyle E}$ формально можна отримати як множину трійок вигляду ${\displaystyle \{(\alpha ,x,f_{\alpha }):\,x\in U_{\alpha },\,f_{\alpha }\in F\}}$ з правилом ототожнення:

${\displaystyle (\alpha ,x,f_{\alpha })=(\beta ,x,f_{\beta })}$, якщо ${\displaystyle f_{\beta }=u_{\beta \alpha }f_{\alpha }}$

• Для локально тривіальних розшарувань вірна теорема про накриваючу гомотопію. Нехай задані ${\displaystyle \pi :E\to B}$ — локально тривіальне розшарування, відображення ${\displaystyle f\colon M\to B}$ і ${\displaystyle g\colon M\to E}$, так що ${\displaystyle f=\pi \circ g}$, і гомотопії ${\displaystyle {\tilde {g}}\colon M\times [0;1]\to B}$ відображення ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle {\tilde {g}}(m,0)=g(m)}$). Тоді існує гомотопія ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon M\times [0;1]\to E}$ відображення ${\displaystyle f}$, така що діаграма комутативна

${\displaystyle {\begin{matrix}M\times [0;1]\!&&{\stackrel {\tilde {f}}{\longrightarrow }}\!&&E\\\\&&{\tilde {g}}\searrow &&\downarrow \pi \\\\&&&&B\end{matrix}}}$

• Нехай є локально тривіальне розшарування ${\displaystyle E\to B}$ з шаром ${\displaystyle F}$ (іноді записуване формально як ${\displaystyle F\to E\to B}$). Тоді послідовність гомотопічних груп точна:

${\displaystyle \dots \to \pi _{2}(F)\to \pi _{2}(E)\to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)}$

• Відображення переходу задовольняють умові 1-коцикла Чеха:

Якщо ${\displaystyle x\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }}$, то ${\displaystyle u_{\beta \alpha }(x)=u_{\beta \gamma }(x)\circ u_{\gamma \alpha }(x)}$.

• Два розшарування над однією і тією ж базою і з одним і тим же загальним шаром ізоморфні тоді і тільки тоді, коли 1-коцикли Чеха, відповідні їм, когомологічні. (Зазначимо, що в разі, коли група ${\displaystyle \mathrm {Aut} \,F}$ некомутативна, одномірні когомології ${\displaystyle H^{1}(B,\mathrm {Aut} \,F)}$ не утворюють групу, а утворюють множину, на якій діє (ліворуч) група 0-коланцюгів Чеха ${\displaystyle C^{0}(B,\mathrm {Aut} \,F)}$:

  ${\displaystyle u_{\alpha \beta }'(x)=f_{\alpha }(x)\circ u_{\alpha \beta }(x)\circ f_{\beta }(x)^{-1}}$,

де ${\displaystyle \{f_{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathrm {Aut} \,F\}}$ — 0-коланцюг Чеха, що діє на 1-коцикл Чеха ${\displaystyle \{u_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \mathrm {Aut} \,F\}}$. 1-коцикли називаються когомологічними, якщо вони лежать в одній орбіті цієї дії).

• Для будь-якого локально тривіального розшарування ${\displaystyle \pi :X\to B}$ і безперервного відображення ${\displaystyle f:B'\to B}$ індуковане розшарування ${\displaystyle f^{*}(\pi )}$ є локально тривіальним.

• Локально тривіальні розшарування є окремим випадком
  • розшарувань Гуревича і
  • розшарувань Серра.
• Якщо простори ${\displaystyle E,B,F}$ — гладкі (диференційовні) многовиди, відображення ${\displaystyle \pi }$ — гладке і допускає тривіалізуючий атлас з гладкими відображеннями тривіалізації, то само розшарування називається гладким розшаруванням.
• Розшарування називається голоморфним, якщо простори ${\displaystyle E,B,F}$ — комплексні многовиди, відображення ${\displaystyle \pi }$ — голоморфне і існує трівіалізуючий атлас з голоморфними відображеннями тривіалізації.
• Головне розшарування

• Теорія Янга—Міллса

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7