Зовні-описаний чотирикутник

В Евклідовій геометрії зовні-описаний чотирикутник^[1] — опуклий чотирикутник, у якого продовження всіх чотирьох сторін є дотичними до кола поза чотирикутником. Через що також має назву зовні-дотичний чотирикутник.^{[2]:cтор.44;}

Коло, яке торкається продовжень сторін чотирикутника, називається зовні-вписаним колом (англ. exscribed circle або скорочено excircle). Його центр I_c лежить на перетині шести бісектрис кутів чотирикутника, а саме: двох бісектрис протилежних внутрішніх кутів (при вершинах А та С на мал.), двох бісектрис зовнішніх кутів при двох інших вершинах чотирикутника (при вершинах В та D на мал.), та двох бісектрис кутів, утворених при перетині прямих, що містять протилежні сторони чотирикутника.^{[3]:cтор.64}

Проте чотирикутник має інші вписані ззовні кола (англ. escribed circle), що торкаються ззовні до сторони чотирикутника та продовжень двох суміжних його сторін (ці кола не слід плутати з зовні-вписаним колом чотирикутника). Так, всі опуклі чотирикутники мають чотири вписаних ззовні кола, водночас вони можуть мати щонайбільше одне зовні-вписане коло.^{[3]:cтор.71}

В трикутнику ці два кола тотожні, та мають назву зовнівписане коло трикутника.

Всі дельтоїди є зовні описаними чотирикутниками. І одночасно в кожен дельтоїд можна вписати коло.

Паралелограми (до яких належать квадрати, ромби та прямокутники) можна вважати зовні-описаними чотирикутниками з нескінченним радіусом зовні-вписаного кола, так як вони мають властивості зовні-описаних чотирикутників, які описано нижче, але зовні-вписане коло не може бути дотичним до обох пар продовжень протилежних сторін (оскільки вони паралельні).^{[3]:cтор.76}

Опуклі чотирикутники, довжини сторін яких утворюють арифметичну прогресію, завжди є зовні описаними чотирикутниками, оскільки вони задовольняють умовам для довжин суміжних сторін, що наведені нижче.

У цьому розділі наведено необхідні та достатні умови, щоб чотирикутник був зовні-описаним.

• Опуклий чотирикутник є зовні-описаним тоді й лише тоді, коли шість бісектрис кутів чотирикутника є конкурентними, тобто, перетинаються в одній точці.

А саме: дві бісектриси протилежних внутрішніх кутів, дві бісектриси зовнішніх кутів при двох інших вершинах чотирикутника та дві бісектриси кутів, утворених при перетині прямих, що містять протилежні сторони чотирикутника.

Ця спільна точка є центром зовні-вписаного в чотирикутник кола.

• Теорема Штейнера. Опуклий чотирикутник з послідовними сторонами AB = a, BC = b, CD = c, AD = d є зовні-описаним тоді й лише тоді, коли сума двох сусідніх сторін дорівнює сумі двох інших сторін. Це було доведено Якобом Штейнером в 1846 році.^[4]

При цьому можливі два випадки:

${\displaystyle a+b=c+d}$,

(1)

або

${\displaystyle a+d=b+c.}$

(2)

У першому випадку зовні-вписане коло знаходиться з боку більшого з кутів при вершинах A або C (за межами чотирикутника), а в другому випадку воно знаходиться з боку більшого з кутів при вершинах B або D.

Поєднуючи рівності (1) та (2), отримаємо умову, що чотирикутник є зовні-описаним тоді й лише тоді, коли абсолютне значення різниць довжин його протилежних сторін є рівними для двох пар протилежних сторін,^{[3]:cтор.64}

${\displaystyle |a-c|=|b-d|.}$

Ці рівності тісно пов'язані з теоремою Піто для описаного чотирикутника, яка стверджує, що в описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.

• Теорема Уркхарта

Якщо в опуклому чотирикутнику ABCD протилежні сторони перетинаються в точках E і F, то^[5],^[6]${\displaystyle |AB|+|BC|=|AD|+|DC|\quad \Leftrightarrow \quad |AE|+|EC|=|AF|+|FC|.}$

Висновок зліва направо названо на честь Л. М. Уркхарта (1902—1966), хоча він був доведений задовго до цього Аугустусом Де Морганом у 1841 році.

Даніель Педо назвав цю теорему найелементарнішою теоремою в евклідовій геометрії, оскільки вона стосується лише прямих ліній і відстаней.^{[5]:cтор.167}

Еквівалентність була доведена Моваффаком Хаджа (Mowaffaq Hajja)^[5], що робить рівність праворуч ще однією необхідною та достатньою умовою для того, щоб чотирикутник був зовні-описаним.

Зовні-описаний чотирикутник тісно пов'язаний з описаним чотирикутником, у якого всі сторони дотичні до кола (всередині чотирикутника).

Кілька метричних характеристик описаних чотирикутників (лівий стовпчик у таблиці) мають схожі аналоги для зовні-описаних чотирикутників (середній і правий стовпчики в таблиці).^[3] Таким чином, опуклий чотирикутник має вписане коло або зовні-вписане коло поза відповідною вершиною чотирикутника тоді і тільки тоді, коли виконується будь-яка з п'яти необхідних і достатніх умов, наведених нижче.

Вписане коло	Зовні-вписане коло поза вершинами A обо C	Зовні-вписане коло поза вершинами B або D
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}+R_{2}=R_{3}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}+R_{4}=R_{2}+R_{3}}$
${\displaystyle a\cdot p_{2}\cdot q_{2}+c\cdot p_{1}\cdot q_{1}=b\cdot p_{1}\cdot q_{2}+d\cdot q_{1}\cdot p_{2}}$	${\displaystyle a\cdot p_{2}\cdot q_{2}+b\cdot p_{1}\cdot q_{2}=c\cdot p_{1}\cdot q_{1}+d\cdot q_{1}\cdot p_{2}}$	${\displaystyle a\cdot p_{2}\cdot q_{2}+d\cdot q_{1}\cdot p_{2}=b\cdot p_{1}\cdot q_{2}+c\cdot p_{1}\cdot q_{1}}$
${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{2}}}={\frac {1}{h_{3}}}+{\frac {1}{h_{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{4}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{3}}}}$
${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}\cdot \tan {\frac {z}{2}}=\tan {\frac {y}{2}}\cdot \tan {\frac {w}{2}}}$	${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}\cdot \tan {\frac {w}{2}}=\tan {\frac {y}{2}}\cdot \tan {\frac {z}{2}}}$	${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}\cdot \tan {\frac {y}{2}}=\tan {\frac {z}{2}}\cdot \tan {\frac {w}{2}}}$
${\displaystyle r_{1}\cdot r_{3}=r_{2}\cdot r_{4}}$	${\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}=r_{3}\cdot r_{4}}$	${\displaystyle r_{1}\cdot r_{4}=r_{2}\cdot r_{3}}$

В наведених рівностях: Точка P — точка перетину діагоналей чотирикутника ABCD.

• R₁, R₂, R₃,R₄ — радіуси кіл, описаних навколо трикутників △ABP, △BCP, △CDP, △DAP;
• h₁, h₂, h₃, h₄ — висоти цих трикутників, тобто відстані від точки P до сторін a = AB, b = BC, c = CD, d = DA відповідно;
• p₁, p₂, та q₁, q₂, — відстані до точки P від вершин A, С та B, D відповідно;
• x, y, z, w — кути ∠ABD, ∠ADB, ∠BDC, ∠DBC відповідно;
• r₁, r₂, r₃, r₄ — радіуси кіл, вписаних ззовні в чотирикутник, які дотикаються ззовні до сторін a, b, c, d відповідно та продовжень двох суміжних сторін чотирикутника.

Пряма Ньютона

Нехай чотирикутник ABCD є описаним, або зовні-описаним. Якщо точки M та N — середини його діагоналей, а точка О — центр вписаного кола (або зовні-вписаного), то точки M, N, O — колінеарні, тобто лежать на одній прямій.^{[7]:cтор.2 Лемма3}

Площу зовні-описаного чотирикутника ABCD зі сторонами a, b, c, d можна знайти за формулою:

${\displaystyle \displaystyle S={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$

Ця формула ідентична до формули площі описаного чотирикутника, і таким же чином виводиться з формули Бретшнайдера.

Радіус зовні-вписаного кола чотирикутника ABCD зі сторонами a, b, c, d можна знайти за формулою: .^{[3]:cтор.76}

${\displaystyle r={\frac {S}{|a-c|}}={\frac {S}{|b-d|}}}$

де S площа зовні-описаного чотирикутника.

Для зовні-описаного чотирикутника радіус зовні-вписаного кола максимальний, якщо чотирикутник є також і вписаним, тобто для зовні-біцентричного чотирикутника.

Також ці формули показують, що паралелограми (також і ромби, квадрати та прямокутники) мають нескінченний радіус зовні-вписаного кола, позаяк їх протилежні сторони рівні.

Якщо зовні-описаний чотирикутник є одночасно і вписаним, тобто має описане коло, то він називається зовні-біцентричним чотирикутником.^[2]

Позаяк в цього чотирикутника сума протилежних кутів дорівнює 180°, то: ${\displaystyle \sin {\frac {B+D}{2}}=\sin 90^{\circ }=1.}$

А отже, його площу можна знайти за формулою:

${\displaystyle \displaystyle S={\sqrt {abcd}}}$

Ця формула така ж як і для біцентричного чотирикутника.

Якщо x — відстань між центром описаного кола O та центром зовні-вписаного кола I_c , то^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

де R — радіус описаного кола, а r — радіус зовні-вписаного кола.

Це те ж сама рівність, що і в теоремі Фусса для біцентричного чотирикутника. Однак, вирішуючи квадратне рівняння відносно х, потрібно обирати інший корінь, ніж той, що обирається для біцентричного чотирикутника. Таким чином, для зовні-описаного чотирикутника:^[2]

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}+r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}$

З цієї формули випливає, що

${\displaystyle \displaystyle x>R+r,}$

це означає, що описане коло і зовні-вписане коло ніколи не можуть перетнутися.

• Вписаний чотирикутник
• Описаний чотирикутник
• Біцентричний чотирикутник

Extangential Quadrilateral На dynamicmathematicslearning.com