Квадратична формула

В елементарній алгебрі, квадратична формула (англ. Quadratic formula) — це вираз замкненої форми, що описує розв'язки задачі квадратного рівняння. Інші способи розв'язання квадратних рівнянь, такі як виділення квадрату, дають однакові рішення.

Дано загальне квадратне рівняння виду ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$, де ${\displaystyle x}$ представляє невідоме, а коефіцієнти ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle c}$ представляють відомі дійсні або комплексні числа при ${\displaystyle a\neq 0}$. Значення ${\displaystyle x}$, яке називається коренем або нулем, можна знайти використовуючи квадратичну формулу,

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

де символ плюс-мінус «${\displaystyle \pm }$» вказує на те, що рівняння має два корені.^[1] Ось вони, окремо написані:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\qquad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Частина ${\displaystyle \textstyle \Delta =b^{2}-4ac}$ відома як дискримінант квадратного рівняння.^[2] Якщо коефіцієнти ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ та ${\displaystyle c}$ є дійсними числами тоді при ${\displaystyle \Delta >0}$, рівняння має два різні дійсні корені; при ${\displaystyle {1}}$, рівняння має один дійсний повторюваний корінь; і при ${\displaystyle \Delta <0}$, рівняння не має дійсних коренів, але має два різні комплексні корені, які є комплексно спряженими один одному.

Геометрично, корені представляють собою значення ${\displaystyle x}$, при яких графік квадратичної функції ${\displaystyle \textstyle y=ax^{2}+bx+c}$, парабола, перетинає вісь ${\displaystyle x}$: х-перетинів графіку.^[3] Квадратична формула також може бути використана для визначення вісь симетрії параболи.^[4]

Стандартний спосіб виведення квадратичної формули полягає в застосуванні методу виділення квадрату до загального квадратного рівняння ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$.^[5][6][7][8] Ідея полягає в тому, щоб перетворити рівняння до вигляду ${\displaystyle \textstyle (x+k)^{2}=s}$ для деяких виразів ${\displaystyle k}$ та ${\displaystyle s}$, записаних через коефіцієнти, взяти квадратний корінь з обох сторін, а потім виділити ${\displaystyle x}$.

Почнемо з ділення рівняння на квадратичний коефіцієнт ${\displaystyle a}$, що дозволено, оскільки ${\displaystyle a}$ не є нулем. Потім ми віднімаємо постійний член ${\displaystyle c/a}$, щоб виділити його в правій частині:

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2{\vphantom {|}}}+bx+c&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}.\end{aligned}}}$

Ліва частина тепер має вигляд ${\displaystyle \textstyle x^{2}+2kx}$, і ми можемо «виділити квадрат», додавши константу ${\displaystyle \textstyle k^{2}}$ для отримання двочлена в квадраті ${\displaystyle \textstyle x^{2}+2kx+k^{2}={}}$​${\displaystyle \textstyle (x+k)^{2}}$. У цьому прикладі ми додаємо ${\displaystyle \textstyle (b/2a)^{2}}$ в обидві сторони, щоб можна було факторизувати ліву частину (див. зображення):

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\\[5mu]\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.\end{aligned}}}$

Оскільки ліва частина тепер є ідеальним квадратом, ми можемо легко взяти квадратний корінь з обох сторін:

${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.}$

Нарешті, віднімання ${\displaystyle b/2a}$ з обох сторін для виділення ${\displaystyle x}$ дає квадратичну формулу:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Квадратична формула може бути еквівалентно записана за допомогою різних альтернативних виразів, наприклад

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}},}$

який можна отримати, спочатку розділивши квадратне рівняння на ${\displaystyle 2a}$, в результаті чого отримаємо ${\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {b}{2a}}x+{\tfrac {c}{2a}}=0}$, а потім підставляємо нові коефіцієнти у стандартну квадратичну формулу. Оскільки цей варіант дозволяє повторно використовувати проміжно розраховану кількість ${\displaystyle {\tfrac {b}{2a}}}$, це може дещо зменшити кількість арифметики.

Менш відома квадратична формула, вперше згадана Джуліо Фаньяно,^[9] описує ті ж самі корені за допомогою рівняння з квадратним коренем у знаменнику (припускаючи, що ${\displaystyle c\neq 0}$):

${\displaystyle x={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}$

Тут знак мінус-плюс «${\displaystyle \mp }$» вказує на те, що двома коренями квадратного рівняння, в тому ж порядку, що і у стандартної квадратичної формули, є

${\displaystyle x_{1}={\frac {2c}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}},\qquad x_{2}={\frac {2c}{-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}$

Цей варіант було жартома названо формулою «citardauq» («quadratic» (англ. квадратична) задом наперед).^[10]

Коли ${\displaystyle -b}$ має протилежний знак як ${\displaystyle \textstyle +{\sqrt {b^{2}-4ac}}}$ або ${\displaystyle \textstyle -{\sqrt {b^{2}-4ac}}}$, віднімання може призвести до нищівного скасування, що призведе до низької точності числових розрахунків; вибір між варіантом квадратичної формули з квадратним коренем у чисельнику або знаменнику залежно від знаку ${\displaystyle b}$ дозволяє уникнути цієї проблеми. Див. #Числовий розрахунок § Зауваження нижче.

Ця версія квадратичної формули використовується у методі Мюллера для знаходження коренів загальних функцій. Її можна отримати за стандартною формулою з тотожності ${\displaystyle x_{1}x_{2}=c/a}$, одної з теорем Вієта. Крім того, її можна отримати, розділивши кожну частину рівняння ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$ на ${\displaystyle \textstyle x^{2}}$, щоб отримати ${\displaystyle \textstyle cx^{-2}+bx^{-1}+a=0}$, застосувавши стандартну формулу для знаходження двох коренів ${\displaystyle \textstyle x^{-1}\!}$, а потім, взявши взаємність, знайти корені ${\displaystyle x}$ початкового рівняння.

• Основна теорема алгебри
• Теорема Вієта

• Smith, David Eugene (1923), History of Mathematics, т. 2, Boston: Ginn
• Irving, Ron (2013), Beyond the Quadratic Formula, MAA, ISBN 978-0-88385-783-0