Рівняння п'ятого степеня

Рівняння п'ятого степеня є результатом прирівнювання многочлена п'ятого степеня до нуля. Воно має загальний вигляд

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.}$

Оскільки найвищий степінь є непарним, то рівняння (як і кубічне рівняння) має хоча б 1 дійсний корінь.

Нерозв'язними в радикалах вже є досить прості рівняння 5-го степеня, як:

${\displaystyle x^{5}\pm x-1=0}$

Завдання. Алгебраічне рівняння п'ятого порядку x^5-(p15)*x^4+(p25)*x^3-(p35)*x^2+(p45)*x^1 +(p55)= (x-(x15))*(x-(x25))*(x-(x35))*(x-(x45))*(x-(x55))=0 розв'язне в радикалах виду

5*(x15)=(p15)+(R14)+(R24)+(R34)+(R44), 5*(x25)=(p15)-4*(R14)+(R24)+(R34)+(R44), 5*(x35)=(p15)+(R14)-4*(R24)+(R34)+(R44), 5*(x45)=(p15)+(R14)+(R24)-4*(R34)+(R44), 5*(x55)=(p15)+(R14)+(R24)+(R34)-4*(R44),

4*(R14)^5=(p14)+(R13)+(R23)+(R33), 4*(R24)^5=(p14)-3*(R13)+(R23)+(R33), 4*(R34)^5=(p14)+(R13)-3*(R23)+(R33), 4*(R44)^5=(p14)+(R13)+(R23)-3*(R33),

3*(R13)^4=(p13)+(R12)+(R22), 3*(R23)^4=(p13)-2*(R12)+(R22), 3*(R33)^4=(p13)+(R12)-2*(R22),

2*(R12)^3=(p12)+(R11), 2*(R22)^3=(p12)-(R11),

1*(R11)^2=(p12)^2-4*(p22).

• Зведена форма: лінійним перетворенням Чірнхауса x = y − b/5a можна позбутися 4-го степеня і привести рівняння до:

${\displaystyle y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0}$.

• Первинна форма: квадратичним перетворенням Чірнхауса ${\displaystyle y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,}$ можна позбутися 4-го та 3-го степенів:

${\displaystyle y^{5}+py^{2}+qy+r=0,}$

коефіцієнти α та β можуть бути отримані з результанта чи тотожностей Ньютона.

• Форма Брінга—Жерарда: перетворенням Чірнхауса 4-го степеня ${\displaystyle v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \,}$ можна привести рівняння до вигляду:

${\displaystyle v^{5}+pv+q=0.}$

Є декілька параметричних представлень для розв'язних рівнянь 5-го степеня (в формі Брінга—Жерарда):

${\displaystyle x^{5}+ax+b=0.\,}$

Результат другої половини 19-го століття, John Stuart Glashan, George Paxton Young та Карл Рунге:

незвідне рівняння 5-го степеня з раціональними коефіцієнтами є розв'язним тоді й лише тоді, якщо

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0}$

де μ та ν є раціональними.

В 1994, Blair Spearman та Kenneth S. Williams дали ще одне представлення,

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}}=0.}$

Корені многочлена

${\displaystyle x^{5}+px+q\,}$

Можуть бути отримані використовуючи радикал Брінга:

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{-{\frac {p}{5}}}}\,\operatorname {BR} \left(-{\frac {1}{4}}\left(-{\frac {5}{p}}\right)^{\frac {5}{4}}q\right)}$

• Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)
• Weisstein, Eric W. Рівняння п'ятого степеня(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.