Мрія другокурсника (математична тотожність)

Мрія другокурсника
Названо на честь	мрія першокурсника
Формула	${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{-x}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}}$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

У математиці мрія другокурсника або мрія софомора (англ. sophomore — студент-другокурсник у США) — пара тотожностей:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}}$

Тотожності відкрив 1697 року Йоганн Бернуллі. Числові значення цих констант становлять приблизно 1.291285997 і 0.7834305107, відповідно.

Назва «мрія другокурсника» з'явилась пізніше. Вона є відсиланням до «мрії першокурсника», яка означає жартівливу хибну тотожність ${\displaystyle (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}}$. Однак, на відміну від неї, мрія другокурсника — пара істинних тотожностей^[1].

Доведення цих тотожностей аналогічні, тому тут наведемо тільки одне з них.

Спочатку, подамо ${\displaystyle x^{x}}$ як:

${\displaystyle x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}}$.

Тоді

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\int \limits _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx}$.

За властивістю рівномірної збіжності степеневих рядів можна поміняти місцями підсумовування й інтеграл. Одержимо:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx}$.

Щоб отримати наведені вище інтеграли, замінимо змінну ${\displaystyle x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right)}$. Після цієї заміни межі інтеграла перетворюються на ${\displaystyle 0<u<\infty }$, що дає нам:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du}$.

За інтегральною тотожністю Ейлера для гамма-функції:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du=n!}$,

тому:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}}$.

Підсумувавши і змінивши індексацію (вона починається з n=1, а не з n=0), отримаємо шукану тотожність.

Початкове доведення, яке дав Бернуллі^[2] і подане в сучасному вигляді^[3], відрізняється від наведеного вище в частині розрахунку інтеграла ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,dx}$, але в іншому ідентичне за винятком технічних деталей. Замість інтегрування методом підстановки, використовуючи гамма-функцію (яка на момент доведення ще не була відома), Бернуллі використав інтегрування частинами.