Нільпотентний елемент або нільпотент — елемент кільця, що задовольняє рівності для деякого натурального .
Мінімальне значення , для якого справедлива ця рівність, називається індексом нільпотентності елементу .
Приклади
- У кільці лишків за модулем
, де — деяке просте число, клас лишків числа — нільпотент індексу ,
- Матриця

- є нільпотентом індексу
у кільці -матриць.
Властивості
- Якщо
— нільпотентний елемент індексу n, то справедлива рівність:
,
- тобто елемент
оборотний і обернений до нього елемент записується у вигляді многочлена від .
- Сума двох нільпотентних елементів, що комутують між собою є нільпотентом.
- Нехай
деяке кільце, a два комутуючі між собою нільпотентні елементи. Нехай такі, що і . З комутативності і можна використати формулу бінома Ньютона для :

- При
маємо , тоді і доданки, що відповідають тим індексам рівні нулю. Однак при , одержується . Тобто всі доданки є нульовими і є нільпотентним елементом.
- Всі нільпотентні елементи комутативного кільця утворюють ідеал
, що називається нільрадикалом кільця збіжний з перетином всіх простих ідеалів. Кільце вже не має нільпотентних елементів, відмінних від нуля.
- В попередньому пункті доводиться, що нільрадикал є замкнутим щодо операції додавання. Якщо
— деякий елемент кільця і — елемент нільрадикалу такий, що , тоді тобто , що доводить твердження. Доведення того, що нільрадикал рівний перетину всіх протих ідеалів дано в статті «Простий ідеал».
- При інтерпретації комутативного кільця як кільця функцій на просторі його спектрі нільпотентам відповідають функції, тотожно рівні нулю.
Див. також
Література
|