Уніпотентний елемент

В математиці елемент деякого кільця називається уніпотентним, якщо він є сумою одиниці кільця і нільпотентного елемента. Важливим прикладом є уніпотентні матриці і лінійні оператори у скінченновимірних векторних просторах.

Оскільки кожна алгебрична лінійна група є ізоморфною замкнутій підгрупі загальної лінійної групи, через розклад Жордана — Шевальє поняття уніпотентних елементів можна ввести для довільної лінійної алгебричної групи. Ці елементи та підгрупи, усі елементи яких є уніпотентними, відіграють важливу роль у вивченні лінійних алгебричних груп і алгебричних многовидів загалом.

Нехай ${\displaystyle R}$ є кільцем з одиничним елементом ${\displaystyle 1}$. Елемент ${\displaystyle r\in R}$ називається уніпотентним, якщо ${\displaystyle r-1}$ є нільпотентним елементом, тобто якщо

${\displaystyle (r-1)^{n}=0}$

для деякого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Уніпотентним елементом лінійної алгебричної групи ${\displaystyle G}$, називається елемент, що збігається з уніпотентною компонентою ${\displaystyle g_{u}}$ свого розкладу Жордана — Шевальє в групі ${\displaystyle G}$.

Якщо реалізувати ${\displaystyle G}$ як замкнуту підгрупу групи ${\displaystyle GL(V)}$ автоморфізмів скінченновимірного векторного простору ${\displaystyle V}$ над основним алгебрично замкнутим полем ${\displaystyle K}$, то уніпотентний елемент ${\displaystyle g}$ — це елемент, для якого ${\displaystyle (1-g)^{n}=0,\;\;n=\dim V}$, або елемент, матриця якого в деякому базисі простору ${\displaystyle V}$ є уніпотентною матрицею.

Якщо ${\displaystyle \operatorname {char} K=0}$, то всякий уніпотентний елемент ${\displaystyle g}$ має нескінченний порядок. В цьому випадку найменша алгебрична підгрупа в ${\displaystyle G}$, що містить ${\displaystyle g}$, є одновимірною уніпотентною групою.

Якщо ж ${\displaystyle \operatorname {char} K=p>0}$, то ${\displaystyle g}$ буде уніпотентним елементом тоді і тільки тоді, коли він має скінченний порядок, рівний ${\displaystyle p^{t}}$ для деякого ${\displaystyle t\geqslant }$. Зв'язана група не містить уніпотентних елементів тоді і тільки тоді, коли вона є алгебричним тором.

• Множина ${\displaystyle U(G)}$ всіх уніпотентних елементів у ${\displaystyle G}$ є замкнутою в топології Зариського. Якщо ${\displaystyle G}$ визначена над підполем ${\displaystyle k\subset K}$ то і ${\displaystyle U(G)}$ є визначеною над ${\displaystyle k}$.
• Многовид ${\displaystyle U(G)}$ є інваріантним щодо внутрішніх автоморфізмів групи ${\displaystyle G}$.
• Для зв'язаної і напівпростої групи ${\displaystyle G}$ кількість класів спряженості уніпотентних елементів є скінченною.
• Для кожної простої групи ${\displaystyle G}$ відомий їх повний опис класів суміжності уніпотентних елементів, а також їх централізаторів (^[1]). У класичних групах такий опис одержується з використанням жорданової форми матриці ^[2].
• Наприклад, для групи ${\displaystyle G=SL_{n}(K)}$ існує бієкція між класами спряженості уніпотентних елементів і розбиттями ${\displaystyle (m_{1},\ldots ,m_{s})}$ числа ${\displaystyle n}$ у суму додатних цілих доданків ${\displaystyle m_{i},\;\;m_{1}\geqslant m_{2}\geqslant \ldots \geqslant m_{s}}$. Якщо ${\displaystyle \lambda =(m_{1},\ldots ,m_{s})}$ і ${\displaystyle \mu =(l_{1},\ldots ,l_{t})}$ — два розбиття числа ${\displaystyle n}$, то клас, який відповідає ${\displaystyle \lambda }$ містить в своєму замиканні клас, який відповідає ${\displaystyle \mu }$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \sum _{i=1}^{j}m_{j}\geqslant \sum _{i=1}^{j}l_{j}}$ для всіх ${\displaystyle j}$. Розмірність класу, що відповідає розбиттю ${\displaystyle (m_{1},\ldots ,m_{s})}$, як алгебричного многовида, дорівнює ${\displaystyle n^{2}-\sum _{ij}\min(m_{i},m_{j})}$.
• Множина всіх регулярних точок алгебричного многовида ${\displaystyle U(G)}$ утворює один клас спряженості уніпотентних елементів — регулярні уніпотентні елементи. Якщо ${\displaystyle G}$ є простою, то многовид особливих точок многовида ${\displaystyle U(G)}$ також містить відкритий в топології Зариського клас спряженості уніпотентних елементів — субрегулярні уніпотентні елементи (^[3] ).

Підгрупа ${\displaystyle U}$ лінійної алгебричної групи ${\displaystyle G}$, що складається з уніпотентних елементів називається уніпотентною групою.

• Прикладом уніпотентної групи є група ${\displaystyle U_{n}(K)}$ всіх верхніх трикутних матриць з ${\displaystyle GL_{n}(K)}$ з одиницями на діагоналі. Якщо ${\displaystyle k}$ — підполе поля ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle U}$ — уніпотентна підгрупа в ${\displaystyle GL_{n}(k)}$ то ${\displaystyle U}$ є спряженою над ${\displaystyle k}$ з деякою підгрупою групи ${\displaystyle U_{n}(k)}$. Зокрема, всі елементи з ${\displaystyle U}$ мають у ${\displaystyle V}$ спільний ненульовий власний вектор, a ${\displaystyle U}$ є нільпотентною групою. Тобто з точністю до ізоморфізму уніпотентні групи це підгрупи груп ${\displaystyle U_{n}(K)}$ при різних ${\displaystyle n}$.
• Для комутутивної лінійної алгебричної групи множина ${\displaystyle U(G)}$ всіх уніпотентних елементів у ${\displaystyle G}$ є замкнутою алгебричною підгрупою, тобто вона є уніпотентною групою.

• У будь-якій лінійній алгебричній групі ${\displaystyle H}$ є єдина зв'язана нормальна уніпотентна підгрупа ${\displaystyle R_{u}(H)}$, яка називається уніпотентним радикалом. Факторгрупа ${\displaystyle H/R_{u}(H)}$ є редуктивною групою. Це до певної міри зводить вивчення будови будь-якої групи до вивчення будови редуктивних груп і уніпотентних груп. На відміну від редуктивного випадку класифікація алгебричних уніпотентна група невідома.
• Будь-яка підгрупа і довільна факторгрупа алгебричної уніпотентної групи знову є уніпотентною групою.
• Якщо ${\displaystyle \operatorname {char} K=0}$, то ${\displaystyle U}$ завжди є зв'язаною, причому експоненціальне відображення ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {u}}\to U}$ (де ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$ — алгебра Лі групи ${\displaystyle U}$) є ізоморфізмом алгебричних многовидів.
• Якщо ж ${\displaystyle \operatorname {char} K=p>0}$, то існують незв'язані алгебричні уніпотентні групи: наприклад, адитивна група ${\displaystyle G_{a}}$ основного поля. (Її можна ототожнити з ${\displaystyle U_{2}(K)}$) є ${\displaystyle p}$-групою і тому містить скінченну уніпотентну групу.
• У зв'язаній уніпотентній групі ${\displaystyle U}$ завжди є така послідовність нормальних дільників що всі фактори ${\displaystyle U_{i}/U_{i+1}}$ є одновимірними. Будь-яка зв'язана алгебрична одновимірна уніпотентна група є ізоморфною ${\displaystyle G_{a}}$. Це зводить вивчення зв'язаних алгебричних уніпотентних груп до опису кратних розширень груп типу ${\displaystyle G_{a}}$.
• Якщо ${\displaystyle H\subset U}$ — зв'язані алгебричні уніпотентні групи то многовид ${\displaystyle U/H}$ є ізоморфним афінному простору. Будь-яка орбіта алгебричної уніпотентної групи автоморфізмів афінного алгебричного многовиду ${\displaystyle X}$ є замкнутою в ${\displaystyle X}$ ^[4].

• Якщо ${\displaystyle \operatorname {char} K=0}$, то всі комутативні групи є ізоморфними ${\displaystyle G_{a}\times G_{a}\times \ldots G_{a}}$ і при цьому ізоморфізм задається експоненціальним відображенням ^[5].
• У випадку ${\displaystyle \operatorname {char} K=p>0}$, зв'язані комутативні алгебричні уніпотентні групи ${\displaystyle U}$ — це зв'язані комутативні алгебричні групи, які є ${\displaystyle p}$-групами. В цьому випадку ${\displaystyle U}$ є ізоморфною ${\displaystyle G_{a}\times G_{a}\times \ldots G_{a}}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle g^{p}=e}$ для будь-якого ${\displaystyle g\in G}$. У загальному випадку ${\displaystyle U}$ є ізогенною добутку так званих груп Вітта ^[6].

• Нільпотентний елемент
• Розклад Жордана — Шевальє
• Уніпотентна матриця

• Борель А. Линейные алгебраические группы. — М.: Мир, 1972.
• Armand Borel, R. W. Carter, Charles W. Curtis, Nagayoshi Iwahori, T. A. Springer, Robert Steinberg (1970), Seminar on Algebraic Groups and Related Finite Groups, Lecture Notes in Mathematics, т. 131, Springer, ISBN 9783540049203
• Tatsuji Kambayashi, Masayoshi Miyanishi, Mitsuhiro Takeuchi (1974), Unipotent Algebraic Groups, Lecture Notes in Mathematics, т. 414, Springer-Verlag, ISBN 9780387069609
• Serre, Jean-Pierre (1988), Algebraic groups and class fields, Graduate Texts in Mathematics, т. 117, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96648-9
• Slodowy, Peter (1980), Simple singularities and simple algebraic groups, Lecture Notes in Mathematics, т. 815, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0090294, ISBN 978-3-540-10026-3, MR 0584445
• Spaltenstein, Nicolas (1982), Classes unipotentes et sous-groupes de Borel, Lecture Notes in Mathematics, т. 946, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-11585-4, MR 0672610
• Steinberg, Robert (1974), Conjugacy classes in algebraic groups., Lecture Notes in Mathematics, т. 366, Berlin-New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0067854, ISBN 978-3-540-06657-6, MR 0352279