Секвенційний простір

У топології секвенційним простором називається топологічний простір у якому властивість збіжності чи розбіжності послідовностей повністю визначає топологію. Поняття вперше формально ввів американський математик Стен Френклін у 1965 році.

Нехай X — топологічний простір.

• Підмножина U простору X називається секвенційно відкритою якщо для кожної послідовності (x_n) точок X, що збігається до точки з U існує N таке, що x_n є точкою U для всіх n ≥ N.)
• Підмножина F простору X називається секвенційно замкнутою якщо для кожної послідовності (x_n) точок F, що збігається до x, точка x теж належить F.

• Доповнення секвенційно відкритої множини є секвенційно замкнутою множиною і навпаки.

Нехай U є секвенційно відкритою, F= X\U є її доповненням і (x_n)_n∈ℕ є збіжною послідовністю точок із F. Якщо ${\displaystyle x_{n}\,{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\,x\,\in U}$, тоді ${\displaystyle \exists \ N\in \mathbb {N} ,\ \left\lbrace x_{k},\ k\geq N\right\rbrace \subset U}$. Це суперечить тому, що всі x_n є елементами F. Тобто кожна така послідовність збігається до точки F і тому F є секвенційно замкнутою.

Навпаки, нехай F є секвенційно замкнутою і U= X\F її доповненням. Нехай також (x_n)_n∈ℕ є послідовністю у X для якої ${\displaystyle \lim _{n\to \mathbb {N} }x_{n}=x\,\in U}$ і припустимо, що для будь-якого ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,\ \left\lbrace x_{k},\ k\geq N\right\rbrace \not \subseteq U}$, тобто ${\displaystyle \forall \ N\in \mathbb {N} ,\ \exists \ k_{N}\geq N,\ x_{k_{N}}\in F=X\backslash U}$. Розглянемо підпослідовність таких елементів ${\displaystyle x_{k_{N}}}$ (їх очевидно має бути нескінченно багато). Ця підпослідовність є збіжною як підпослідовність збіжної послідовності, і всі її елементи належать F. Томі і границя має бути елементом F, що суперечить тому, що x∈U. Відповідно всі елементи послідовності x_n, починаючи з деякого належать U і тому U є секвенційно відкритою множиною.

• Кожна відкрита підмножина у X є секвенційно відкритою і кожна замкнута підмножина є секвенційно замкнутою.

Нехай (x_n)_n∈ℕ є послідовністю у X, що збігається до точки x∈U. Оскільки U є відкритою множиною, то вона є околом точки x і, за означенням збіжності послідовностей, існує ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,\ \left\lbrace x_{k},\ k\geq N\right\rbrace \subset U}$. Це доводить твердження для відкритих множин. Твердження для замкнутих множин випливає із того, що доповнення замкнутої множини є відкритою множиною, а доповнення секвенційно замкнутої — секвенційно відкритою.

• Секвенційно відкриті множини утворюють топологію, яка є сильнішою від початкової і має однакові властивості щодо збіжності послідовностей.

Порожня множина і X є очевидно секвенційно відкритими множинами. Нехай(U_i)_i∈I є сім'єю секвенційно відкритих підмножин, ${\displaystyle U=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ і (x_n)_n∈ℕ — послідовність у X, що збігається до x∈U. Якщо x є елементом об'єднання, то ${\displaystyle \exists \ i_{0}\in I,\ x\in U_{i_{0}}}$ і, згідно означення секвенційно відкритих множин, усі елементи послідовності x_n, починаючи з деякого, належать U_i0. Якщо ${\displaystyle V=\bigcap _{i=1}^{n}U_{i}}$ є скінченним перетином секвенційно відкритих підмножин, то послідовність, що збігається до елемента x∈V задовольняє умови ${\displaystyle \ \forall \ i\in \mathbb {N} ,\ 1\leq i\leq n,\ \exists \ N_{i}\in \mathbb {N} ,\ \left\lbrace x_{k},\ k\geq N_{i}\right\rbrace \subset U_{i}}$. Якщо взяти ${\displaystyle N=\max _{1\leq i\leq n}N_{i}}$, то ${\displaystyle \left\lbrace x_{k},\ k\geq N\right\rbrace \subset V}$.

Секвенційним простором називається топологічний простір X, що задовольняє еквівалентні умови:

1. Кожна секвенційно відкрита підмножина простору X є відкритою множиною.
2. Кожна секвенційно замкнута підмножина простору X є замкнутою множиною.
3. Для кожної підмножини S ⊆ X, яка не є замкнутою, тобто ${\displaystyle {\overline {S}}\backslash S\neq \emptyset }$, існує послідовність ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in S^{\mathbb {N} }}$ елементів S, що збігається до елемента ${\displaystyle {\overline {S}}\backslash S}$.^[1]

Тобто початкову топології можна відтворити на основі інформації про те які послідовності є збіжними.

Еквівалентність перших двох умов відразу випливає з того, що доповнення замкнутої множини є відкритою множиною, а доповнення секвенційно замкнутої — секвенційно відкритою.

(${\displaystyle 2.\Leftrightarrow 3.}$): Якщо S не є замкнутою, то S не є секвенційно замкнутою і тому існує послідовність елементів S, що збігається до точки, що не належить S. Оскільки ця точка є точкою дотику для S, то вона належить замиканню S.

Навпаки, припустимо, що виконується умова 3 і підмножина S:=F є секвенційно замкнутою але не замкнутою. Згідно умови 3 тоді існує послідовність у F, що збігається до точки у ${\displaystyle {\overline {S}}\backslash S={\overline {F}}\backslash F}$, тобто гранична точка не належить F. Це суперечить секвенційній замкнутості F.

Іншими еквівалентними умовами є:

• X є фактор-простором, топологічного простору, що задовольняє першу аксіому зліченності.
• X є фактор-простором метричного простору.
• Для кожного топологічного простору Y відображення f : X → Y є неперервним якщо і тільки якщо для кожної послідовності точок (x_n) у X, що збігається до x, послідовність (f(x_n)) збігається до f(x).

Для підмножини ${\displaystyle A\subseteq X}$ простору ${\displaystyle X}$, секвенційним замиканням ${\displaystyle [A]_{\text{seq}}}$ називається множина

${\displaystyle [A]_{\text{seq}}=\{x\in X:\exists \{a_{n}\}\to x,a_{n}\in \}}$

тобто множина всіх точок ${\displaystyle x\in X}$ для яких існує послідовність у ${\displaystyle A}$, що збігається до ${\displaystyle x}$. Оператор

${\displaystyle [\;]_{\text{seq}}:A\mapsto [A]_{\text{seq}}}$

називається оператором секвенційного замикання.

Оператор секвенційного замикання має багато властивостей спільних із оператором замикання:

• ${\displaystyle [\varnothing ]_{\text{seq}}=\varnothing .}$
• ${\displaystyle \subseteq [A]_{\text{seq}}\subseteq {\overline {A}}}$ і тому секвенційне замикання замкнутої множини є тією ж множиною.

${\displaystyle {\overline {A}}}$ позначає замикання множини ${\displaystyle A}$.

• ${\displaystyle [A\cup B]_{\text{seq}}=[A]_{\text{seq}}\cup [B]_{\text{seq}}}$ для всіх ${\displaystyle A,B\subseteq X}$.

Проте, на відміну від звичайного замикання, оператор секвенційного замикання загалом не є ідемпотентним, тобто можливі випадки коли

${\displaystyle [A]_{\text{seq}}\subsetneq {\Big [}[A]_{\text{seq}}{\Big ]}_{\text{seq}},}$

і також ${\displaystyle [A]_{\text{seq}}\neq {\overline {A}}}$, навіть коли ${\displaystyle A}$ є підмножиною секвенційного простору ${\displaystyle X}$.

Ще одним варіантом є трансфінітне секвенційне замикання. Для його означення нехай спершу ${\displaystyle A_{0}}$ є рівним ${\displaystyle A}$ і для звичайного ординала ${\displaystyle A_{\alpha +1}}$ є рівним ${\displaystyle [A_{\alpha }]_{\text{seq}}.}$ Для граничного ординала ${\displaystyle \alpha }$ за означенням ${\displaystyle A_{\alpha }}$ є рівним ${\displaystyle \bigcup _{\beta <\alpha }A_{\beta }}$. Тоді існує найменший ординал ${\displaystyle \alpha }$ для якого ${\displaystyle A_{\alpha }=A_{\alpha +1}}$ і тоді ${\displaystyle A_{\alpha }}$ називається трансфінітним секвенційним замиканням множини ${\displaystyle A}$ (зокрема завжди ${\displaystyle \alpha \leq \omega _{1}}$, де ${\displaystyle \omega _{1}}$ є першим незліченним ординалом). Трансфінітне секвенційне замикання є очевидно ідемпотентним.

Найменше ${\displaystyle \alpha }$ для якого ${\displaystyle A_{\alpha }={\overline {A}}}$ для всіх ${\displaystyle A\subseteq X}$ називається секвенчійним порядком простору X.^[2] Секвенційний порядок є визначеним для всіх секвенційних просторів.

Топологічний простір у якому секвенційне замикання будь-якої множини є рівним її замиканню називається простором Фреше. Тобто у цьому просторі

${\displaystyle [A]_{\text{seq}}={\overline {A}}\,}$

для всіх ${\displaystyle A\subseteq X}$.

Топологічний простір є простором Фреше, якщо і тільки якщо кожен його підпростір є секвенційним простором.

Кожен топологічний простір, що задовольняє першу аксіому зліченності є простором Фреше. Дійсно, нехай точка ${\displaystyle x\in {\bar {A}}}$ має зліченну базу околів ${\displaystyle U_{i}.}$ Для кожного ${\displaystyle i=1,2,\ldots }$ можна вибрати точку ${\displaystyle x_{i}\in A\cap U_{1}\cap U_{2}\cap \ldots \cap U_{i}.}$ Тоді послідовність ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ збігається до ${\displaystyle x.}$

Очевидно, що кожен простір Фреше є секвенційним простором. Обернене твердження не є справедливим.^[3][4]

Топологічний простір ${\displaystyle X}$ називається сильним простором Фреше якщо для кожної точки ${\displaystyle x\in X}$ і кожної послідовності ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ підмножин простору ${\displaystyle X}$ для якої ${\displaystyle x\in \bigcap _{n}{\overline {A_{n}}}}$ , існують точки ${\displaystyle x_{1}\in A_{1},x_{2}\in A_{2},\ldots }$ такі, що ${\displaystyle \{x_{n}\}\to x}$.

• Кожен простір, що задовольняє першу аксіому зліченності є секвенційним. Як наслідок простори, що задовольняють другу аксіому зліченності, метричні простори і дискретні простори є секвенційними. Інші приклади можна отримати застосувавши категорні властивості секвенційних просторів. Наприклад кожен CW-комплекс є секвенційним, оскільки він є фактор-простором метричного простору.
• Фактор-простір дійсних чисел R одержаний ідентифікацією цілих чисел Z є секвенційним простором, що не задовольняє першу аксіому зліченності.

• Топологічний простір із козліченною топологією на незліченній множині не є секвенційним. Кожна збіжна послідовність у такому просторі є константою починаючи з якогось номера, тому кожна множина є секвенційно відкритою. Але козліченна топологія не є дискретною.

Повна підкатегорія Seq усіх секвенційних просторів є замкнутою щодо таких операцій у категорії топологічних просторів Top:

• Фактор-простори
• Неперервні відкриті чи замкнуті образи
• Суми топологічних просторів
• Фінальні топології
• Відкриті і замкнуті підпростори

Натомість Seq не є замкнутою щодо таких операцій у Top:

• Неперервні образи
• Підпростори
• Скінченні добутки

Оскільки вони є замкнутими щодо сум і фактор-просторів, секвенційні простори утворюють корефлективну підкатегорію категорії топологічних просторів. Більш того вони є корефлективною оболонкою метризовних просторів (тобто найменшим класом топологічних просторів, що є замкнутим відносно сум і фактор-просторів і містить метризовні простори).

Підкатегорія Seq є декартово замкнутою щодо свого добутку (не добутку у Top). Її експоненційні об'єкти наділені топологією збіжних послідовностей. P.I. Booth і A. Tillotson довели, що Seq є найменшою декартово замкнутою підкатегорією категорії Top, що містить топологічні простори усіх метричних просторів, CW-комплексів, диференційовних многовидів і є замкнутою щодо кограниць, фактор-категорій і деяких додаткових рівностей введених Норманом Стінродом.

• Перша аксіома зліченності

• Arkhangel'skii, A.V. and Pontryagin, L.S., General Topology I, Springer-Verlag, New York (1990) ISBN 3-540-18178-4.
• Booth, P.I. and Tillotson, A., Monoidal closed, cartesian closed and convenient categories of topological spaces [Архівовано 13 лютого 2020 у Wayback Machine.] Pacific J. Math., 88 (1980) pp. 35–53.
• Engelking, R., General Topology, Heldermann, Berlin (1989). Revised and completed edition.
• Franklin, S. P., "Spaces in Which Sequences Suffice [Архівовано 29 квітня 2019 у Wayback Machine.]", Fund. Math. 57 (1965), 107-115.
• Franklin, S. P., "Spaces in Which Sequences Suffice II [Архівовано 29 квітня 2019 у Wayback Machine.]", Fund. Math. 61 (1967), 51-56.
• Goreham, Anthony, "Sequential Convergence in Topological Spaces"
• Steenrod, N.E., A convenient category of topological spaces [Архівовано 13 лютого 2020 у Wayback Machine.], Michigan Math. J., 14 (1967), 133-152.