Семикутна мозаїка

Семикутна мозаїка

Тип	Гіперболічна правильна мозаїка^[en]
Вершинна фігура	7³
Символ Шлефлі	{7,3}
Символ Вітгоффа^[en]	7 2
Діаграма Коксетера
Група симетрії	[7,3], (*732)
Двоїстий многогранник	Трикутна мозаїка порядку 7^[en]
Властивості	вершинно-транзитивна, реберно-транзитивна, гране-транзитивна^[en]

Семикутна мозаїка — правильна мозаїка^[en] на гіперболічній площині. Задається символом Шлефлі {7,3} і має три правильні семикутники в кожній вершині.

Ілюстрації

Модель півплощини Пуанкаре	Дискова модель Пуанкаре	Модель Кляйна

Пов'язані многогранники та мозаїки

Ця мозаїка має топологічний зв'язок із правильними многогранниками як член послідовності правильних многогранників із символом Шлефлі {n,3}.Шаблон:Таблица семиугольных мозаик

*n32 варіанти симетрії правильних мозаїк: n³ або {n,3}
Сферичні				Евклідові	Компактні гіперболічні.		Параком- пактні.	Некомпактні гіперболічні.

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

З побудови Вітгоффа випливає, що існує вісім гіперболічних однорідних мозаїк^[en], що ґрунтуються на правильній семикутній мозаїці.

Якщо розфарбувати в мозаїці червоним початкові грані, жовтим — початкові вершини, а синім — початкові ребра, маємо 8 форм.Шаблон:Таблица мозаик порядка 3

Однорідні семикутні/трикутні мозаїки^[en]
Симетрія: [7,3], (*732)^[en]							[7,3]⁺, (732)


{7,3}	t{7,3}^[en]	r{7,3}^[en]	2t{7,3}^[en]=t{3,7}	2r{7,3}^[en]={3,7}	rr{7,3}^[en]	tr{7,3}^[en]	sr{7,3}^[en]
Однорідні двоїсті мозаїки


V7³^[en]	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3⁷	V3.4.7.4	V4.6.14^[en]	V3.3.3.3.7

Поверхні Гурвіца

Група симетрії мозаїки є групою трикутника (2,3,7)^[ru], і фундаментальною областю для цієї дії є трикутник Шварца (2,3,7). Це найменший гіперболічний трикутник Шварца, а тому, за теоремою Гурвіца про автоморфізми^[en], мозаїка є універсальною мозаїкою, що покриває всі поверхні Гурвіца (ріманові поверхні з максимальною групою симетрії), даючи мозаїку семикутниками, група симетрії якої дорівнює групі симметрії ріманової поверхні. Найменшою поверхнею Гурвіца є квартика Кляйна^[en] (рід 3, група автоморфізму має порядок 168) і породжена мозаїка має 24 семикутники, які мають спільні 56 вершин.

Двоїста трикутна мозаїка порядку 7^[en] має таку саму групу симетрії і задає триангуляції поверхні Гурвіца.

Див. також

Примітки

Література

John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
H.S.M. Coxeter. Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 978-0486-40919-8.